Модели производственных затрат.

Линейные модели произв. затрат и прибыли предприятия.

Простейшая экон.-математическая модель произв. основана на том, что общие издержки С(х) на производство продукции в количестве х единиц состоят из:

постоянные издержки (С0)

переменные пропорциональные издержки С1=bx, где b – расходы (сырья, материала, энергии) в расчете на 1 изд. в ден. выражении.

Пост. Изд. – это изд., которые фирма несет независимо от объема выпуска продукции.

Перем.(пропорциональные) изд. – это издержки, которые нах. в зависимости от объема выпуска, и пропорционально умен. или увел. в зависимости от объема выпуска.

Модель совокупных расходов: С(х)= С0+ bx

Параметры модели С0 и b определяются.

Лин. модель прибыли строится на основе данных о валовом доходе и производных затратах: PR(x)=px-C(x), px – валовый доход, PR – величина прибыли. Линейная модель прибыли(найти мин. Объем, чтобы не прогореть) имеет вид: PR(x)=px-C0-bx= - C0+(p-b)*x

Анализ данной ф-лы дает след. результаты:1.При отсутствии деят. PR(x)=-C0. 2.если p<=b (цена изделия не превышает предельных переем. затрат), то PR(x)<=0, т.е. производство не будет прибыл. при любом колич. изделий.

3. p>b, то определяется точка безубыточности х0,т.е. количество изделий, которому соответствует PR=0, то есть прибыль = 0 (обеспечивается мин. уровень производства). x0=C0/(p-b). Для всех x≤x0 производство убыточно (PR≤0).Для всех x≥x0 производство прибыльно(PR>0).

При увеличении цены (р) точка безубыточности смещается влево. Безубыт. достигается при меньшем кол-ве изделий (Б1).

Квадратичная модель производст. Затрат.

Она включает помимо постоянных (С0) и переменных (С1) затрат еще «сверхпропорциональные» затраты (С2), в составе которых учитываются затраты на расш. Произв., оплата сверхурочного труда и т.д.Для матем. описания этого вида затрат испол. степенная зависимость от объема выпуска С2=kx2, где k>0 – параметр модели. Квадратич. модель затрат: С(х)= С0+ С1+ С2= С0+bx+ kx2

График - монотонно возрастающая парабол. функция при х≥0.

Квадратичная модель прибыли.

Квадратичная модель прибыли строится на основе квадр. модели затрат и имеет вид: PR(x)=px-(С0+bx+ kx2)=- C0-kx2+(p-b)*x

Анализ этой формулы дает след. Рез.:1.если p<=b,то PR(x)≤=0, т.е. произв. будет убыточным при любом кол. Изд..2. если p>b, то существует 2 точки, которым соответствует нулевая прибыль PR=0.

При анализе по объему произ. возможны 3 случая:1.если х<x0, то PR<0 и производство убыточно

2. если x01<=х<=x02, то PR>=0 и производство прибыльно - зона безубыт..Точка безубыт. рассчитывается с помощью дискриминанта. Расстояние между двумя точками называется зоной беззуб.. При росте цены, зона безубыт. расширяется в одну сторону (вправо). В центре зоны безубыточности находится точка макс. прибыли, выч. как PR’(x)=0.

3.если х>x02, то PR<0 Такое уравнение имеет один корень, то есть в лучшем случае такое производство, может быть, безубыточным.

В центре зоны беззуб. находится точка макс. прибыли xmax, знач. которой опреде. из условия равенства нулю первой производн. от функции

PR(x)= - C0-kx2+(p-b)*x__(1)

PR’(x)= - 2kx+p-b=0_____(2)

отсюда xmax=(p-b)/2k_____(3)

Величина максимальной прибыли равна (после подстановки (3) в (1)):

Оптимизационные задачи

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.) называются оптимизационными. Состоит из: •Целевой функции- это матем. Представ. зависимости критерия оптимальности от искомых перем. Примеры целевой функции: макс. прибыли, мин. себестоимости и т.д.•Области допустимых решений.Значения перемен., при которых целевая функция имеет смысл (удовл. системе ограничений), наз. Допуст. Знач. переменных. Множество всех допустимых значений перемен. называют областью допустимых знач. переменных.

•Системы огран., определяющие эту область допустимых значение.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения области допустимых значений. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования. Каждой задаче лин. программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу,называемую двойствен.

Двойственная модель линейного программ.. использ. для изуч. Поставлен. проблемы с т.з., отличной от той, которая исследуется в обычной прямой задаче. Прямая и двойственная модели приводят к одному и тому же решению и к получению одинаковой инф. о чувствительности модели. Единственная причина, по которой предпочтение отдается той или иной модели, состоит в том, что одну из них решить легче. Переменные двойствен. модели являются для исходной, или прямой, модели теневыми ценами ресурсов. Структура двойственной и прямой задачи одинакова. Если прямая модель линейного программирования построена, из нее легко получить соответств. Двойствен. модель.

