Тема 6. выборочное наблюдение

6.1. При проверке веса изготовленных деталей методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 гр. при среднем квадратном отклонении 4 гр. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

6.2. В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:

Число детей в семье
Количество семей

С вероятностью 0,954 найдите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

6.3. С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня на предприятии с численностью работников 480 человек 1-го января текущего года была проведена 25%-я механическая выборка. По результатам наблюдений оказалось, что у 10% обследованных потери рабочего времени достигали более 45 минут в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля работников с потерями рабочего времени более 45 минут в день.

6.4. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%?

6.5. На склад завода поступило 100 ящиков готовых деталей по 80 штук в каждом. Для установления среднего веса деталей проведена серийная бесповторная выборка. Выборочные средние по сериям составили 16; 15,5; 15 и 15,9 г. С вероятностью 0,954 определите средний вес деталей партии.

6.6. В дополнение к предыдущей задаче известно, что доля бракованных деталей по сериям составила 5%; 6%; 4% и 3% соответственно. С вероятностью 0,954 определите долю бракованных изделий в партии.

6.7.Из 410 отобранных на предприятии в результате случайной повторной выборки изделий высшему сорту соответствовали 328 изделий.

Определите с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и возможные границы, в которых будет находиться доля изделий высшего сорта во всей партии изготовленных на предприятии изделий.

6.8.Для определения средней продолжительности телефонных разговоров в порядке случайной повторной выборки было обследовано 470 разговоров. При этом было установлено, что среднее квадратическое отклонение длительности разговора равно 1,2 мин.

Какова вероятность того, что предельная ошибка средней продолжительности телефонных разговоров не превысит 10 секунд.

6.9. С целью определения средних затрат времени при поездках на работу населения города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 1 минуту при среднем квадратическом отклонении 15 минут.

6.10. С целью определения среднего размера вклада в отделениях банка предполагается провести механическую бесповторную выборку лицевых счетов из общего их числа (67800). По данным предыдущего обследования установлено, что среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 1400 тыс.руб. С вероятностью 0,997 определите необходимый объем выборочной совокупности при условии, что предельная ошибка выборки не превышает 100 тыс.руб.

6.11. Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать на основе случайной повторной выборки, чтобы при определении доли телефонных разговоров с длительностью более 5-ти минут предельная ошибка не превышала 10% при уровне вероятности 0,954?

6.12. Предприятие с численностью сотрудников 750 человек путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем свыше 3 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия стажа составила 0,16, а результаты выборочного обследования требуется гарантировать с вероятностью 0,683 и ошибкой не более 5 %?

6.13. С целью определения доли сотрудников предприятия в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую бесповторную выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола. Общее число сотрудников предприятия составляет 12000 чел., в т.ч. 7000 мужчин и 5000 женщин. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 0,16. Определите необходимый объем выборки при уровне вероятности 0,997 и предельной ошибке 5%.

6.14. Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка, выраженная в процентах к среднему сроку службы компьютера, не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

6.15. Из ранее проведенных обследований известно, что среднее квадратическое отклонение веса детали не превышает 2 г. Каков должен быть объем собственно случайной повторной выборки для определения среднего веса детали при условии, что его предельная ошибка не должна превышать 0,4 г. Вероятность, гарантирующую требуемый результат, последовательно принять равной 0,997; 0,954; 0,683.

6.16. Данные текущего учета населения города с численностью жителей 1 млн 250 тыс. человек были подвергнуты выборочной разработке на основе случайной бесповторной выборки. В результате проведения выборочного обследования было установлено, что доля женщин в возрасте до 55 лет составила 43 %, доля мужчин в возрасте 16—60 лет — 36 %, доля населения в возрасте до 16 лет — 17 %. Каков должен быть процент отбора, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка доли по указанным группам населения не превышала 0,5 %?

6.17. Для планирования выборочного обследования занятости мужского населения сельских районов имеются следующие данные:

Район	Численность мужчин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых мужчин, %
	3,5
	5,6
	1,7
	2,8

С вероятностью 0,954 определите:

1) необходимый объем выборки для установления границ генеральной доли по каждому району при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %;

2) необходимый объем типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли:

а) при повторном отборе;

б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

6.18. Для изучения производительности труда работников произведено 10%-ное выборочное обследование выполнения норм выработки. В результате пропорционального типического отбора из групп работников, прошедших и не прошедших производственное обучение, получены следующие данные:

Группы работников по уровню квалификации	Выполнение норм выработки, %	Итого
До 90	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	Свыше 150
Прошедшие производственное обучение	-
Не прошедшие производственное обучение							-	-
Итого

При условии, что в каждой группе производилась случайная бесповторная выборка, определите для генеральной совокупности (с вероятностью 0,954) предел значений удельного веса работников, не выполняющих норм выработки.

