Задание 1. Построение, анализ и решение исходной модели

1.1. Введем переменные х₁, х₂, х₃ - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Модель имеет вид:

Стоимость С 20 х₁ + 20 х₂ + 24 х₃ max

Труд Т 2 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ 12 (тыс. чел.-ч)

Сырье S 4 х₁ + 2 х₂ + 6 х₃ 16 (т)

Материалы М 1 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ 9 (т)

х_1, х_2, х₃ 0

1.2. Прежде, чем переходить к решению, проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:

, i, j,

где C j – цена j-ой продукции, a ij – норма расхода i-го ресурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности.

(т.р./т.Ч-Час), ; ,

(т.р./т), ; ,

(т.р./т), ; .

Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов. Так, показатель = 5 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида.

При выполнении работы предлагается сформулировать экономический смысл всех коэффициентов.

1.3. Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения трудозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый большой = 10. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 ( = 10), материалов – также продукция 1 ( = 20).

Производство продукции 3, несмотря на самую высокую цену (С₃ = 24.тыс. руб.), невыгодно с точки зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.

Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид:

С 20 х₁ + 20 х₂ max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ 16

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ 0

х₂ 0

1.4. Решим задачу графически (рис.1). Ограничения T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии ограничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В, которая и является оптимальным планом

Ресурсы используются полностью:

Т_В = 12 (т.чел.-ч), S_B = 16 (т), М_В = 9 (т).

Общая стоимость выпускаемой продукции:

СВ = 20 ∙ 3 + 20 ∙ 2 = 100 (тыс. руб.).

Отметим, что в условиях централизованного выделения ресурсов сырья и материалов полученное решение явилось бы окончательным.

1.5. Эффективность использования ресурсов можно оценить по показателям K_i:

При выполнении работы в соответствии с собственным вариантом укажите их экономический смысл и покажите их соотношение с ранее рассчитанными показателями K _{i j} .

Задание 2. Исследование возможности увеличения объема выпуска при свободной торговле средствами производства.

В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.

2.1. В нашем примере все ресурсы полностью являются лимитирующими.

Укажите лимитирующие и избыточные ресурсы в своем варианте.

Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом и С = 100 тыс. руб.

Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов сырья и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирующим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск продукции.

В реальной задаче найдите множество производственных ограничений, которые не могут быть расширены за счет рынка в пределах планового периода.

Рис. 1. Графическое решение исходной задачи.

Рис.2. Задача при неограниченных S и M.

2.2. Исходная модель примет вид:

С 20 х₁ + 20 х₂ max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ 0

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ 0

х₂ 0

Самостоятельно сформулируйте и подробно запишите экономический смысл полученной модели. Как иначе можно записать ограничения S и М?

2.3. Решим задачу графически (см. рис. 2). Ограничения по сырью и материалам не показаны, так как находятся вне области определения х1 и х2. Область допустимых планов ОЕД определяется лишь ограничением Т. Оптимальный план находится в вершине D.

Стоимость выпуска продукции		CD = 20 · 6 = 120 (тыс. руб.).
Объем трудозатрат	TD = 2 · 6 = 12 (т.чел.-ч).
Потребное количество сырья	SD = 4 · 6 = 24 (т),
материалов	MD = 1 · 6 = 6 (т).

2.4. Новый план дает по сравнению с исходным :

- прирост стоимостного выпуска ∆С = 120 – 100 = 20 (тыс. руб),

- экономию материалов ∆М = 6 – 9 = – 3 (т), но требует дополнительного вовлечения сырья ∆S = 24 – 16 = 8 (т).

При обеспеченности сбыта и приобретении на рынке

- выручка от продажи излишних материалов по цене Р_М = 3 (тыс. руб.-т), В_М = 3 · 3 = 9 (т.р.),

- затраты на закупку дополнительного сырья по цене

P_S = 1 (тыс. руб.-т),

З_S = 1 · 8 = 8 (тыс. руб).

При этом образуется остаток денежных средств D_n = B_M – З_S = 9 – 8 = 1 (тыс. руб.).

Таким образом, простейший эксперимент на модели дает возможность перейти к новому плану, дающему прирост выпуска продукции на 20 (тыс. руб.) при равных ценах и положительном остатке от перепродажи 1 (тыс. руб.).

Ответьте на вопросы.

1. За счет чего получен дополнительный выигрыш?

2. Какие потери здесь имеют место?

3. Как изменилась эффективность использования ресурсов в сравнении с начальным планом ? Посчитайте коэффициенты K_i и дайте их сравнительный анализ с полученными в п. 1.2.