Модели зависимости спроса.

Кривая Энгеля легко выводится из кривой «доход – потребление». Совок. точек оптимума потребителя, построенных для изменяющегося дохода и неизменных цен называется кривой доход-потребление. Для построения кривой Энгеля отложим по оси ординат доход потребителя (R), а пооси абсцисс — объем потребления одного из товаров за данный период.

Форма кривых Энгеля позволяет классифицировать изучаемые товары на нормальные (с выделением в этой группе предметов первой необходимости и предметов роскоши) и на аномальные. Если полученная кривая имеет полож. наклон, то товар относится к группе нормальных. Это означает, что с ростом дохода потребление такого товара увеличивается. Если же кривая Энгеля имеет отрицат. наклон, то товар относится к аномальным, и с ростом доходов объем его потребления сокращ. закон Энгеля - доля расходов на питание в доходе потребителя с ростом дохода испытывает тенденцию к умен.. доля расходов на одежду и жилище относительно постоянна, в то время как доля расходов не «предметы роскоши» (образование, отдых,и т.п.) с ростом дохода возрастает. Если колич. покупаемого товара растёт быстрее, чем доход,то кривая отклон. от прямой вправо. Если доход растёт быстрее, чем спрос на товар, то кривая отклон. влево, что характерно для так называемых «предметов первой необходим».

Коэффициент эластич. пок. степень количественного изменения одного фактора (например, объема спроса или предложения) при изменении другого (цены, доходов или издержек) на1%. Для изучения изменения спроса в зависимости от доходов различных групп потребителей применяются модели степенного вида (функции Энгеля).

D=AIγ A>0, γ>0 – параметры модели.Здесь показатель степени γ имеет смысл коэфф. Эласт. спроса по доходу, он показывает, на сколько % увеличится/ уменьшится спрос на товар, если доход увел./снизится на 1%.Если γ<1, то спрос на товар слабо зависит от дохода потребит. Допол. расходы на эти товары снижаются, при увеличении дохода. Говорят, что спрос на этот товар неэластичен по доходу. Это относится в основном к предметам первой необход.. Спрос нормально эластичный, если EI(D)~=1, что имеет место для товаров длит. Пол.(цена выросла на 1%, спрос сниз. На 1%).Для предм. роскоши если EI(D)>1 – суперэластичный спрос, т.е. при увеличении доходов все большая часть его прироста тратится именно на товар этой группы.

ПРОЕКТНЫЙ АНАЛИЗ

Статические и динамические критерии.

основанные на учет. оценках – статические методы; основанные на дисконтир. оценках – динамич. методы.

Статич. методы: срока окупаемости и норма прибыли, среднегод. Норма прибыли.

Срок окупаемости инвестиций— это расчет. период возмещен. Первонач. Вложений за счет прибыли от проектной деят..

Простая норма прибыли. аналогичен коэффициенту рентабельности капитала и показывает, какая часть инвест. затрат возмещается в виде прибыли в течение одного интервала планирования.

Статические методы недостаточно точны, так как в них отсутствует фактор взаимосвязи времени и денег.

Динамические методы:

1.Чистаятекущаястоимость(NPV).

2.Индексрентабельностиинвестиций(PI).

3.Внутренняянормарентабельности(IRR).

Чистая текущая стоимость (NPV)= Сальдо доходов и расходов инвестиционного проекта, приведенных к моменту начала его осуществления.Определение чистой текущей стоимости предполагает суммирование дисконтированных показателей ежегодной прибыли (убытка), т. к. величина поступлений от реализации продукции и услуг, а также объем затрат на производство и инвестиций различаются по отдельным годам функционирования проекта.

Rn - доход (убыток) от реализации продукции или услуг в период n;

In - инвестиционные затраты в период n;

i - норма дисконтирования (ставка помещения);

n - период оценки (функционирования проекта) (n = 1, 2, 3...N);

Ln - ликвидационная стоимость в конце службы проекта;

Показатель чистой текущей стоимости отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала предприятия в случае принятия анализируемого проекта.

Индекс рентабельности инвестиций(PI)-соотношение между чистой текущей стоимостью доходов и совокупностью инвестиций, необходимых для получения этих доходов, которое указывает на величину условной выгоды (потери) на единицу инвестиций.

Числитель - текущая стоимость доходов без учета инвестиций; Знаменатель - текущая стоимость инвестиций.

1. PI > 1 проект следует принять;

2. PI < 1 проект следует отвергнуть;

3. PI = 1 проект мин. эффективный.