Графическая интерпретация равновесия потребителя
Оптимальный набор потребительских благ должен находиться на бюджетной линии и предоставить потребителю наиболее предпочтительное сочетание. Совмещение линии бюджетного ограничения и карты кривых безразличия позволяет определить равновесное положение потребителя, которое достигается в точке A (рис.2.10), где линия бюджетного ограничения касается кривой безразличия U2.
Точки B и С пресечения бюджетной линии и кривой безразличия U1 не могут быть равновесными, т.к. точки на кривой безразличия U1 обладают меньшей совокупной полезностью, чем точки кривой безразличия U2. Точки же кривой безразличия. U3, хотя и обладают большей совокупной полезностью, но лежат за пределами бюджетного ограничения.
В точке А наклоны бюджетной линии и кривой безразличия совпадают. Наклон бюджетной линии равен . Наклон кривой безразличия равен . Это условие можно интерпретировать следующим образом: соотношение, в котором потребитель при данных ценах способен замещать один товар другим равно соотношению, в котором потребитель согласен замещать один товар другим без изменения уровня своего удовлетворения.
Оптимальное решение, представленное на рис.2.10. называют внутренним оптимумом, так как точка А лежит внутри двумерного пространства товаров. Однако в некоторых ситуациях бюджетная линия прямая и кривая безразличия имеют разный наклон на всем их протяжении, и точки их касания не существует. В этом случае оптимальное решение определяется положением, наиболее близким к касанию, и называется угловым. Оно определяется пересечением бюджетной линией, одной из осей координат и кривой безразличия (рис.2.11).
Оптимальный выбор потребителя достигается либо в точке А (рис.2.11, a), если , либо в точке B (рис.2.11, б), если .
Рис.2.11. Угловое решение задачи выбора потребителя
Задача оптимизации потребителя. Метод множителей Лагранжа (математическое приложение)
В экономике очень часто приходится решать оптимизационные задачи с ограничениями, т.е. нахождение максимума или минимума функции при наличии ограничений на независимые переменные. Аналитически такая задача записывается в виде:
Примером такого типа задач является задача потребительского выбора: максимизировать функцию полезности потребителя при наличии бюджетных ограничений.
Для решения этой задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Введем вспомогательный параметр (множитель Лагранжа) и построим новую функцию, которая называется функцией Лагранжа:
.
Необходимые условия экстремума состоят в равенстве в точке экстремума нулю частных производных функции Лагранжа по переменным :
Пусть - решение данной системы. «Укороченная» точка является возможным решением исходной задачи. Необходимо для анализа вычислить значение функции в соседних точках, однако фактически всегда данный метод приводит к правильному решению.
Пример. Пусть потребитель имеет доход I = 24 денежных единиц. Функция полезности потребителя имеет вид , где x1, x2 - потребляемые количества продовольственных и непродовольственных товаров. Их цены соответственно равны и . Какой набор благ выберет потребитель?
Задача потребителя состоит в максимизации целевой функции при бюджетном ограничении . Аналитически это можно представить:
или .
Знак неравенства заменяется на знак равенства, так как максимум полезности достигается, если будет израсходован весь бюджет.
Составим функцию Лагранжа и получим необходимые условия экстремума
Из первого уравнения . Из второго уравнения . Подставим найденные в третье уравнение: . Подставим найденное значение в первое и второе уравнения и получим: .
Таким образом, потребитель выберет и .
Изменение дохода потребителя и сдвиги бюджетной линии. Кривые «доход-потребление» и типология экономических благ. Сдвиги кривой индивидуального спроса. Кривые Энгеля. Кривая «цена-потребление». Построение кривой индивидуального спроса
Решив задачу оптимального выбора потребителя можно найти количества товаров X и Y, максимизирующие полезность потребителя при данном бюджетном ограничении. Эти количества (X* и Y* – координаты точки оптимума потребителя) отражают спрос потребителя на указанные товары. Определим характер зависимости спроса, проследив динамику изменения спроса на товар при изменении цен и дохода. Рассмотрим две пары кривых: «доход-потребление» и кривая Энгеля; «цена – потребление» и кривая спроса. Кривые, образующие каждую из пар, строятся по одним и тем же данным и дают одну и ту же информацию в отношении спроса на товар, но в разных формах.
Изменение дохода потребителя вызывает параллельный сдвиг бюджетной линии (рис.2.12). Уменьшение дохода смещает бюджетную линию к началу координат (при этом предполагается, что цены фиксированы). Смещение бюджетной линии приводит к новой точке равновесия, поскольку при каждом уровне дохода потребитель выбирает наиболее полезный набор благ. Связывая все точки равновесия на карте кривых безразличия соответствующие различным величинам дохода (E1, E2, E3), получаем кривую «доход – потребления». Она показывает, как при фиксированных ценах меняется потребление индивида по мере роста его бюджета.
Изменение в цене товара соответствует движению вдоль кривой спроса. Так как каждая кривая спроса соответствует определенному уровню дохода, то любое изменение в доходе ведет к смещению самой кривой спроса. На рис.2.12 увеличение дохода при неизменных ценах заставляет потребителя изменить выбор, кривая спроса сдвигается вправо (D1 к D2 и затем к D3).
