Вопрос 1. Дискретная матричная модель воспроизводства населения.

Вопрос 1. Дискретная матричная модель воспроизводства населения.

Воспроизводство населения – количественный процесс, характериз. изменением численности и половозрастного состава населения под влиянием процессов рождаемости, старения и смертности.

В шир. смысле – процесс изменения не только возрастных, но и соц. структур в результате естественного, социального и миграционного движения.

· Модель динамики половозрастного состава населения

–численность населения k-ого пола в 1-ой возрастной группе в момент времени ;

– вероятность рождения ребёнкаk -ого пола у женщины возраста , - начало и конец фертильного периода

- сальдо миграции лиц k-ого пола в 1-ой возрастной группе в момент времени ;

-вероятность дожития лиц k-ого находящихся в -ой возрастной группе до следующей возрастной группы ( );

Матричная форма:

2Mкомпонент 2Mкомпонент

матрица параметров естественного движения. Её размерность

Таким образом,дискретная матричная модель воспроизводства населения имеет вид:

· Модель динамики соц состава населения

– вер-сть перехода из rв n группу.

Матричная форма:

Nкомпонент Nкомпонент

матрица параметров соц движения. Её размерность

Таким образом,дискретная матричная модель имеет вид:

· Модель динамики соц-половозрастного состава населения

Матричная форма:

2MNкомпонент 2MNкомпонент

матрица параметров ест движения. Её размерность

Здесь как для половозр, но с верхними индексами n

такая как , только в левой части нули везде, справа внизу вместо pтоже нули. Индексы верхние nr

матрица параметров соц движения. Её размерность

Здесь

Таким образом,дискретная матричная модель имеет вид:

Задача: оценить средние издержки.

Решение.

· строим ф-ю распредобъема спроса в неделю и интервалы случайных чисел для значений стохастической переменной (4 и 5 столбцы)

Спрос в неделю	Частота	Вероятность	Значение функции распределения	Интервал случайных чисел
х1	a1	p1= a1/сумм	f1=p1	от		до	f1
…	…	…	…
хn	an	pn= an /сумм	fn=p1+…+pn=1	от	fn-1 +1	до	fn
	=сумм	=1

· строим ф-ю распред и интервалы случайных чисел для времени выполнения поставок:

Время поставок	Вероятность	Значение функции распределения	Интервал случайных чисел
	p1	f1=p1	от		до	f1
	p4	fn=p1+p2+p3+p4=1	от	fn-1 +1	до	fn
Итого

Процесс имитации:

1. Каждая имитируемая неделя начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа c шт.

2. Путем выбора случайного числа генерируется недельный спрос для соответствующего распределения вероятностей.

3. Рассчитывается итоговый запас = исходный запасq - величинаспроса. Если q недостаточен для удовлетворения недельного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно.Фиксируется число нереализованных продаж.

4. Определяется, снизился ли запас до точки восстановления d шт. Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.

Определим средние издержки в неделю:

· ст-сть заказов= Затраты на один заказ х Среднийспрос.

· стоимость хранения = Затраты на хранение единицы в нед х Средняя величина конечного запаса.

· стоимость упущ продаж = Стоимость упущ продажи х Среднее число упущ продаж в неделю.

средние издержки в неделю=Стоимость заказов + Стоимость хранения + Стоимость упущ продаж

Дискретные СВ:

Строим последовательность, удовлетворяющую условиям 1 и2, каждая запись состоит из известных ξ₁,…, ξ_n с вероятностями p₁,…,p_n

Алгоритм:

1. γ, γ<p₁ =>ξ₁, если нет то 2
2. γ<p₁+p₂ =>ξ₂
3. γ<p₁+p₂+p₃ =>ξ₃и тд

Так как ξ распределена равномерно на (0, 1), то вероятность попасть на интервал из (0, 1) равна длине интервала.

Непрерывные СВ

F(x) - Функция распределения

f(x) - Плотность распределения

Свойства:

1. Случайность
2. Независимость
3. Соответствие ЗР: для любого (t₁, t₂) P{t₁<запись <t₂}=F(t₂)-F(t₁)=

F(ξ)= γ, γ?R(0, 1)

γ – СВ, так как 1 и 2 выполняются

Вероятность, что γ ?(t₁, t₂) равна длине интервала

Дискретный ЗР

· Если х и у независимы, то находится ЗР каждой из составляющих, которая затем разыгрывается как одномерная, не зависимо от другой.

· Если х и у зависимы, то находится ЗР одной составляющей и условный ЗР другой.

Непрерывный

· Если х и у независимы, то находится ЗР любой из составляющих и разыгрывают произведение методом обратной функции.

· Если х и у зависимы, то находится ЗР одной составляющей и условный ЗР другой.

Рассмотрим моделирование непрерывной векторной СВ .

