Классическая модель расчета параметров заказа — EOQ модель

Рассмотрим одну из классических и наиболее распространенных на практике оптимизационных моделей управления запасами - модель экономичного размера заказа (Economic order quantity -EOQ). Эта модель предполагает следующие допущения:

· спрос (расход) является непрерывным, а интенсивность спроса λ = const;

· период между двумя смежными заказами (поставками) постоянен (τ_сз = τ_сп = const);

· спрос удовлетворяется полностью и мгновенно;

· транзитный и страховой запасы отсутствуют;

· емкость склада не ограничена;

· затраты на выполнение заказа (с₀) и цена поставляемой продукции в течение планового периода постоянные;

· затраты на поддержание запаса единицы продукции в течение единицы времени постоянные и равны c_h.

Критерием оптимизации размера заказа на пополнение запасов в данной модели является минимум общих затрат на выполнение заказов и поддержание запаса (МР, ГП) на складе в течение планового периода (например, года). Составляющие суммарных затрат по-разному зависят от размера заказа (величины партии поставки), что отражено на графиках (рис. 28).

Затраты на выполнение заказа возрастают прямо пропорционально размеру заказа, а затраты на поддержание запаса с увеличением его размера падают, как это отражено на графиках. Суммарные годовые затраты (C^r_∑) имеют характерный вид вогнутой кривой, имеющей минимум, что позволяет оптимизировать размер запаса.

Определим суммарные годовые затраты управления запасами.

Предположим, что годовая потребность в МР (спрос на ГП) равна D. Тогда за год необходимо сделать D/q поставок на пополнение запаса, а суммарные затраты на выполнение заказов будут равны

C^r_o=c_oxD/q. (1)

Затраты на поддержание запасов на складе в течение года можно определить по формуле

C^r_h= c_h x Q, (2)

где Q — средняя величина запаса, поддерживаемая на складе, ед.

Затраты c_h могут быть выражены в долях (или процентах) от стоимости единицы продукции, тогда

C^r_h = с x i x Q, (3)

где с — цена единицы продукции, хранимой на складе, ден. ед.; i — доля от цены, приходящаяся на затраты по поддержанию запасов.

Средняя величина запаса Q при указанных выше допущениях будет равна 1/2 q (рис. 29).

Тогда для суммарных годовых затрат управления запасами получим:

C^r_∑ = C^r_o + C^r_h = с_о x D/q + с x i x q/2. (4)

Оптимальный размер заказа q* (EOQ) будет соответствовать минимуму суммарных затрат в точке, где ∂С_Е / ∂q =0

∂C_∑/∂q= - с_о x D/q²+c x i/2 = 0 (5)

Решая уравнение (5) относительно q, получим:

q* = √2D x c_o /I x c = EOQ (6)

В оригинале формула для экономичного размера заказа (EOQ) была получена Ф.У. Харрисом в 1913 г. Однако в теории управления запасами она больше известна как формула Уилсона.

Оптимальное время между двумя заказами t_c3* и количество заказов за год N* будут соответственно равны

t_сз*= q*/D, лет; (7)

N*= D/q* (8)

Рассмотрим пример 1.

Исходные данные для расчета EOQ сведены в таблицу 13:

Таблица 13

Параметры	D,ед.	co, ден.ед.	i, %	с, ден.ед.
Величина		60,8	22,0	29,3

Для определения EOQ используем формулу (6):

EOQ = q* = √2х 1200x60,8/0,22x29,3 = 150,46 ед. = 151 ед.

Таким образом оптимальная величина заказа (партии поставки) будет равна 151 единице продукции. Оптимальное время между двумя смежными заказами (7) будет равно:

τ_сз* = 150,46/1200 = 0,125383(3) года

или в неделях

τ_сз* = 0,125383(3) х 52 = 6,5 недель.

По формуле (8) определяем оптимальное количество заказов за год

N* = 1200/150,46 = 8 заказов.

Важную роль в теории управления запасами, в частности в классической модели EOQ, играет определение момента заказа (t₃) или точки заказа/перезаказа (Reorder point — ROP), т. е. достижение при расходовании запаса со склада такого уровня (Q₃), когда необходимо делать заказ.

