Понятие и типы моделей. Моделирование

А.С. Гринберг

О.Б. Плющ

В.К. Шешолко

Экономико-математические
методы и модели

Курс лекций

2-е издание, стереотипное

Минск

УДК 519.86(076.6)

ББК 65.9(2)23

Г85

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Гринберг, А.С. Г85 Экономико-математические методы и модели: курс лекций / А.С. Гринберг, О.Б. Плющ, В.К. Шешолко. – 2-е изд., стер. – Мн.:Акад. упр. при Президенте Респ. Беларусь, 2005. – 222 с. – (Система открытого образования). ISBN 985-457-482-2.   Курс лекций предназначен для студентов системы открытого образования Академии управления при Президенте Республики Беларусь, обучающихся по специальности «Государственное управление и экономика».     УДК 519.86(076.6) ББК 65.9(2)23

ISBN 985-457-482-2	ã	Гринберг А.С., Плющ О.Б., Шешолко В.К., 2003
	ã	Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.. 7

ГЛАВА I. Основные понятия и методы Экономико-математического моделирования.. 10

Тема 1. Основные понятия и определения.. 10

Лекция 1. Основные понятия и определения. 10

Понятие и типы моделей. Моделирование. 10

Заключение. 17

Контрольные вопросы к теме №1. 18

Тема 2. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных.. 19

Лекция 2. Основы регрессионного анализа. 19

Понятие корреляционного и регрессионного анализа. 19

Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии 21

Оценка величины погрешности линейного однофакторного уравнения 25

Проблема автокорреляции остатков. Критерий Дарбина-Уотсона. 28

Построение уравнения степенной регрессии. 29

Двухфакторные и многофакторные уравнения регрессии. 30

Заключение. 31

Контрольные вопросы к теме №2. 31

Тема 3. Оптимизационные методы математики в экономике.. 32

Лекция 3. Оптимизационные модели. 32

Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей. 32

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными 34

Геометрическая интерпретация оптимизационных задач
линейного программирования. 35

Симплексный метод решения оптимизационных задач
линейного программирования. 37

Решение оптимизационной задачи линейного программирования
в Excel. 41

Двойственная задача линейного програмирования. 45

Решение двойственной задачи линейного програмирования. 47

Свойства объективно обусловленных оценок и их анализ. 48

Заключение. 49

Контрольные вопросы к теме №3. 49

ГЛАВА II. Базовый комплекс экономико-математических моделей.. 50

Тема 4.Математические Модели формирования
и использования запасов.. 50

Лекция 4. Математические модели формирования и
использования запасов. 50

Введение. 50

Построение модели управления запасами в условиях детерминированного спроса. 52

Оптимальные партии поставки для однопродуктовых моделей. 52

Оптимальные партии поставки для многопродуктовых моделей. 57

Определение оптимальных параметров системы управления движением запасов. 58

Заключение. 61

Контрольные вопросы к теме №4. 62

Тема 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ И СПРОСА.. 63

Лекция 5. Математические модели потребительского поведения и спроса 63

Введение. 63

Модели распределения доходов. 64

Количественный подход к анализу полезности и спроса. 69

Отношение предпочтения и функция полезности. 71

Кривые безразличия. Решение задачи об оптимальном выборе потребителя 75

Функции спроса. Коэффициент эластичности. 87

Изменение цен и компенсация. 93

Заключение. 98

Контрольные вопросы к теме №5. 99

Тема 6. Математические модели
производственных функций предприятия.. 100

Лекция 6. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия 100

Понятие производства и производственных функций. 100

Изокванта и ее типы.. 106

Оптимальная комбинация ресурсов. 112

Функции предложения и их свойства. 116

Моделирование издержек и прибыли предприятия (фирмы) 118

Методы учета научно-технического прогресса. 128

Модели фирмы (производителя) (курсовая работа) 135

Издержки предприятия на производство продукции, задача их минимизации 135

Задача минимизации издержек. 139

Задача максимизации объема выпуска продукции. 140

Заключение. 142

Контрольные вопросы к теме №6. 143

Тема 7. элементы математических моделей экономического равновесия.. 144

Лекция 7. Основы микроэкономического анализа рынка. 144

Рыночное равновесие. Сравнительная статика. 144

Моделирование процесса достижения равновесия. 151

Моделирование рыночных механизмов в условиях
ограниченности ресурсов. 167

Модели частного экономического равновесия. Паутинообразная модель рынка (курсовая работа) 174