Ее полное описание задается совместной плотностью ,

Стандартный метод моделирования векторных СВ основан на представлении w(x) в виде произведения

.

вектор может моделироваться покомпонентно:

· ξ1 с ПРВ ,

· ξ1 по ПРВ и т. д.

· Последней ξm , имеющая ПРВ .

После каждая компонента моделируется как скалярная величина

Оценка точности решения имитационных задач.

Оцениваем точность полученного результата, после моделирования СВ следующим образом: определяем необходимый объем выборки для заданной точности. Используем ЦПТ:

Если n ->∞ , то ->0 а значит, ошибка не превышает

Чтобы найти заданную точность

Графическая иллюстрация

Постановка задачи:

определение наборов потребительских благ из бюджетного множества, обладающих наибольшей полезностью с позиции его предпочтений:

В силу выпуклости отношения предпочтения « » и ограниченности экономической области потребителя Ω, можно утверждать, что оптимизационная задача имеет единственное решение .

1е ограничение может быть заменено на равенство вместо неравенства.(В силу ненасыщаемости отношения потребительского предпочтения можно однозначно утверждать, что ограничение строго равно бюджету. Если бы было меньше, то приобретением дополнительного набора благ на разницу потребитель мог бы увеличить свою полезность).

Решение:

Это задача на условный экстремум с ограничениями в виде равенств, следует использовать необходимые и достаточные условия оптимальности решения, вытекающие из теоремы Куна-Таккера и составить функцию Лагранжа, которая для случая с критерием на максимум записывается следующим образом:

.

Оптимальное решение задачи из системы:

;

,

в точке оптимума :

· предельные полезности благ прямо пропорциональны их рыночным ценам :

· предельная полезность блага на ед. его рыночной стоимости одинакова для всех благ набора и совпадает с множителем Лагранжа :

.

· предельная норма замены потребительских благ обратно пропорциональна их рыночным ценам:

.

Экономическая интерпретация множителя Лагранжа:он совпадает с предельной полезностью бюджетных средств потребителя.

Модель Канторовича

нацелена на максимизацию финансового результата организации.

Целевая функция фирмы на max выпуска продукции в стоимостном выражении

Приводим задачу к каноническому виду путём введения m фиктивных переменных (tj – остаток j-го вида ф-ра пр-ва).

Размерность задачи n+m

Число базисных переменных r = число линейно независимых факторов = nпо числу ограничительных факторов.

Число свободных переменных = m

Решаем симплекс – методом.

Матрица эффективности находится на пересечении интенсивных технологий и дефицитных ресурсов. Матрица эффективности квадратная. Число интенсивных технологий с необходимостью совпадают с числом дефицитных ресурсов.

Экономическая интерпретация базисных переменных – реальная картина склада материалов и готовой продукции. Экономическая интерпретация свободных переменных – потенциал для улучшения плана.

Интерпретация Базисных и Свободных переменных по последней симплекс-таблице:

Технологии	Ресурсы
Интенсивны	Не интенсивные	Дефицитные	Не дефицитные
Базис. пер.	Своб. пер.	Св.пер.	Баз. пер
Двойственные оценки технологий - мера их убыточности по сравнению с теми, которые вошли в оптимальный план (упущенная выгода)	Двойственные оценки ресурсов - мера важности ресурса для оптимальной функции предприятия (предельная отдача)

Эластичность спроса

Воспользовавшись теоремой Эйлера об однородной функции, получим:

Тогда (Сумма всех эластичностей по цене равна отрицательной эластичности по доходу).

· i k

- коэффициент перекрестной эластичности спроса на i-е благо по цене на k-е благо.Показ процентное изменение спроса на i-е благо при изменении цены k-го блага на один процент;

- коэффициент эластичности спроса на i-е благо по бюджету потребителя М. Показ процентное изменение спроса на i-е благо при изменении бюджета потребителя М на один процент при условии, что вектор рыночных цен остается неизменным.

Блага классифицируются на:

1.

· ценные (если , то спрос на i-е благо растет с ростом бюджета М);

· малоценные (если , то спрос на i-е благо падает с ростом бюджета М).

2.

· взаимозаменяющие (Если , то спрос на i-е благо растет с ростом цены на k-е благо);

· взаимодополняющие (Если , то спрос на i-е благо падает с ростом цены на k-е благо);

· независимые (Если ).

· i k

- коэффициент прямой эластичности спроса на i-е благо по цене на это же благо. Показ процентное изменение спроса на i-е благо при однопроцентном изменении цены на это благо (при условии, что все остальные цены и бюджет потребителя неизменны).

Блага классифицируются на:

· особенные (гиффеновы) (Если , спрос на i-е благо растет или остается неизменным с ростом его цены);

· нормальные (Если , то спрос на i-е благо падает с ростом цены).