Типология экономических благ
К нормальным товарам относятся товары, спрос на которые изменяется в направлении изменения дохода.
К товарам низшей категории, или некачественным (инфериорным) товарам, относятся те, спрос на которые изменяется в направлении, противоположном изменению дохода. Термин «инфериорность» применительно к тому или иному благу совсем не означает его некачественность. Такой неверный период слова «inferior» базируется на том, что в английском языке слову «inferior» может противопоставляться слово «superior» и в таком контексте первое слово означает «худший», а второе «лучший».
Нейтральные, или независимые, товары – это товары, которые не являются ни нормальными, ни некачественными для потребителя. Это блага, потребление которых остается неизменным при всех уровнях дохода, расходы на них занимают относительно незначительную часть бюджета потребителя.
Кривая «доход – потребление» для нормальных, некачественных и нейтральных (независимых) благ имеет различный наклон. Кривая для нормальных благ имеет положительный наклон, поскольку с увеличением дохода увеличивается потребление обоих благ X и Y (рис.2.13).
Кривая «доход – потребление» для некачественных благ имеет отрицательный наклон (рис.2.14). После достижения определенного уровня дохода дальнейшее его увеличение приводит к сокращению потребления блага. При достижении этого уровня дохода кривая «доход – потребление» принимает отрицательный наклон. При увеличении доходов выше определенного уровня потребители будут отказываться от потребления некачественных благ.
Кривая «доход – потребление» для нейтральных (независимых) благ – вертикальна (рис.2.15).
Кривые «доход – потребление» используются для построения кривых Энгеля, которые приводят в соответствие с уровнем дохода количество потребляемого товара. Зависимость объема спроса на благо от дохода потребителя в условиях стабильных цен, представленную в графическом виде, называют кривой Энгеля по имени немецкого статистика XIX в. Э. Энгеля, который первым провел углубленный анализ структуры расходов домашних хозяйств. Он считал, что с ростом семейного дохода доля расходов на питание сокращается, одежду и жилье не изменяется, на образование - увеличивается.
На рис.2.16 представлено построение кривой Энгеля для нормального товара, на рис.2.17, a – для некачественного товара. Один и тот же товар, выступая в качестве нормального при низком уровне дохода, может быть некачественным при уровне достаточно высоком. Такое изменение характера предпочтений потребителя в отношении товара X, начиная с уровня дохода I2, показано на рис.2.17, б.
|
Наклон кривой Энгеля может быть выражен как отношение изменения в доходе к изменению количества покупок товара ( ).
Кривая Энгеля на рис.2.18 соответствует обратному виду функции I (X). Но часто ее удобнее строить для функции, отображающей прямую зависимость количества спроса на товар от дохода X (I).
Рассмотрим изменения равновесия потребителя, обусловленные изменениями цены данного товара X. На рис.2.19 снижение цены на одно благо при неизменной структуре предпочтений и прежнем доходе приводит к повороту бюджетной линии против часовой стрелки до новой точки пересечения с осью, более удаленной от начала координат.
При снижении цены Р1 до Р2 бюджетная линия поворачивается против часовой стрелки. Покупатель может теперь приобрести больше товара X, если он израсходует на него весь свой доход. В то же время ему становятся доступными все более удаленные от начала координат кривые безразличия. Оптимум потребителя смещается из точки E1 в точку E2. Соединяя все подобные точки, получим линию, называемую кривой цена-потребление. Она представляет множество всех оптимальных комбинаций товаров X и Y при изменении цены товара X.
Таким образом, кривая, связывающая все точки равновесия потребителя при изменении в ценах, представляет собой кривую «цена – потребления».
На основе кривой цена-потребление можно построить линию индивидуального спроса (нижняя часть рис.2.19). Если потребитель покупает Х1 товара X при цене Р1 и X2 при цене Р2, то на основании этой информации можно построить кривую спроса D.
Кривая «цена – потребление» аналогично кривой «доход – потребление» дает информацию о характере изменения величины спроса по обоим товарам. На рис.2.19 кривая «цена – потребления» и кривая спроса представлены для нормального товара, с падением цены товара X количество спроса на товар Y растет. Товар Y выступает по отношению к товару X комплиментом, и кривая «цена – потребление» имеет положительный наклон. Однако при сохранении отрицательности наклона кривой спроса на X, Y может выступать по отношению к X и субститутом, изменения цены товара X и величины спроса Y однонаправлены, кривая «цена – потребление» имеет положительный наклон. В случае, когда величина спроса на Y не реагирует на изменения цены товара X (X и Y независимы), кривая «цена – потребление» горизонтальна.
На рис.2.20 кривая «цена – потребление» имеет отрицательный наклон, а кривая спроса – положительный. Кривая «цена – потребление» построена для некачественного товара. Товар, для которого положительный наклон кривой спроса сочетается с некачественностью, называется товаром Гиффена. Однако положительный наклон кривой спроса потребителя на тот или иной товар может и не сочетаться с некачественностью данного товара.