Паутинообразная модель динамики рыночных цен. Допущения и основные составляющие модели. 174

Паутинообразная модель с запаздыванием спроса. 177

Паутинообразная модель с запаздыванием предложения. 180

Итерационное решение задачи. 184

Постановка задачи. 184

Дополнительные примеры. Анализ полученных результатов. 186

Заключение. 187

Контрольные вопросы к теме №7. 188

Тема 8. Экономико – математические модели «национальный доход – эффективный спрос». (курсовая работа) 189

Лекция 8. Экономико – математические модели «Национальный доход – эффективный спрос». 189

Введение. 189

Определение национального дохода. 190

Личный доход после вычета налогов. 191

Совокупный личный доход. 191

Национальный доход (в узком смысле слова) 192

Процесс кругооборота доходов в СНС.. 192

Счета доходов. 193

Счет распределения первичных доходов. 194

Счет вторичного распределения доходов. 196

Сводный счет распределения доходов. 198

Счета использования доходов. 199

Счет использования валового национального располагаемого
дохода. 200

Определение национального дохода. Графики. 201

Заключение. 203

Контрольные вопросы к теме №8. 203

Тема 9. Экономико – математическое моделирование МЕЖОТРАСЛЕВого равнровесия (курсовая работа) 204

Лекция 9. Экономико – математическое моделирование межотраслевого равнровесия. 204

Введение. 204

Определение равновесного выпуска итеративным методом.. 206

Основные элементы межотраслевых таблиц и межотраслевого
анализа. 206

Модель расширяющейся экономики Неймана. 214

Контрольные вопросы к теме №9. 220

Вопросы к экзамену.. 221

ЛИТЕРАТУРА.. 222

Введение

Курс «Экономико-математическое моделирование» объединяет комплекс экономических и математических дисциплин, предназначенных для изучения экономики.

Экономико-математические методы и модели имеют общий с другими экономическими дисциплинами объект исследования – экономику как социально-экономическую систему. Однако предмет исследования науки «Экономико-математическое моделирование» имеет свой собственный. Она изучает разные стороны своего объекта исследования и прежде всего количественные взаимосвязи и закономерности. При этом используются особые научные методы, которые сами становятся объектом исследования.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использованием, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. На этом этапе необходимо осознать задачу, четко сформулировать ее: определить объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуацию, которую нужно реализовать в результате ее решения.

2. Системный анализ задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, обычно производится качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение, в ходе которого сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п.

3. Системный синтез (математическая постановка) задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. На этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. В подавляющем большинстве случаев решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, а системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

4. Разработка программы решения задачи на персональном компьютере. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

5. Решение задачи. На этом этапе производятся модельные расчеты и получение результатов.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация с использованием современных информационных технологий позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней. Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности.

Выявление количественных взаимосвязей и закономерностей в социально-экономической системе облегчается при использовании информационных технологий. Однако реальный синтез экономической теории, статистики, математики и информационных технологий еще впереди и принесет в будущем немало открытий. При этом существенную роль будут играть различные модели.

Программа курса охватывает комплекс моделей, иллюстрирующих функционирование экономики как на микро- так и на макроуровне. Состав комплекса моделей отображает рис.1.

Рис. 1. Компоненты функционально полного комплекса ЭММ

1. МФЗ – модели формирования запасов

2. МИЗ – модели использования запасов

3. МПП – модели поведения потребителя

4. МЧР – модели частного экономического равновесия

5. МФ – модели фирмы (производителя)

6. МОР – модели общего экономического равновесия

ГЛАВА I. Основные понятия и методы Экономико-математического моделирования

Тема 1. Основные понятия и определения

Лекция 1. Основные понятия и определения

Основные понятия:

модель; моделирование; микроэкономические модели макроэкономические модели; односекторные модели; многосекторные модели; глобальные модели; статические модели; динамические модели; балансовые модели; эконометрические модели; оптимизационные модели; сетевые модели; имитационные модели; модели систем массового обслуживания; экспертная система; детерминированные модели; стохастические модели; объект моделирования; проблемная ситуация.