6.19. На основе случайной бесповторной выборки планируется 10 %-ное обследование доли различных признаков, характеризующих население области. Какова должна быть минимальная численность населения области, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки при определении доли всех подлежащих регистрации признаков не превышала 0,5 %?

6.20. По условию задачи 6.3 найдите пределы, в которых находится средний процент выполнения норм выработки по генеральной совокупности.

6.21. При контрольной проверке качества поставляемых торговле пищевых яиц проверено 10%-ное выборочное обследование. Из партии, содержащей 100 коробок диетических яиц, методом механического отбора взято 10 коробок. В результате сплошного обследования находящихся в каждой коробке упаковок получены следующие данные:

№ п/п	Номер коробки	Количество упаковок
всего	в том числе с весом десятка яиц 440 г и выше
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
S.
9.
10.
Итого

Установите с вероятностью 0,954 предел удельного веса стандартной продукции во всей партии. (Стандартная продукция — яйца весом не менее 440 г в десятке.)

6.22.В районе проживает 2500 семей. В порядке случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 семей. В результате обследования получены следующие данные о количестве детей в семье:

Число детей в семье						5 и более
Количество семей

Определите среднюю ошибку выборки и с вероятностью 0,997 рассчитайте предельную ошибку выборочной средней.

6.23. По результатам задачи 6.22 определите, какая должна быть численность выборки, чтобы ошибка выборки уменьшилась в 1,5 раза.

6.24. Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 300 шт. деталей. В результате проверки установлен средний вес детали — 20 г при среднем квадратическом отклонении 4 г.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средний вес деталей генеральной совокупности.

6.25. При разработке материалов учета городского населения методом случайного бесповторного отбора установлено, что 22 % жителей города старше 60 лет. Из общей численности населения города (400 тыс. человек) было отобрано 40 тыс. чел.

С вероятностью до 0,683 определите пределы, в которых находится доля жителей города в возрасте старше 60 лет.

6.26. Из 1000 деталей в порядке случайной бесповторной выборки взято 100 шт. с целью определения доли деталей первого сорта. Никаких предварительных сведений о доле продукции первого сорта в общем объеме выпуска не имеется. Определите предельную ошибку выборки, гарантировав результат с вероятностью 0,997.

6.27. В районе 10 тыс. семей, из них 5 тыс. — рабочих, 4 тыс. — колхозников, 1 тыс. — служащих. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора. Результаты выборки приведены в следующей таблице:

Типы семей	Среднее число детей в семье	Среднее квадратическое отклонение по группам
Рабочие Колхозники Служащие	2,3 2,8 1,8	1,2 2,5 0,5

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе.

6.28. При обследовании 150 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 30 нестандартных.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

6.29. Для установления среднего срока службы деталей методом серийной выборки из 900 кассет с деталями отобрано 9. По кассетам средний срок службы деталей следующий:

Номер кассеты
Срок службы, месяцев	8,2	8,0	7,7	8,5	7,9	8,8	7,0	7,5	8,4

С вероятностью 0,997 определите ошибку выборки для среднего срока службы деталей и укажите границы возможных значений этого показателя в генеральной совокупности.

6.30. С целью контроля за соблюдением норм расхода сырья проведено выборочное обследование партии заготовок деталей (400 шт.). При механическом бесповторном отборе 2 % изделий, поступающих из литейного цеха, получены следующие данные о распределении образцов по массе:

Масса изделия, г	до 500	500-525	525-550	550-575	575-600	600 и выше
Число изделий, шт.

Норма расхода сырья на заготовку — 550 г. Проверьте, соответствует ли фактический расход сырья установленной норме. Выводы сделайте с вероятностью 0,997.

6.31. Какой должна быть численность выборки при определении среднего вклада в банки города, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превысила 50 у.е.? Ориентировочная дисперсия вкладов равна 250 тыс. у.е.