Точка заказа может быть определена для классической модели с использованием параметра λ интенсивности спроса по формуле:

ROP = Q₃= λ х τ_зп (9)

Величина времени запаздывания поставки (t_зм) в логистическом менеджменте запасов соответствует ведущему времени выполнения цикла заказа (Order cycle lead time)./

Если в условиях предыдущего примера предположить, что τ_зн = 1,5 недели, и учитывая, что λ = D/52, получим

ROP = Q₃= 1200 х 1,5/52 = 34,61 = 35 ед.

Таким образом мы должны подавать заказ на пополнение запаса, когда уровень запаса на складе снизится до 35 единиц товара.

График, иллюстрирующий расчетные параметры EOQ модели, приведен на рис. 30.

Необходимо отметить, что EOQ модель мало чувствительна в определенных пределах к ошибкам в исходной информации или неточности прогнозирования спроса. Это объясняется пологим характером (малой кривизной) графика общих затрат в области оптимального размера заказа. Например, если ошибка прогнозирования спроса составляет 10%, то изменение q* составит только √1,1= 4,9%. Если предположить, что затраты на поддержание запасов рассчитаны с 20%-й погрешностью в сторону уменьшения, то q* изменится только на √1/(1-0,2) =11,8%.

В некоторых случаях нельзя пренебрегать временем пополнения запаса от момента t_п начала поставки, в течение которого производится определенный объем продукции. В этом случае базовая EOQ модель преобразуется в так называемую модель производственного размера заказа (Production order quantity — POQ), для которой оптимальный размер заказа определяется по формуле:

q*_p = √2D x c₀/c x i x √p/p-λ (10)

где р — интенсивность производства (объем выпуска продукции в единицу времени).

Пример 2.

Предположим в условиях рассмотренного выше примера, что интенсивность производства составляет 65 единиц в неделю.

Тогда производственный размер заказа будет равен

POQ = q_p* = √2 х 1200x60,8 /0,22x29,3 х √65 / (65 - 23)= 188 ед.

Точка заказа при этом останется неизменной, т.е. ROP = 35 ед. График, характеризующий описанную выше ситуацию, приведен на рис. 31.

В тех случаях, когда время транспортировки заказа на склад занимает большую часть времени его выполнения (τ_зп) и сопоставимо с циклом пополнения запаса необходимо учитывать затраты, связанные с запасом в пути (Inventory in transit costs).

Классическая EOQ модель не учитывает эти затраты, предполагая, что они входят в цену продукции по базисным условиям поставки F.O.B. Рассмотрим модернизированную EOQ модель, учитывающую затраты на запасы в пути с целью возможного выбора способа доставки из нескольких видов транспорта. Схема, иллюстрирующая этот случай, приведена на рис. 32.

Введем следующие обозначения:

c_t — затраты, связанные с запасом в пути;

τ_п — время в пути;

Q_t — средняя величина запаса в пути.

Тогда среднюю величину запаса в пути можно определить по формуле

Q_t = τ_п/ τ_сз х q (11)

С учетом приведенных выше обозначений и формулы (11) суммарные затраты управления запасами будут равны

C′_∑ = c_oxD/q + с x i x q/2 + c_t x τ_п/ τ_сз x q (12)

Если по аналогии с затратами C_h представить затраты c_t в долях (j) от цены единицы товара, то формула (12) примет вид

C′_∑ = c_oxD/q + с x i x q/2 + τ_п/ τ_сз x c x j x q (13)

Рассмотрим пример 3.

Пусть в условиях примера 1 у фирмы есть возможность выбора доставки заказа на склад железной дорогой или автомобильным транспортом при следующих исходных данных:

· время доставки заказа по железной дороге равно 1,4 недели, аавтомобильным транспортом 1,0 неделя;

· тарифы за единицу груза равны:железной дорогой 0,6 ден. ед.;автомобильным транспортом 0,9 ден. ед.

