Методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания
Теоретическое введение
Методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания используются для прогнозирования временных рядов. Формально временной ряд – это множество пар данных (X,Y), в которых X – это моменты или периоды времени (независимая переменная), а Y – параметр (зависимая переменная), характеризующий величину исследуемого явления. Цель исследования временных рядов состоит в выявлении тенденции изменения фактических значений параметра Y во времени и прогнозировании будущих значений Y. Модель, построенную по ретроспективным данным можно использовать при наличии устоявшейсятенденции в динамике значений прогнозируемого параметра. К возможным ситуациям нарушения такой тенденции относятся: коренное изменение плана деятельности фирмы, которая стала терпеть убытки; резкое изменение параметров внутренней или внешней ситуации (цен на сырье; уровня инфляции); стихийные бедствия, военные действия, общественные беспорядки.
Суть методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания состоит в том, фактические уровни исследуемого временного ряда заменяются их средними значениями, погашающими случайные колебания. Это позволяет более четко выделить основную тенденцию изменения исследуемого параметра. Эти относительно простые методы прогнозирования временных рядов, основанные на представлении прогноза 
в виде суммы m предыдущих наблюдаемых значений 
( 
), причем каждое из них учитывается с определенным весовым коэффициентом 
.
Использование методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания основано на следующих допущениях:
· временной ряд является устойчивым в том смысле, что его элементы являются реализациями следующего случайного процесса:
,
где b – неизвестный постоянный параметр, 
– случайная ошибка.
· случайная ошибка имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию;
· данные для различных периодов времени не коррелированны.
Метод скользящего среднего
Расчет прогноза и сглаживание временного ряда методом скользящего среднего производится по формуле
 . | (10.1) |
При этом предполагается, что все m значений за m моментов времени вносят равный вклад в прогнозируемое значение и учитываются с одинаковым весовым коэффициентом 
.
Метод экспоненциального сглаживания
В методе экспоненциального сглаживания весовые коэффициенты предыдущих наблюдаемых значений увеличиваются по мере приближения к последним (по времени) данным. Кроме того, в формировании прогнозируемого значения участвуют все n известных значений ( 
) временного ряда
 | (10.2) |
Для расчета прогноза и для сглаживания временного ряда методом экспоненциального сглаживания используют формулу (10.2) в виде
 , | (10.3) |
где 
– константа сглаживания. Таким образом, значение можно вычислить рекуррентно на основании значения 
.
10.2. Методические рекомендации
Задача №10.01
Постройте и проанализируйте график временного ряда, представленного в табл.10.1 с точки зрения применимости методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания.
Таблица 10.1
Исходные данные задачи №10.01
| t | |||||||
 , тыс. шт. |
Сделайте прогноз для t=8 методом скользящей средней для m=4;методом экспоненциального сглаживания для a=0,6.
Решение
График исходного временного ряда представлен на рис.10.1.
Рис.10.1.График временного ряда задачи №10.01
Из графика видно, что наблюдается явная тенденция к возрастанию значений временного ряда 
, что приведет к неточности в прогнозах, выполненных методами скользящего среднего и экспоненциального сглаживания (это следует из допущений методов), к подавлению этой тенденции.
Для прогнозирования методом скользящего среднего достаточно выполнить единственный расчет
[тыс. шт.].
Для прогнозирования методом экспоненциального сглаживания необходимо провести расчеты для всех моментов времени, за исключением t=1:
;
;
; 
;
; 
;
[тыс. шт.].
Не существует четкого правила для выбора числа членов скользящей средней m или параметра экспоненциального сглаживания 
. Они определяются статистикой исследуемого процесса. Чем меньше m и чем больше a, тем сильнее реагирует прогноз на колебания временного ряда, и наоборот, чем больше m и чем меньше a, тем более инерционным является процесс прогнозирования. На практике величина n обычно принимается в пределах от 2 до 10, а – в пределах от 0,01 до 0,30. При наличии достаточного числа элементов временного ряда значение m и a, приемлемое для прогноза, можно определить следующим образом:
· задать несколько предварительных значений m ( );
· сгладить временной ряд, используя каждое заданное значение m ( );
· вычислить среднюю ошибку прогнозирования как среднее абсолютное отклонение (mean absolut deviation – MAD)
 | (10.4) |
· выбрать значение m ( ), соответствующее минимальной ошибке.
10.3. Варианты задач для самостоятельного решения
Задача №10.1
В табл.10.2 приведены данные о спросе на некоторый товар за прошедшие два года.
Таблица 10.2
Объем спроса на товар
| Месяц t | Спрос , тыс.шт. | Месяц t | Спрос , тыс.шт. |
Постройте и проанализируйте график временного ряда с точки зрения применимости методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. На основании анализа графика выберите наиболее приемлемое значение:
1) m из m=4 и m=8;
2) из =0,05 и =0,3.
Проверьте свои предположения с помощью методики, описанной в п.10.2. Сделайте прогноз спроса на следующий месяц методом скользящего среднего и экспоненциального сглаживания.
Задача №10.2
В табл.10.3 содержатся данные за десятилетний период о количестве людей (Y), посетивших туристическую зону на воздушном транспорте.
Таблица 10.3
Исходные данные задачи №10.2
| Год | ||||||||||
| Y, тыс. чел. |
Проанализируйте эти данные с точки зрения применимости методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Выберите приемлемое по вашему мнению значение m и и сделайте прогноз на 2003 г.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1972.
2. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. Ростов н/Д: Феникс, 1999.
3. Редкозубов С.А.. Статистические методы прогнозирования в АСУ. М.: Энергоатомиздат, 1981.
4. Таха Х.А. Введение в исследование операций. в 2-х книгах. М.: Мир, 1985.
5. Таха Х.А. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом "Вильямс", 2001.
6. Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров. Анализ данных на компьютере. Под ред. В.Э.Фигурнова. М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика.
7. Чекотовский Э.В. Графический анализ статистических данных в Microsoft Excel 2000. М.: Издательский дом "Вильямс", 2002.
8. Эддоус М. , Стенсфилд Р. Методы принятия решений. М.: ЮНИТИ, 1997.