Технико-экономическая постановка задачи и её математическая модель

Пусть имеется компания, объединяющая m предприятий A_i, iÎI={1,2,…,m}, добывающих сырье одного вида, где каждое предприятие в периоде t, t=1,2,…,p добывает сырье в объёме , iÎI. Для добычи сырья в объёме , iÎI соответствует затраты , iÎI, t=1,2,…,p.

Добытое сырье предоставляется потребителям двух видов. Первый потребитель получает сырье по заранее договоренной цене , за единицу объёма в зависимости от периода t, t=1,2,…,p, а второй потребитель - рынок, где сырье реализуется по оптовым ценам рынка за единицу объёма, которое также зависит от периода t, t=1,2,…,p. Объём сырья предоставляемый в каждом периоде на рынок ограничен величиной , t=1,2,…,p.

Предполагается, что объём выделяемого сырья первому потребителю всеми предприятиями компании на каждый период t, t=1,2,…,p не должен превышать величины t=1,2,…,p, а за весь планируемый период должен предоставить этому потребителю сырьё в объёме Q.

Получаемый компанией чистый доход за единицу объёма сырья в t-ом периоде при реализации её первому потребителю составляет величину , а второму потребителю составляет = , где = iÎI, t=1,2,…,p.

Требуется определить объёмы сырья, предоставляемые первому и второму потребителю добывающими предприятиями компании на каждый период t, t=1,2,…,pтак, чтобы суммарный чистый доход компании был бы максимальным.

Математическая модель вышеприведенной проблемы имеет вид.

Найти максимум:

Р(х₀,х_R)= (1.1)

при условиях:

t=1,2,…,p, (1.2)

(1.3)

t=1,2,…,p, (1.4)

+ = , iÎI, (1.5)

≥0, ≥0, iÎI,t=1,2,…,p, (1.6)

где

х₀= х_R=

- искомый объём сырья, предоставляемый первому потребителю по договору за период t, t=1,2,…,p.

- искомый объём сырья, предоставляемый второму потребителю на рынок за период t, t=1,2,…,p.

Предполагается, что

(1.7)

Для решения сформулированной задачи воспользуемся методами линейного программирования [1], [2]. Преобразуем задачу (1.1)-(1.6). Введем дополнительные переменные ≥0 и ≥0, t=1,2,…,pи обращаем неравенства (1.2) и (1.4) в равенства. Обозначим множество индексов предприятий через = {1,2,…,m, m+1}.

Тогда задача (1.1)-(1.6) примет вид.

Найти максимум:

Р(х₀, х_R) = (1.8)

при условиях:

1,2,…,p, (1.9)

(1.10)

t=1,2,…,p, (1.11)

+ = , iÎI,(1.12)

(1.13)

(1.14)

≥0, ≥0, iÎI, ≥0, ≥0, t=1,2,…,p,(1.15)

где

, ,t=1,2,…,p,

М - максимально большое число.

Задачу (1.8)-(1.15) можно записать в виде табл. 1.1. (См. таблицу 1.1) Решение задачи (1.8)-(1.15) позволяет определить оптимальный план распределения сырья между потребляющим предприятием и рынком, и получить добывающей компании максимальный чистый доход.

Для проверки работоспособности сформулированной математической модели приведем числовой пример.

Пример.

Пусть компания объединяет 3 предприятия, добывающие сырье одного вида. Объёмы добычи сырья (в тоннах) и соответственно затраты (тыс.сом) по периодам t, t=1,2,3, заданы в виде матрицы, т.е.

= = ,

= = .

Таблица 1.1.

			…				…
t=1
…	…	…	…		…	…	…
t=2
…		…				…
…	…	…	…	…		…	…	…
t=p
…				…				…
		M	M	…	M	0	0	…	0
	0	0	…	0	M	M	…	M

Добытое сырье предоставляется потребителям двух видов. Первый потребитель получает сырье по заранее договоренной цене (в сомах) ={ }= {12, 10, 10} за единицу объёма сырья в зависимости от периода t, t=1,2,3, а второй потребитель рынок, где сырье на каждый период t, t=1,2,3 реализуется по предполагаемым оптовым ценам рынка = { }={15,15,12} за единицу объёма сырья.