Предположим, что затраты C_t составляют = 10% в цене товара. Рассчитаем затраты по двум вариантам транспортировки по формуле (13):

железной дорогой

C′_∑=60,8х1200/151 + 29,3х0,22х151/2 + 1,4/6,5х29,3х0,1х151 =1065 ден. ед.

автомобильным транспортом

C′_∑=60,8х1200/151 + 29,3х0,22х151/2 + 1,0/6,5х29,3х0,1х151=1038 ден.ед.

Рассчитаем общие годовые затраты, связанные с управлением запасами, с учетом затрат на транспортировку:

железной дорогой

C’′_∑=1065 + 0,6х151х1200/151 = 1784 ден.ед.

автомобильным транспортом

C’′_∑= 1038 + 0,9х151х1200/151 = 2118 ден.ед.

Таким образом по критерию суммарных затрат более выгодным оказался вариант транспортировки продукции на склад по железной дороге.

В большинстве случаев с увеличением величины партии поставки продукции на склад транспортная составляющая на один заказ снижается, также как и затраты, связанные с поддержанием запаса в пути. Однако такое снижение указанных затрат происходит не плавно, а скачкообразно в соответствии с транзитной нормой отправки (carload, truckload shipment).Как правило, если заказ соответствует транзитной норме отправки транспортом общего пользования или иным перевозчиком, транспортный тариф минимальный, а доставка продукции осуществляется быстрее.

В этом случае графики изменения общих затрат при определении экономичного размера заказа будут иметь вид, представленный на рис. 33.

На графиках рис. 33 показано изменение затрат при достижении размером заказа величины транзитной нормы грузовой отправки. В этом случае общие затраты C_s складываются из затрат на поддержание запаса на складе (C_h), затрат на выполнение заказа (С_о), затрат, связанных с запасом в пути (С_t) и транспортных расходов (C_v).

Затраты C_v и С_t уменьшаются скачком, когда заказ становится равным величине транзитной грузовой нормы отправки. В этом случае общие затраты могут достигнуть минимума, например в точке q_тн*, не совпадающей с EOQ = q_o*.

Величина суммарных затрат, связанных с определением оптимального размера заказа, может быть рассчитана по формулам:

C′_∑=c_oxD/q_o*+сxixq_o*/2+c_txτ_п/τ^‘_сзxq_o*+ρхD (14)

C^”_∑=c_oxD/ q_тн* +сxix q_тн*/2+c_txτ^тн_п/τ^“_сзxq_o*+ρ_тнхD (15)

где ρ, ρ_тн — тарифы на перевозку единицы продукции (груза) при величине заказа меньше и равной транзитной норме отправки соответственно.

τ_п, τ^тн_п - время в пути при размере заказа, меньшем или равном транзитной норме отправки, соответственно.

Пример 4.

Предположим, при исходных данных примера 3, транзитная норма отправки равна 250 единиц продукции, т.е. q_тн =250 ед. Тогда время между двумя смежными заказами будет равно

τ^“_сз = 250 х 52/1200 = 11 недель.

Допустим также, что доставка осуществляется по железной дороге, причем тариф для транзитной нормы ρ_тн — 0,4 ден. ед., а время в пути уменьшается до 1,2 недель.

Тогда затраты будут соответственно равны:

C′_∑ = 60,8 х 1200/151 + 29,3x0,22 х 151/2 + 1,4/6,5 х 29,3 х 0,1 х 151 + 0,6 х 1200 = 1785 ден. ед.

C^”_∑ = 60,8 х 1200/250 + 29,3 х 0,22 х 250/2 + 1,2/11 х 29,3 х 0,1 х 250 + 0,4 х 1200 =1657 ден. ед.

Таким образом оптимальным размером заказа будет заказ q*_TH, соответствующий транзитной норме грузовой отправки, равной 250 единиц.

Похожая на описанную выше ситуация наблюдается при действии оптовых скидок при возрастании объема заказа (поставки) продукции.

Рассмотрим теперь влияние неопределенности параметров на принимаемые логистические решения по управлению запасами, в частности, для EOQ модели.