Стохастическая зависимость; функциональная зависимость; корреляционная зависимость; корреляционный анализ; регрессионный анализ; уравнение регрессии; параметры уравнения регрессии; коэффициент корреляции; погрешности коэффициентов уравнения регрессии; автокорреляция; критерий Дарбина-Уотсона; двухфакторные и многофакторные уравнения регрессии.

Введение

Запасы средств производства представляют собой экономическую категорию, присущую товарному производству на всех стадиях его развития. Они призваны обеспечить непрерывность и высокие темпы расширенного воспроизводства.

Возникает вопрос: зачем же обществу нужны запасы? Существует много причин, почему организации идут на их создание. Основной довод состоит в том, что обычно либо физически невозможно, либо экономически невыгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них возникает спрос. При отсутствии запасов потребителям приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Однако обычно потребители не хотят или не могут долго ждать. Одно это говорит о необходимости хранения запасов почти каждой организацией, снабжающей товарами потребителей. Но существуют и другие причины для создания запасов. К ним относятся цены на сырье, которые могут подвергаться значительным сезонным колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья, которых хватило бы на весь сезон высоких цен, которые можно было бы по мере надобности использовать в производстве. Другой довод, особенно важный для предприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продаж и прибыль могут быть увеличены, если имеется некоторый запас товаров, который можно предложить потребителю.

И хотя вопросы, связанные с хранением запасов, столь же стары, как и сама история, только с начала 20 века были сделаны попытки использовать аналитические методы для их изучения. Первоначальным толчком к применению математических методов анализа систем управления запасами послужило, вероятно, одновременное развитие промышленности и технических наук, и особенно науки об организации производства. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуться с вопросами календарного планирования производства и хранения запасов, когда продукция производится серийно и поступает на заводской склад.

Впервые вывод формулы, которую часто называют простой формулой размера партии, был сделан Фордом Харрисом в 1915 году. С тех пор эта же самая формула была получена, вероятнее всего самостоятельно, многими исследователями. Часто ее называют формулой Уилсона, так как она была получена в качестве одного из результатов разработанной Уилсоном схемы управления запасами.

И лишь по окончании второй мировой войны, когда стали развиваться наука о методах управления и руководства и исследование операций, было обращено серьезное внимание на случайный характер процессов управления запасами. До этого системы рассматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, как, например, работа Уилсона, где были сделаны попытки как-то учесть вероятностный характер этих систем.

Интерес к использованию аналитических методов решения задач управления запасами впервые возник в промышленности, где инженеры искали способы решения практических задач.

В настоящее время работы в этой области ведутся в различных аспектах. С одной стороны, значительная работа проводится непосредственно в области практического применения, хотя с другой стороны, исследуются и абстрактные математические свойства моделей управления запасами.

При управлении запасами любого товара следует ответить на два основных вопроса: когда пополнить запас, и каков должен быть размер заказа на пополнение?

Введение

Микроэкономика – основа всей современной экономической науки. Ее главная задача – выяснение того:

· как принимают решения и ведут себя субъекты хозяйственной деятельности – отдельные потребители (домашние хозяйства) и производители (предприятия), которые имеют специфические стимулы (интересы) и руководствуются определенными принципами;

· как устанавливаются на рынке цены на различные блага и услуги;

· как, исходя из цен, осуществляется распределение ресурсов.

Микроэкономику иногда называют «теорией цен», поскольку ее предметом является механизм распределения ресурсов, главными индикаторами которого выступают цены. В центре внимания микроэкономического анализа – достижение равновесия между спросом и предложением на рынке посредством цен. Спрос и предложение определяются производством и потреблением, за которыми, в свою очередь, стоят индивидуальные планы потребления и производства. Первые составляются отдельными потребителями, преследующими цель максимизировать полезный эффект потребления. Планы производства разрабатывают предприятия, стремящиеся максимизировать прибыль. Необходимые предпосылки микроэкономического анализа – предположения о существовании свободного рынка и о рациональном характере поведения индивидов.

Изменение цен и компенсация

Проблема компенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях, когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. При этом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из них использует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается на понятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставить спрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом, применяется функция спроса

D = D(I, p),

где

I – исходный уровень дохода,

p – исходный уровень цены.

Обозначим новый уровень цены:

,

а компенсирующее изменение дохода

.

Легко видеть, что спрос остается неизменным, если выполняется условие

.