Вопрос 7. Экономическое содержание двойственности. Способы получения и практическое использование оценок ресурсов и их св-ва: оценка как мера влияния на функционал.

Рассм модель оптимизации пр-ва по критерию max дохода (при использовании для производства i-й продукции одного технологического способа производства T_i (i = 1,2,..., n)).

p_i — доход от реализации продукции, изготовляемой однократным применением i-й технологии.

a_ij — затраты j-го ресурса ( j =1,2,..., т) при однократном применении i-й технологии.

Состояние производственной системы задается вектором интенсивностей использования технологий Т₁,..., Т_n.

Вектор “выпуск-затраты”, описывающий функционирование производственной системы, имеет вид .

При этом выпуск товарной продукции равен ,

а затратыi-го ресурса составляют величину .

Рассмотрим модель с т зрценности имеющихся у предприятия ресурсов.

Каждый вид ресурса обладает некоторой “теневой ценой”, определяющей ценность ресурса с т зр дохода от реализации выпускаемой продукции. Она зависит от наличного запаса ресурса и потребности в нем для выпуска продукции.

Экономический результат совпадает с затраченными ресурсами, исчисленными в их теневых ценах.

Оптимальные теневые цены называют объективно обусловленными оценками (о.о.о.) или оптимальными оценками, или двойственными оценками ресурсов.

Для определения о.о.о. ресурсов составим самостоятельную задачу ЛП.

· Обозначим через ( j=1,2,..., m) о.о.о.j-го ресурса.

· Величины должны быть такими, чтобы сумма теневых цен ресурсов, затрачиваемых при любом используемом производственном способе, не была меньше величины дохода :

· Если произв. система в оптимальном состоянии, то ресурсы потребляются в соответствии сихо.о.о., а их суммарная теневая цена - наименьшая возможная

Модель:

1 и 2 теоремы двойственности:

1)равенство экстремальных значений целевых функций:

2) свободные переменные в оптимальном решении прямой задачи (принимают нулевое значение) соответствуют базисным переменным оптимального решения двойственной задачи (принимают положительные значения), и наоборот.

Соотношения “дополняющей нежесткости”:

Краткая экономическая интерпретация соотношений:

1) в оптимальном состоянии суммарный выпуск предприятия совпадает с затратами производственных ресурсов, исчисленными в их теневых ценах.

2) Первое из соотношений показывает, что, если j-й производственный ресурс является недефицитным (т.е. выражение в круглых скобках строго положительно), то его теневая цена равна нулю. Наконец, второе из соотношений показывает, что если i-й производственный способ является интенсивным, т.е. , то величина выпуска совпадает с затратами производственных ресурсов по этой технологии.

Экономическая интерпретация двойственных оценок:

· Для продуктов – это упущенная выгода в случае включения данного продукта в производственную программу (насколько уменьшится совокупный выпуск, если мы решим отвлечь недефицитные ресурсы на выпуск 1 ед. этого продукта);

· Для ресурсов – предельная отдача ресурсов (насколько увеличится совокупный выпуск при увеличении данного ресурса на 1 ед.).

Свойства двойственных оценок:

Графический метод

Для определенности, игрок I имеет возможность выбирать между двумя стратегиями с вероятностями p₁ и p₂ = 1-p₁.

в системе координат хОу на оси абсцисс откладывается отрезок [А₁,А₂], равный единице, и через концы этого отрезка проводятся перпендикулярные к оси абсцисс прямые, на которых откладываются выигрыши игрока А.

Левый перпендикуляр, совпадающий с осью ординат, соответствует стратегии А1, для которой Р1=1, Р2=0, а правый равен стратегии А2, для которой Р1=0, Р2=1. При применении игроком В стратегии В1 выигрыш будет а11, если игрок А использует стратегию А1, и будет а21, если он применяет стратегию А2. Отложив отрезки, равные а11 и а21 на соответствующих перпендикулярах получим две точки: В1 соответствующий стратегии А1 и В1 соответствующий стратегии А2. Ордината любой точки отрезка В1В2 равна величине выигрыша игрока А при применении им стратегии А1 и А2 с вероятностями Р1 и Р2.

Если игрок В применяет стратегию В2, то выигрыш игрока А равен а12 при использовании стратегии А1, и а22 – стратегии А2. Ординаты точек, лежащие на отрезке В2В2, равны среднему выигрышу игрока А, если он применяет стратегии А1 и А2 с вероятностями Р1 и Р2, а противник -–стратегию В2.

Для нахождения оптимальной стратегии построим нижнюю границу выигрыша игрока А, т.е. ломаную В2NB1, отмеченную на рис.1 линией. Очевидно, что на этой ломанной лежат минимальные выигрыши игрока А при использовании им любой смешанной стратегии.

