Технико-экономическая постановка задачи и математическая модель

Пусть имеется производственная компания имеющих m предприятий, выпускающие однородные продукции. Предполагается, что каждое предприятие работает с известной технологией и каждый период стабильно выпускает продукт в объёме , iÎI={1,2,…,m}.

Продукция, произведенная компанией в каждом периоде, распределяется между потребителями в качестве промежуточного продукта и продукта для конечного потребления.

Промежуточный продукт в дальнейшем используется потребителями для производства других видов продуктов, а конечный продукт – для удовлетворения личного и общественного потребления.

Между производственной компанией и потребителями использующий продукт компании как промежуточный составлен заранее договор, и на основе этого договора компания должна выделять в каждом периоде этим потребителям продукт, в объёме не менее и не более , t=1,2,…,p , аза весь планируемый период компания должна предоставить продукт в объёме Q.

Потребителям использующий продукт как конечное потребление компания в каждом периоде t может выделять продукт в объёме не более , t=1,2,…,p.

Предполагаем, что цена на единицу объёма продукта зависит от периода t,t=1,2,…,p.

Отпускная цена продукта потребителям, использующий продукт компании как промежуточный обозначим через , t=1,2,…,p, а потребителям использующий продукт компании как конечный продукт цена на единицу объёма продукта обозначим через , t=1,2,…,p.

Требуется определить план распределения продукции на каждый период между потребителями использующий продукции компании как промежуточный продукт и как конечный продукт так, чтобы производственная компания при этом имела максимальный чистый доход от производства и реализации продукта.

Для формализации математической модели введем следующие обозначения:

i- индекс предприятий компании производящий одного вида продукта по

заданной технологии, iÎI ;

t - индекс периода по которому предприятие производит и предоставляет

продукцию потребителям, t=1,2,…,p;

Известные параметры:

- объём производства продукции i-го предприятия компании в периоде t,

t=1,2,…,p, iÎI;

- производственные затраты связанные с заданной технологией

производства продукции i-го предприятия в периоде t в объёме ,

iÎI, t=1,2,…,p;

- договорная цена за единицу объёма продукта для потребителей,

использующий продукт компании как промежуточный,t=1,2,…,p;

- оптовая цена за единицу объёма продукта для потребителей продукта

компании как конечный продукт, t=1,2,…,p;

- максимальный объём продукта предоставляемый компанией

потребителям для конечного использования в t периоде, t=1,2,…,p;

- минимальный объём продукта компании выделяемого потребителю,

использующий его как промежуточный в t-ом периоде, t=1,2,…,p;

- максимальный объём продукта компании выделяемого потребителю

использующий его как промежуточный в t-ом периоде, t=1,2,…,p;

Q- объём продукта предоставляемый потребителю использующий продукт

компании как промежуточный за весь планируемый период;

- чистый доход компании, получаемый за единицу объёма продукта в t-

ом периоде при реализации её потребителю, использующий продукт

как промежуточный, где = , = iÎI, t=1,2,…,p;

- чистый доход компании, получаемый за единицу объёма продукта в t-

ом периоде при реализации её потребителю, использующий продукт

как конечный, где = , = iÎI, t=1,2,…,p.

Искомые переменные:

- объём продукта компании предоставляемый потребителю

использующий его как промежуточный продукт в t- ом периоде;

- объём продукта компании предоставляемый потребителю

использующий его как конечный продукт в t- ом периоде.

В соответствии с принятыми обозначениями задача определения чистого дохода компании от производства и предоставления продукции потребителям может быть записана в виде:

Найти максимум:

Р(х₀, х_R) = (2.1)

при условиях:

t=1,2,…,p, (2.2)

(2.3)

0≤ t=1,2,…,p, (2.4)

+ = , iÎI,t=1,2,…,p, (2.5)

≥0, ≥0,iÎI,t=1,2,…,p,(2.6)

где

х₀= х_R=

Предполагается, что имеет место условие

(2.7)

Метод решения.

Задача (2.1)-(2.6) при предположении (2.7) является задачей линейного

программирования и может быть решена любым общим методом. Но объём вычислительной работы резко сократиться, если исключить из модели (2.1)-(2.6) ограничения (2.2) и тем самым свести её к транспортной задаче.

С этой целью для потребителей использующий продукт компании как промежуточный продукт вместо периода t вводим два условных периода и .

Объём направляемой продукции в периоде полагаем ограниченным

величиной = а - ограниченным максимально допустимой величиной

Кроме этого, вводим первый условный поставщик, объём направляемой продукции, которого равен ,

где =

≥0 и ≥0 - объёмы продукции, направляемые от условного поставщика к потребителю, использующий продукт компании как промежуточный продукт в периоде и .

Коэффициенты целевой функции при переменных соответственно полагаем равным =0 и = М, где М - достаточно большая величина.

Далее, вводим второй условный поставщик продукции для потребителей использующий продукт компании как конечный продукт с объёмом продукции равной величине

= ,

где ≥0, t=1,2,…,p - объём направляемой продукции от условного поставщика потребителям использующий продукт компании как конечный продукт в периодеt, t=1,2,…,p.

Коэффициенты при переменных , полагаем достаточно большой величиной М , т.е. t=1,2,…,p.

Математическая модель (2.1)-(2.6) после всех выше приведенных преобразований примет следующий вид.