Для нормальных и ценных товаров и , поэтому при повышении цены (Dp>0), для сохранения уровня спроса необходимо увеличение дохода в размере

.

В конкретном случае, когда функция спроса имеет вид:

,

получаем следующее простое соотношение между повышением цены и компенсацией

или .

Это означает, что относительное увеличение дохода должно быть пропорционально относительному изменению цены с коэффициентом пропорциональности, равным отношению эластичностей этих факторов.

В более сложном случае многих товаров указанный подход основан на использовании функций спроса вида:

Повышение цены одного из товаров (например, с номером n) изменяет, вообще говоря, спрос на каждый товар. Если для некоторого товара j имеет место соотношение:

,

т.е. при повышении цены на товар n падает спрос на товар j, то продукты n и j являются взаимодополняющими (например, автомобили и бензин).

Нетрудно видеть, что, если среди перечня товаров имеются взаимодополняющие, то в общем случае невозможно точно решить задачу компенсации путем увеличения дохода.

Если же для товара j справедливо неравенство:

,

т.е. повышение цены на товар «n» вызывает увеличение спроса на товар «j», то они называются взаимозаменяемыми (масло и маргарин). Функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости, если все товары являются взаимозаменяемыми. Нетрудно видеть, что в этом случае повышение цены на один товар приводит к снижению спроса только на этот товар, но увеличивает спрос на все остальные. В этой ситуации для расчета необходимой компенсации можно использовать подход, рассмотренный выше для случая одного товара. Однако при этом получается слишком высокий уровень компенсации, поскольку повысится потребление практически всех товаров.

В связи с этим применяется более экономный способ оценки размера компенсации, основанный на использовании понятия функции полезности. При таком подходе объемы спроса на различные товары рассматриваются как решение задачи об оптимальном выборе потребителя в условиях ограниченности дохода:

u(x₁, ..., x_n) ® max

x_j ³ 0 (j = 1, ..., n)

Решение этой задачи:

определяет максимально достижимый уровень функции полезности , который очевидно, зависит и от системы цен p = (p₁, ..., p_n) и от уровня дохода I.

Пусть теперь, как и прежде, повышена цена p_n товара «n». Решение модифицированной задачи будет таково, что максимальный уровень понизится. В связи с этим возникает естественный вопрос: насколько нужно увеличить доход I, чтобы восстановить прежнее значение , а следовательно, и прежний уровень удовлетворения потребителя. В достаточно общей форме ответ на этот вопрос дает уравнение Слуцкого, основные выводы из которого будут далее рассмотрены на простом примере.

Пусть n=2, функция полезности:

.

Решение задачи оптимального выбора имеет вид:

.

Максимальный уровень функции полезности:

Условие сохранения максимального уровня имеет вид:

или .

Отсюда получаем выражение для компенсации в случае изменения цен:

.

Таким образом, если цена p₂ возрастает (dp₂ > 0), а цена p₁ остается неизменной (dp₁ = 0), то спрос на второй товар упадет, а спрос на первый товар не изменится. Размер компенсации определяется в этом случае отношением

Таким образом, достигнутый уровень удовлетворения будет сохранен, если доход будет увеличен ровно настолько, чтобы потребитель мог приобрести прежний объем второго товара. Однако, нетрудно показать, что на самом деле потребитель использует компенсацию следующим образом: его спрос на товар с повышенной ценой (товар 2) уменьшится, но возрастет объем закупок первого товара. При этом уровень полезности останется тем же, каким он был до повышения цен и получения компенсации. Иллюстрацию этого перехода можно найти на рисунке 5.19.

Рис. 5.19. Оптимальный набор при изменении цен и компенсации

Здесь:

· линия С – кривая безразличия, соответствующая максимальному уровню полезности;

· линия АВ – бюджетная линия до повышения цен;

· точка D – оптимальный набор;

· линия FВ – бюджетная линия после повышения цены p₂, но до выплаты компенсации;

· линия А¢B¢ – бюджетная линия после выплаты компенсации (А¢В¢|| FВ), точка D¢ – оптимальный набор в новых условиях.

В более общем случае, когда задача оптимального выбора имеет вид:

,

можно показать, что компенсационная доплата, сохраняющая прежний уровень максимальной полезности, связана с изменением цен соотношением:

,

где – оптимальный спрос на j – товар до изменения цен, а – изменение цены на j-тый товар.