Оптимальное решение игры определяет точка N, вкоторой выигрыш игрока А принимает наибольшее значение (проигрыш игрока В наименьшее значение) равный цене игры . Проекция этой точки на ось абсцисс соответствует оптимальной стратегии , при этом расстояния от точки до концов единичного отрезка на оси абсцисс равны вероятностям и .

Оптимальная стратегия игрока В находится аналогично. Для этого необходимо поменять местами игроков А и В. (см. рис.2)

Модель в виде:

X(t) = AX(t) + F(t),

t – момент времени,

А – продуктивная матрица (матрица коэффициентов прямых затрат – объем ресурса i, необходимый для производства единицы продукта j).

Вектор конечного спросаF(t) состоит из двух компонентов:

· вектора потребления С

· вектора инвестиций I

F(t) = C(t) + I(t).

доход в момент времени tY(t),

функцияпотребления отдельных видов благ может быть записана как

Ci(t) = h_iY(t), i = 1, …, n.

Доход Y(t) можно представить в виде функции:

Y(t) = v1X1(t) + x2X2(t) + … + vnXn(t

vi – доля добавленной стоимости для блага i.

Введем соответствующие векторы:

	h 1		v 1
h =	h 2	v =	v 2
…
	h n		v n

можно вывести следующее соотношение:

C(t) = hvX(t)

bij -величина капитала i, необходимая для производства блага j, то матрица коэффициентов капитала В запишется в виде:

	b 11	b 12	…	b 1n
B =	b 21	b 22	…	b 2n
	…	…		…
	b n1	b n2	…	b nn

Допустим, что как между выпуском продукции и затратами сырья, так и между выпуском продукции и величиной необходимого для этого капитала существует пропорциональная зависимость.

Если прирост производства продукции обозначить как

∆Xi(t) = Xi(t+1) – Xi(t),

то инвестиционный спросна благо i за период времени t запишется как

Ii(t) = b_i1∆X1(t) + b_i2∆X2(t) + … + b_in∆Xn(t), i = 1, …, n.

Формулуможно переписать в матричном виде:

I(t) = B∆X(t) = B(X(t+1) – X(t))

Из уравнений можно вывести основное уравнение динамической межотраслевой модели:

X(t) = (A+ hv)X(t) + B(X(t+1) –X(t)).

обозначимA˜ = А + hv, то можно переписать в виде:

X(t) = A˜X(t) + B(X(t+1) – X(t)).

в модели предполагается равновесный рост производства.

темп прироста обозначить как g, то можно составить следующее уравнение:

X(t+1) – X(t) = gX(t).

вектор выпуска продукции за некоторый год принять за X, то динамическое уравнение можно записать как:

X = (A˜ + gB)X

Откуда после преобразования получаем:

(1-А˜)^-1BX = 1/g · X.

пусть при (1-А˜)^-1> 0, в каждом ряду матрицы B есть хотя бы один положительный элемент.

При таком допущении, поскольку (1-А˜)^-1B> 0, согласно теореме Перрона-Фробениуса о положительно-определенных матрицах максимальный по своему абсолютному значению положительный характеристический корень λ^* матрицы (1-А˜)^-1B (корень Фробениуса) (м.б. вычислен наиболее просто с помощью алгоритма возведения в степень и умножения) и правый положительный характеристический вектор X^* (вектор Фробениуса) определяются однозначно. Иначе говоря, других неотрицательных характеристических векторов не существует.

Следовательно, обладающая экономическим смыслом траектория равновесного роста (траектория фон Неймана – магистраль) представляет собой вектор [αX^*: α≥0], а темп прироста g^* в этой модели определяется как величина, обратная λ^*.

Недостатки модели Неймана.

а) отсутствие в явном виде непроизводственного потребления продукции;

б) отсутствие ограниченных (невоспроизводимых или ограниченно воспроизводимых ресурсов)

в) неизменность технологий (отсутствие научно-технического прогресса)

С-ма тов. хоз-ва.

· Продается J видов товаров

· Затрачивается I ф-ров пр-ва

· – цена jго блага

· – ценаiгоф-ра

Имеется F фирм

– кол-во ф-раiна пр-во прод фирмой f

– объем продаж продукта jфирмой f

ПФ фирмы запишется:

Прибыль

Модель:

Ф-я Лагранжа:

(J+I+1)*F ур-ий

Имеется R потребителей

– кол-во проданного ф-ра i потреб-лем r;

– кол-во товара j потребленного потр-лем r.

ФП потреб-ля запишется:

Бюджетное ограничение

Модель:

Ф-я Лагранжа:

(J+I+1)*R ур-ий

Учтем условия равновесия спроса и предложения на произв. ф-ры и произв-е товпотребл-я (J+I ур-й):

· Товары:

· Факторы: