Постоянные и квазипостоянные издержки

В гл. 18 мы провели различие между постоянными и квазипостоянными факторами. Постоянные факторы — это факторы, которые должны оплачиваться независимо от того, производится какой-либо выпуск или нет. Квазипостоянные факторы должны оплачиваться только в случае, если фирма решает производить положительный объем выпуска.

Естественно было бы подобным же образом определить постоянные и квазипостоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, связываемые с постоянными факторами: они не зависят от объема выпуска и, в частности, должны оплачиваться независимо от того, производит фирма какой-то выпуск или нет. Квазипостоянные издержки — это издержки, которые тоже не зависят от объема выпуска, но должны оплачиваться только при условии производства фирмой положительного объема выпуска.

В длительном периоде по определению постоянных издержек не бывает, однако вполне могут существовать квазипостоянные издержки. Если началу производства какого-то объема выпуска должна предшествовать затрата какой-то постоянной суммы, то можно говорить о наличии квазипостоянных издержек.

Невозвратные издержки

Другая разновидность постоянных издержек — невозвратные издержки. Смысл этого понятия лучше всего объяснить на примере. Предположим, что вы решили снять офис в аренду на год. Ежемесячная арендная плата, которую вы обязались платить, есть постоянные издержки, поскольку вы обязаны выплачивать ее независимо от производимого вами объема выпуска. Теперь предположим, что вы решаете обновить офис, перекрасив его и купив мебель. Издержки на краску — это постоянные издержки, но это также и невозвратные издержки, поскольку это выплаты, которые произведены и не могут быть возмещены. С другой стороны, издержки на покупку мебели — не совсем невозвратные, поскольку вы можете перепродать мебель, когда она больше не будет вам нужна. Невозвратной является только разность между стоимостью новой и подержанной мебели.

Чтобы объяснить это более детально, предположим, что вы берете взаймы 20 000 долл. в начале года, скажем, под 10% годовых. Вы подписываете договор об аренде офиса и платите 12000 долл. арендной платы вперед за следующий год 6000 долл. вы тратите на мебель для офиса и 2000 долл. на окраску офиса. В конце года вы возвращаете ссуду в 20000 долл. плюс 2000 долл. процентных платежей и продаете бывшую в употреблении офисную мебель за 5000 долл.

Ваши общие невозвратные издержки включают 12000 долл. арендной платы, 2000 долл. процентных платежей, 2000 долл. на краску, но только 1000 долл. на мебель, поскольку 5000 долл. первоначальных расходов на мебель возместимы.

Разность между невозвратными издержками и возместимыми издержками может быть довольно значительной. Расходы в размере 100 000 долл. на покупку пяти легких грузовиков представляются кучей денег, но если впоследствии они могут быть проданы на рынке подержанных грузовиков за 80 000 долл., фактические невозвратные издержки составят лишь 20 000 долл. Расходы же в 100 000 долл. на приобретение изготовленного по заказу пресса для штамповки каких-то уникальных деталей, при перепродаже которого можно выручить лишь нулевую стоимость, — дело совсем другое; в этом случае все расходы являются невозвратными.

Лучший способ правильно решать эти вопросы — это учитывать все расходы в виде потоков, т.е. спрашивать себя, во сколько обходится ведение бизнеса в течение года. При таком способе учета существует меньшая вероятность забыть учесть стоимость, полученную в результате перепродажи капитального оборудования, и большая вероятность четкого проведения различия между невозвратными издержками и возместимыми издержками.

Краткие выводы

1.Функция издержек c(w₁, w₂, y) показывает минимальные издержки произ-водства данного объема выпуска при заданных ценах факторов.

2.Поведение, направленное на минимизацию издержек, налагает на выбор фирм заметные ограничения. В частности, функции условного спроса на факторы должны иметь отрицательный наклон.

3.Существует тесная взаимосвязь между отдачей от масштаба, демон-стрируемой данной технологией, и поведением функции издержек. Воз-растающая отдача от масштаба подразумевает убывание средних издержек, убывающая отдача от масштаба подразумевает возрастание средних издер-жек и постоянная отдача от масштаба подразумевает постоянные средние издержки.

4.Невозвратные издержки — это издержки, которые не могут быть возмещены.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Докажите, что максимизирующая прибыль фирма будет всегда миними-зировать издержки.

2.Если фирма производит в точке, где MP₁/w₁>MP₂/w₂, то что она может сделать, чтобы сократить издержки, оставив при этом выпуск без изме-нений?

3.Предположим, что минимизирующая издержки фирма использует два фактора, являющихся совершенными субститутами. Как будут выглядеть функции условного спроса на факторы, если цены обоих факторов оди-наковы?

4.Цена бумаги, используемой минимизирующей издержки фирмой, растет. Фирма отвечает на это изменение цены изменением спроса на некоторые факторы производства, но сохраняет выпуск постоянным. Что произойдет с количеством бумаги, используемым фирмой ?

5.Какое неравенство, характеризующее изменения цен факторов (Dw_i) и спроса на факторы (Dx_i) при заданном объеме выпуска, следует из теории выявленной минимизации издержек для случая использования фирмой n факторов производства (n >2)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к рассмотрению предложенной в тексте задачи минимизации издержек, используя технику оптимизации, с которой вы познакомились в гл. 5. Речь идет о задаче минимизации издержек, имеющей вид:

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁,x₂

при f(x₁, x₂) = y.

Вспомним, что для решения такого рода задач мы пользовались несколькими техническими приемами. Одним из них была подстановка ограничения в целевую функцию. Этим методом по-прежнему можно пользоваться, когда мы имеем дело с функцией конкретного вида f(x₁, x₂), однако, в общем случае он имеет ограниченное применение.

Вторым методом был метод множителей Лагранжа, и он прекрасно подходит для решения рассматриваемой задачи. Чтобы применить этот метод, мы строим функцию Лагранжа

L = w₁x₁ + w₂x₂ — ë(f(x₁, x₂) — y)

и берем ее производные по x₁, x₂и ë. Это дает нам условия первого порядка:

w₁ — ë = 0,

w₂ — ë = 0,

f(x₁, x₂) — y = 0.

Последнее условие есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом

.

Обратите внимание на то, что это то же самое условие первого порядка, которое мы вывели в тексте: технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов.

Применим этот метод к производственной функции Кобба—Дугласа:

f(x₁, x₂) = .

Тогда задача минимизации издержек принимает вид

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁, x₂

при = y.

Перед нами конкретный вид задачи для функции особого вида, и мы можем решить эту задачу, используя либо метод подстановки, либо метод Лагранжа. При методе подстановки следует вначале выразить из ограничения x₂ как функцию x₁:

x₂ = ,

а затем подставить полученное выражение в целевую функцию, чтобы перейти тем самым к задаче минимизации без ограничений

min w₁x₁ + w₂ .

x₁

Мы могли бы, как обычно, взять производную этого выражения по x₁и приравнять ее к нулю. Можно решить полученное в результате этого уравнение, получив x₁как функцию w₁, w₂ и y, чтобы получить функцию условного спроса на x₁. Сделать это нетрудно, но алгебра здесь довольно запутанная, и мы не будем выписывать все детали решения задачи указанным методом.

Мы, однако, решим данную задачу методом Лагранжа. Три условия первого порядка представляют собой

w₁ = ë

w₂ = ë

y = .

Умножим первое уравнение на x₁и второе уравнение на x₂, получив при этом

w₁x₁ = ë = ëay

w₂x₂ = ë = ëby,

так что

x₁ = ë (19.6)

x₂ = ë . (19.7)

Теперь мы воспользуемся третьим уравнением, чтобы получить выражение для ë.

Подставляя в условие третьего порядка решения для x₁и x₂, получаем

= y.

Мы можем найти из этого уравнения ë, получив довольно внушительное выражение

ë = ,

которое наряду с уравнениями (19.6) и (19.7) дает нам окончательные решения для x₁ и x₂. Эти функции спроса на факторы будут иметь вид:

x₁(w₁, w₂, y) =

x₂(w₁, w₂, y) = .