Заключение

Итак, экономическая наука, как и любая другая имеет свою специфику, которая определяется общей спецификой наук о человеке. Все общественные науки изучают самую сложную и высокоорганизованную форму движения – социальную. На современном этапе экономические взаимоотношения между субъектами образуют экономические системы со сложной структурой, большим количеством элементов и связей между ними, которые и являются причиной почти всех особенностей экономических задач.

В данном разделе описан механизм функционирования экономической системы со стороны потребления. Неотъемлемой категорией теории потребления является понятие полезности. Существуют различные разработки методов измерения полезности. Но главным критерием применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на практике. Уже поэтому полезность можно считать достаточно сложным компонентом данной теории – измерить его реально не представляется возможным. То же можно сказать, соответственно, и о понятии предельная полезность.

Поведение потребителя определяют, во-первых, отношения предпочтения потребителя, а, во-вторых, ограничением выступает бюджетное ограничение. Отношения предпочтения описывают кривые безразличия, тип которых зависит от вида потребляемых товаров. Бюджетное ограничение отражает бюджетная линия, зависящая от уровня дохода и уровня цен на товары. В этих условиях оптимальный план потребления определяется, исходя из максимизации общей полезности. Выражая оптимальный план потребления через зависимость от цен и дохода, получили функцию спроса отдельного домашнего хозяйства.

Кроме того, следует учитывать то, что экономические системы развиваются и усложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или применявшихся лишь для небольших прикладных задач.

Контрольные вопросы к теме №5

1. Как определяется функция полезности.

2. Что такое кривая безразличия.

3. Какие типы функций полезности вы знаете.

4. Дайте определение предельной норме замещения.

5. В чем суть закона убывающей предельной нормы замещения.

6. Бюджетная линия и ее свойства.

7. Как определяется оптимальный план потребления.

8. Как определяются функции спроса.

9. Дайте определение коэффициента эластичности.

Производственная функция; технологическое множество; предельный продукт; средняя ресурсоотдача; ресурсоемкость; изокванта; функция постоянной эластичности замены; оптимальная комбинация ресурсов; изокоста; функция предложения; издержки; прибыль; научно-технический прогресс.

Изокванта и ее типы

При моделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезности различных комбинаций потребительских благ графически отображается с помощью кривой безразличия.

В экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов KиL для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. На рис. 6.1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции.

Рис. 6.1. Изокванты, соответствующие различному объему производства

Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K₁ единиц капитала иL₁ единиц труда или K₂ единиц капитала или L₂ единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y₂=300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X_c, называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство:

f(x) = c

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

.

Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и kравен:

.

Полученное соотношение показывает, что, если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции:

,

который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина s_jk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на s_jk процентов, то коэффициент взаимной замены изменится на 1 процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность . Соответственно большие значения s_jk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо.

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s_jk=1. В практике прогнозирования и предплановых расчетов часто используются функции постоянной эластичности замены (СЕS), имеющие вид:

.

Для такой функции коэффициент эластичности замены ресурсов:

и не меняется в зависимости от объема и отношения затрачиваемых ресурсов. При малых значениях s_jk ресурсы могут заменять друг друга лишь в незначительных размерах, а в пределе при s_jk=0они теряют свойство взаимозаменяемости и выступают в процессе производства лишь в постоянном отношении, т.е. являются взаимодополняющими. Примером производственной функции, описывающей производство в условиях использования взаимодополняющих ресурсов является функция «выпуска-затрат», которая имеет вид:

,

где a_j – постоянный коэффициент ресурсоотдачи j-того производственного фактора. Нетрудно видеть, что производственная функция такого типа определяет выпуск по «узкому месту» на множестве используемых производственных факторов. Различные случаи поведения изоквант производственных функций для различных значений коэффициентов эластичности замены представлены на графике (рис. 6.2).

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей. В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию:

,

Рис. 6.2. Различные случаи поведения изоквант

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением:

,

Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида:

Y = A + b₁K + b₂L,где

Y –объем производства;

A, b₁, b₂ -параметры;

K, L – затраты капитала и туда,

и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Изокванты линейного типа

Для степенной производственной функции Y = AK^aL^b будут иметь вид кривых (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Изокванты степенной производственной функции

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рис.6.5).

Р