Классическая EOQ модель является идеализированной схемой, иллюстрирующей процесс управления запасами (оптимизации) при полностью детерминированных параметрах. На практике логистическому менеджеру постоянно приходится сталкиваться с различными ситуациями, вызывающими неопределенность параметров спроса, заказа и поставок. Эта неопределенность объясняется как самой стохастической природой некоторых параметров, например, интенсивности спроса/расхода, так и влиянием различных логистических рисков.

На рис. 34 проиллюстрировано влияние неопределенности спроса (расхода) на параметры управления запасами.

Если предположить, что параметры управления запасами ROP, были определены для классической модели при средней интенсивности спроса λ, а реальный спрос является случайной величиной, распределенной по нормальному закону, то плотность распределения величины ROP будет иметь вид, представленный на рис. 35.

На графике (рис. 35) показано, что разброс возможных значений Q₃ вокруг среднего Q₃ = ROP для нормального распределения с вероятностью у = 0,97 укладывается в диапазон (ROP — 3σ, ROP + 3σ) — по правилу «шесть сигм».

Если предположить далее, что EOQ=q_н и τ_сз остаются постоянными, неопределенность Q₃ может вызвать дефицит (рис. 34), т.е. отсутствие запаса в период τ_деф с максимальной величиной q_деф.

Неопределенность исходных параметров систем управления запасами вызывается также многочисленными логистическими рисками, например, в сроках доставки продукции, объемах поставок, качестве МР и ГП, ассортименте; рисками, связанными со стихийными бедствиями, возможностью хищений, пожаров, естественной убыли и т.п. Связанная с этими причинами неопределенность также может вызвать явление дефицита, аналогично тому как это проиллюстрировано на рис. 34, причем неопределенными (стохастичными) могут быть все параметры модели управления запасами или их отдельные комбинации.

Для элиминирования возможности возникновения дефицита создают страховые (гарантийные) запасы, как это показано на рис. 26 для классической модели. Определение величины Q_стр страхового запаса производится обычно на основе элементарных методов математической статистики. Тогда для модели EOQ величина точки заказа будет равна:

ROP= Q₃ + Q_стр (16)

Наиболее простой способ расчета страхового запаса заключается в расчете доверительного интервала для Q₃ по формуле:

Q₃ = ω х σ _Q3 / √N (17)

где ω — параметр (аргумент) функции Лапласа Ф(ω);

σ _Q3 — С. К.О. точки заказа;

N — количество заказов за год.

Параметр ω определяется по величине доверительной вероятности γ из условия:

2Ф(ω) = γ (18)

Пример 5.

В условиях примера 1 рассчитаем страховой запас при следующих дополнительных исходных данных:

σ _Q3 = 17 ед.;

γ = 0,9

Расчет производим по формуле (17).

Первоначально по таблицам функции Лапласа находим ω из уравнения (18):

Ф(ω) = γ/2 = 0,9/2 = 0,45

Из таблицы функции Лапласа находим, что ω = 1,65. Подставляя найденное значение в формулу (17), учитывая, что N* = 8, получим

Q_стр = 1,65 х 17 / √8 = 9,9 ед.

Таким образом, с вероятностью 0,9 при заданных характеристиках Q₃ страховой запас будет равен 10 единицам товара. Точка перезаказа будет, соответственно, равна

ROP’ = ROP + Q_стр = 35 + 10 = 45 ед.

Оценим общие затраты, связанные с наличием в модели EOQ страхового запаса, а также затраты от отсутствия запаса на складе. Величина суммарных затрат в этом случае будет равна

C_∑ = c_oxD/q +с x i x q/2+c x i х Q_стр + D/q х N хР_деф (19)

где N — затраты, связанные с отсутствием заказа, ден.ед./заказ;

Р_деф — вероятность отсутствия заказа за период τ_зп.

Учитывая формулу (17) для страхового запаса, после элементарных преобразований получим

C_∑ = D/q х (c_o+ Nх Р_деф)+ с x i х (q/2 + d х σ _Q3 / √N). (20)

Формула (20) используется далее для нахождения EOQ.

Определение затрат N и вероятности Р_деф представляет довольно большую трудность и является самостоятельной проблемой.