6.32. По данным предыдущих выборочных обследований качества строительно-монтажных работ доля дефективности при кирпичной кладке составляет 0,2. Какая должна быть численность выборки при проверке качества кирпичной кладки, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не превышала 4 %.

6.33. В выборке объемом 2000 единиц доля бракованных изделий составила 5 %. Выборка случайная, бесповторная. Необходимо определить вероятность того, что во всей партии изделий (20 000 штук) доля бракованных изделий находится в пределах от 4,5 до 5,5 %.

6.34. В зимнюю сессию экзамен сдавали 600 студентов. Определите объем выборки при бесповторном собственно случайном отборе, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки доли студентов, не сдавших экзамен, не превышала 3 %, если доля не сдавших экзамен в среднем не превышает 10 %.

6.35. По методу случайного отбора было опрошено 5 % студентов о величине времени, затрачиваемом ими на дорогу в университет.

В результате опроса получен следующий ряд распределения:

Время, затрачиваемое студентом на дорогу, мин.	Число студентов, человек
До 10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
Свыше 60

На основании данных выборочного обследования вычислите:

1. Среднее время, затрачиваемое студентами на дорогу в университет.

2. С вероятностью 0,683 возможные пределы, в которых заключена генеральная средняя времени, затраченного на дорогу.

3. С вероятностью 0,954 возможные пределы доли студентов, затрачивающих на дорогу в институт до 20 минут, а также пределы времени, затраченного ими на дорогу.

4. С вероятностью 0,997 возможные пределы доли студентов, затрачивающих на дорогу в институт свыше 50 минут, а также пределы времени, затраченного ими на дорогу.

6.36. С целью определения затрат времени на изготовление детали произведен хронометраж работы 25 рабочих, отобранных в случайном порядке (каждый десятый рабочий). По данным выборки получена средняя величина времени изготовления деталей — 15 мин при среднем квадратическом отклонении 2 мин. Определите ошибку выборки, а также:

1) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 2 раза;

2) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 1,7 раза;

3) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,21 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2,25 раза;

4) как изменится ошибка выборки, если доля выборки составит: а) 19 %, б) 36 %;

5) как изменится ошибка выборки, если провести типический отбор (выделить группы рабочих по стажу работы), а межгрупповая дисперсия затрат времени при этом составит 36 % общей дисперсии.

6.37. По данным 2%-ного выборочного обследования среднего уровня издержек обращения получены следующие данные: для 25 продовольственных магазинов — средний уровень издержек 4,7 % при коэффициенте вариации 20 %, для 16 промтоварных магазинов — 5,6 % при коэффициенте 18 %. С вероятностью 0,954 определите относительную ошибку выборки для среднего уровня издержек обращения в продовольственных и промтоварных магазинах.

6.38. По результатам задачи 6.35 определите численность выборки, чтобы ошибка выборки уменьшилась в 2 раза.

6.39.При выборочном обследовании 19% изделий из партии готовой продукции по методу бесповторного отбора получены следующие данные о содержании влаги в образцах:

Влажность, %	Число образцов
До 10
10–12
12–14
14–16
16–18
Итого

На основании данных выборочного обследования определите:

1) среднюю влажность готовой продукции;

2) среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации влажности готовой продукции;

3) с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средняя влажность готовой продукции в партии;

4) с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса стандартной продукции в партии при условии, что к нестандартной относятся изделия с влажностью, превышающей 14%.

Сделайте выводы.

6.40. В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции на заводе проведена 20%-ная механическая выборка изделий из партии, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе:

Масса изделия, г	Число изделий, шт.
до 80
80‑82
82‑84
84‑86
86‑88
Итого

На основании данных выборочного обследования определите:

1) среднюю массу готовых изделий;

2) среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации веса готовых изделий;

3) с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых ожидается средняя масса изделия в партии;

4) с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса стандартной продукции в партии при условии, что к стандартной продукции относятся изделия с массой от 80 до 86 г.

Сделайте выводы.

6.41. Как изменится средняя ошибка случайной повторной выборки, если: 1) объем выборки увеличить в 4 раза; уменьшить в 9 раз; 2) среднее квадратическое отклонение признака возрастет в 2 раза.

6.42. В целях изучения затрат рабочего времени на изготовление одной детали проведена 19%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число изделий, шт.
до 40
40-42
42-44
44-46
46-48
48 и более
Итого