Функцию издержек можно найти, записав выражения для издержек при выборе фирмой комбинаций факторов, минимизирующих издержки. Иными словами,

c(w₁, w₂, y) = w₁x₁(w₁, w₂, y) + w₂x₂(w₁, w₂, y).

В результате ряда утомительных алгебраических преобразований мы получаем

c(w₁, w₂, y) = .

(Не беспокойтесь, этой формулы на итоговом экзамене не будет. Она приведена только для того, чтобы продемонстрировать, как мы получаем точное решение задачи минимизации издержек, применяя метод множителей Лагранжа.)

Обратите внимание на то что с ростом выпуска, издержки будут расти быстрее, чем при линейной зависимости, с той же скоростью, или медленнее, в зависимости от того, является ли a + b величиной меньшей, равной или большей 1. Это имеет смысл, поскольку в зависимости от величины a + b технология Кобба—Дугласа характеризуется убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба.

Глава 20 - КРИВЫЕ ИЗДЕРЖЕК

В предыдущей главе описано поведение фирмы, направленное на минимизацию издержек. Здесь мы продолжаем это исследование, используя в этих целях важное геометрическое построение — кривую издержек. Кривые издержек могут использоваться для графического изображения функции издержек фирмы и играют важную роль в изучении определения ее оптимального объема выпуска.

Средние издержки

Рассмотрим функцию издержек, описанную в предыдущей главе. Это функция c(w₁, w₂, y), показывающая минимальные издержки производства объема выпуска y при ценах факторов, равных (w₁, w₂). Далее в этой главе будем принимать цены факторов постоянными, так что можно записывать издержки как функцию одного лишь y, т.е. c(y).

Некоторые издержки фирмы не зависят от объема ее выпуска. Как мы видели в гл. 19, это постоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, которые должны оплачиваться независимо от того, какой объем выпуска производит фирма. Например, фирма может иметь обязательства в отношении платежей по закладной, подлежащие выполнению вне зависимости от того, каков объем ее выпуска.

Другие издержки изменяются с изменением объема выпуска — это переменные издержки. Общие издержки фирмы всегда могут быть представлены как сумма переменных издержек c_v(y) и постоянных издержек F:

c(y) = c_v(y) + F .

Функция средних издержек показывает издержки на единицу выпуска. Функция средних переменных издержек показывает переменные издержки на единицу выпуска, а функция средних постоянныхиздержек показывает постоянные издержки на единицу выпуска. Согласно приведенному выше уравнению:

,

где AVC(y) обозначает средние переменные издержки, а AFC(y) — средние постоянные издержки. Как выглядят эти функции издержек? Легче всего, конечно, изобразить функцию средних постоянных издержек: при y = 0 она принимает значение, равное бесконечности, а по мере увеличения y средние постоянные издержки убывают, стремясь к нулю. Это изображено на рис.20.1A.

A B C

Рис. 20.1

Построение кривой средних издержек. (A) Средние постоянные издержки убывают по мере увеличения выпуска. (B) Средние переменные издержки в конечном счете возрастают по мере роста выпуска. (C) Сочетание этих двух эффектов дает U-образную кривую средних издержек.

Рассмотрим функцию переменных издержек. Начнем с нулевого объема выпуска и рассмотрим производство одной единицы выпуска. При y = 1 средние переменные издержки есть не что иное, как переменные издержки производства этой одной единицы выпуска. Теперь увеличим объем производства до двух единиц. Можно ожидать, что, в худшем случае, переменные издержки удвоятся, так что средние переменные издержки останутся без изменений. Если при увеличении масштаба производства удастся организовать производство более эффективным образом, средние переменные издержки поначалу могут даже снизиться. Но в конечном счете следует ожидать роста средних переменных издержек. Почему? Если в производстве задействованы и постоянные факторы, то с течением времени они приведут к сжатию процесса производства.

Предположим, например, что постоянные издержки обусловлены арендными платежами или платежами по закладной за здание фиксированного размера. Тогда при увеличении производства средние переменные издержки — издержки производства на единицу продукции — могут в течение некоторого времени оставаться постоянными. Однако по достижении полного использования производственных мощностей здания эти издержки резко возрастут, порождая кривую средних переменных издержек формы, представленной на рис.20.1B.