Найти максимум:

Р(х₀, х_R) = (2.8)

при условиях:

=t=1,2,…,p, (2.9)

=t=1,2,…,p, (2.10)

, (2.11)

t=1,2,…,p, (2.12)

, iÎI,t=1,2,…,p,(2.13)

+ = ,iÎI,t=1,2,…,p,(2.14)

(2.15)

(2.16)

≥0, ≥0, ≥0, ≥0, iÎI, t=1,2,…,p, (2.17)

где

,

Далее задачу (2.8)-(2.15) можем записать в виде транспортной таблицы (см. табл.2.1.) и решить модифицированным распределительным методом[2].

Для каждого периода t,t=1,2,…,p сумма переменных , определяет объём направляемой продукции i-го предприятия потребителямиспользующий продукт компании как промежуточный продукт в t-ом периоде.

Переменные примут в оптимальном плане нулевые значения, поскольку

Отсюда следует

а это значит, что

t=1,2,…,p.

Таблица 2.1.

	t=1	t=2	…	t=p
				…					…
…	…	…						…	…	…
…	…	…	…	…					…
…					…	…	…	…	…	…
…						…	…				…
	0 0	M	0 0	M	…	0 0	M	0 0	0 0	…	0 0
	0	0	0	0	…	0	0	M	M	…	M

Для демонстрации работоспособности сформулированный математической модели приведем и решим небольшой числовой пример.

Пример.

Пусть компания объединяет 3 предприятия,выпускающие однородные продукции.Объем производства продукции (в тоннах) и соответствующие затраты(тыс.сом)по периодам заданы в виде матрицы,т.е.

Продукция,произведенная компанией в каждом периоде,распределяет между потребителями в качестве промежуточного продукта и продукта для конечного потребления.

Промежуточный продукт в дальнейшем используется потребителями для производства других видов продуктов, а конечный продукт для удовлетворения личного и общественного потребления.

Между производственной компанией и потребителями,использующий продукт компании как промежуточный составлен договор,и на основе этого договора компания должна выделять в каждом периоде этим потребителям продукт,в объеме не менее(в тыс.тонн).

и не более(в тыс.т.)

а за весьпланируемый период компания должна предоставить продукт в объеме т.

Потребителям использующий продукт как конечное потребление компания в каждом периоде t может выделять продукт в объеме не более (в тыс.т.

Отпускная цена продукта потребителям, использующий продукт компании как промежуточный за единицу объема, по передам

а потребителям использующий продукт компании как конечный продукт на единицу объема

.

Определим чистый доход компании, получаемый за единицы объема продукта в каждом периоде при реализации ее потребителю, использующий продукт как промежуточный и потребителю, использующий продукт как конечный .

Для вычисления чистого доход компании, определим

по формуле ,

получим

Тогда, получаемый чистый доход компании за единицы объема продукта соответственно определяется

Требуется определить план распределения продукции на каждый период между потребителями использующий продукции компании как промежуточный продукт и как конечный продукт так, чтобы производственная компания при этом имела максимальный чистый доход от производства и реализации продукта.

В соответствии с известными данными числовая модель задачи определения чистого дохода компании от производства и представления продукции потребителям может быть записана в виде:

найти максимум

при условиях

Далее, согласно метода решение изложенной в п. 2.2 исключим ограничения (2.19) из задачи (2.18)-(2.23) и тем самым сведем задачу к транспортной.

С этой целью для потребителей использующий продукт получаем как промежуточный продукт, в место каждого периода вводим два условного периода:- первый половине периода и - второй половины периода .

Объем направлений продукции предприятием компании в первый половина периода , обозначим через и получаем, что

т.е.

a объем направленной продукции предприятием компании во второй половине периода , обозначим через и полагаем, что

где т.е.

Теперь задачу сведем к закрытой форме транспортной модели. Для этой цели, введем условной поставщик для потреблений, использующий продукт компании как промежуточный, объем направляемой продукции которого будет равен величине

где и - объемы продукции, направляемые от условного поставщика к потребителю, использующий продукт компании как промежуточный в первом и втором периоде, периода .

Коэффициенты целевой функции при переменных и соответственно полагаем ровным =0 и ,где - достаточно большое число.

Далее, вводим другой условный доставщик продукции для потребителей, использующий продукт компании как конечный продукт с объемом ровной величине

где , -объем направляемой продукции от условного поставщика, потребителям использующих продукт компании как конечный продукт в периоде , .

Коэффициенты при переменных , полагаем достаточно большой величине , т.е .

Числовая модель (2.18)-(2.22) после всех приведенных преобразований сводится к закрытой модели транспортной задаче

найти максимум

при условиях

Задачи (2.24)-(2.34) запишем в виде таблицы 2.2 и решим.

Таблица 2.2.

		t=1	t=2	t=3
=1	=1	=2	=2	=3	=3
		10,5	10,5					13,5
		10,7	10,7					13,7
		10,0	10,.0					13,0
				8,4	8,4				13,4
				8,5	8,5				13,5
				8,4	8,4				13,4
						8,2	8,2			10,2
						8,0	8,0			10,0
						8,3	8,3			10,3
			M		M		M
							M	M	M

Получим оптимальный план распределения продукции компании между потребителями { Следовательно получим план:

Приприведенных известных параметров чистый доход производственной компании составляет.

усл.ед.

ГЛАВА 3.