Предполагается, что объём выделяемого сырья первому потребителю всеми предприятиями компании в каждом периоде t, t=1,2,3 не должен превышать величины ={50, 40, 45} (тыс. т.).

Проходимость сырья по заданной цене на рынке сбыта в каждом периоде ограничена величиной = ={40, 25, 20} (тыс. т.).

Добывающая компания по договору должен предоставить сырьё первому потребителю за весь период в объёме 40 (тыс. т.).

Для вычисления чистого дохода компании и определим по формуле

= i=1,2,3, t=1,2,3, получим

= = .

Тогда получаемый компанией чистый доход за единицу объёма сырья от первого потребителя и от рынка по периодам t, t=1,2,3 определяется по формулам и = , , i=1,2,3, , t=1,2,3, т.е.

,

.

Требуется определить объёмы сырья, предоставляемые первому и второму потребителю предприятиями компании на каждый период t, t=1,2,3 так, чтобы суммарный чистый доход компании был бы максимальным.

Числовая модель сформулированной задачи имеет вид.

Найти максимум:

Р(х₀,х_R)=10,5 +10,7 +10,0 +8,4 +8,5 +8,4 +

+8,2 +8,0 +8,3 +13,5 +

+ 13,7 +13 + 13,4 + 13,5 +

+ 13,4 +10,2 + 10,0 + 10,3 (1.16)

при условиях:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

≥0, ≥0, t=1,2,3.(1.21)

Для решения задача (1.16)-(1.21) преобразуем её к виду.

Найти максимум:

Р(х₀, х_R) = 10,5 +10,7 +10,0 + 8,4 +8,5 +8,4 +8,2 +

+8,0 + 8,3 +13,5 +13,7 +13,0 + 13,4 +

+ 13,5 + 13,4 +10,2 + 10,0 + 10,3 +

+99( - 99( (1.22)

при условиях:

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

= 85000, (1.27)

=3000, (1.28)

≥0, ≥0, i=1,2,3, ≥0, ≥0, t=1,2,3. (1.29)

Задачу (1.22)-(1.27) можно представить в виде следующей табл. 1.2.

Таблица 1.2.

	50000		35000	40000	25000	20000
t=1	=20000	10,5			13,5
=15000	10,7			13,7
=10000	10,0			13,0
t=2	=12000		8,4			13,4
=10000		8,5			13,5
=14000		8,4			13,4
t=3	=14000			8,2			10,2
=15000			8,0
=12000			8,3			10,3
	=95000	99 =45	99 =29	99 =11	0	0	0
=3000	0	0	0	99	99	99 =3

Решив задачу (1.26)-(1.29) получим оптимальный план распределения сырья компанией по периодам, т.е.

X={ =5000; =11000; =12000; =12000; =20000; =15000;

=5000; =12000; =10000; =3000; =14000; =3000},

при этом суммарный максимальный чистый доход равен: Р(х₀, х_R ) =1387300 сом.

Из решения задачи вытекает, что в первый период 1-е предприятие предоставляет рынку сбыта 20 тыс.т. сырья, 2-е предприятие - 15 тыс.т. сырья, а 3-е предприятие первому потребителю -5 тыс.т., а рынку сбыта - 5 тыс.т. сырья.

Во втором периоде 1-е предприятие предоставляет рынку сбыта 12 тыс.т. сырья, 2-е предприятие -10 тыс.т. сырья, 3-е предприятие первому потребителю -11 тыс.т., а рынку 3 тыс.т. сырья.

В третьем периоде 1-е предприятие предоставляет рынку сбыта 14 тыс.т. сырья, 2-е предприятие первому потребителю -12 тыс.т. сырья, а рынку – 3 тыс.т. сырья, 3-е предприятие первому потребителю - 12 тыс.т. сырья.

Таким образом, сырьё в объёме 40 тыс. тонн оговоренное в договоре полностью выделено первому потребителю. При этом суммарный максимальный чистый доход компании составляет 1387300 сом, т.е.

Р(х₀, х_R ) = 1387300 сом,

ГЛАВА 2