Кривая средних издержек есть сумма этих двух кривых, поэтому она будет иметь U-образную форму, показанную на рис.20.1C. Первоначальное убывание средних издержек вызвано убыванием средних постоянных издержек; возрастание средних издержек в конечном счете вызвано возрастанием средних переменных издержек. Сочетание двух этих эффектов дает U-образную форму кривой, представленную на данном рисунке.

Предельные издержки

Существует еще одна кривая издержек, представляющая интерес:кривая предельных издержек. Кривая предельных издержек показывает изменение издержек, приходящееся на данное изменение объема выпуска. Иными словами, при любом данном объеме выпуска y можно задать вопрос о том, как будут меняться издержки, если мы изменим выпуск на некую величину Dy:

.

С тем же успехом можно записать определение предельных издержек, выразив его через функцию переменных издержек:

.

Это определение эквивалентно первому, поскольку c(y) = c_v(y) + F и постоянные издержки F при изменении y не меняются.

Часто мы воспринимаем Dy просто как еще одну единицу выпуска, так что предельные издержки показывают, насколько изменятся издержки, если мы решим производить еще одну единицу дискретного товара. Если рассматривать производство дискретного товара, то предельные издержки производства y единиц выпуска есть просто c(y) — c(y — 1). Такой способ представления предельных издержек удобен, но иногда вводит в заблуждение. Не забудьте, предельные издержки показывают относительное изменение: изменение издержек, деленное на изменение выпуска. Если выпуск изменяется на одну единицу, то предельные издержки выглядят просто как изменение издержек, но в действительности это относительное изменение при увеличении выпуска на одну единицу.

Как расположить эту кривую предельных издержек на представленном выше графике? Во-первых, отметим следующее. По определению, когда производится нуль единиц выпуска, переменные издержки равны нулю. Следовательно, для первой произведенной единицы выпуска

.

Таким образом, предельные издержки производства первой малой единицы выпуска равны средним переменным издержкам производства одной единицы выпуска.

Предположим теперь, что мы производим в том диапазоне выпуска, где средние переменные издержки убывают. Тогда в этом диапазоне предельные издержки должны быть меньше средних переменных издержек. Ведь для того чтобы понизить значение среднего, следует добавить числа, которые были бы меньше значения среднего.

Вообразите себе последовательность чисел, представляющих средние издержки при различных объемах выпуска. Если среднее уменьшается, значит, издержки производства каждой дополнительной единицы до сих пор были меньше среднего. Чтобы понизить значение среднего, придется добавлять дополнительные единицы, издержки производства которых меньше среднего.

Аналогично, если мы находимся в области, где средние переменные издержки растут, значит, предельные издержки должны быть больше средних переменных издержек, именно более высокие предельные издержки и подталкивают средние издержки вверх. Таким образом, мы знаем, что кривая предельных издержек должна лежать под кривой средних переменных издержек слева от точки минимума последних и над нею справа от точки их минимума. Из этого следует, что кривая предельных издержек должна пересекать кривую средних переменных издержек в точке минимума последней.

В точности такая же аргументация применима и к кривой средних издержек. Если средние издержки снижаются, значит, предельные издержки должны быть меньше средних, а если средние издержки растут, предельные издержки должны быть больше средних. Эти соображения позволяют нам провести кривую предельных издержек так, как это сделано на рис.20.2.

Итак, повторим самые важные моменты:

· Кривая средних переменных издержек поначалу, хотя это и необязательно, может иметь отрицательный наклон. Однако в конечном счете она будет возрастать до тех пор, пока имеются постоянные факторы, вызывающие сжатие производства.

· Кривая средних издержек поначалу должна убывать из-за убывания постоянных издержек, но затем ее наклон должен стать положительным вследствие возрастания средних переменных издержек.

· Для первой единицы выпуска предельные и средние переменные издержки одинаковы.

· Кривая предельных издержек проходит через точку минимума как кривой средних переменных, так и кривой средних издержек.

Кривые издержек. Кривая средних издержек (AC), кривая средних переменных издержек (AVC) и кривая предельных издержек (MC).

Рис. 20.2