Выпуклое множество. Примеры. Угловая точка. Свойства

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, подтверждая их справедливость дальнейшими геометрическими построениями и опуская аналитические доказательства этих теорем. Вначале дадим некоторые определения.

Определение 1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их.

На рис. 2.1 изображено выпуклое множество (выпуклый многоугольник), а на рис. 2.2 - невыпуклое.

рис. 2.1	рис. 2.2

Определение 2. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также выпуклое множество.

Определение 3.Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.
Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его вершины. В пространстве выпуклое множество с конечным числом угловых точек называется выпуклым многогранником.

Утверждение 1. Множеством решений системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (исключая случай, когда система несовместна).

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.
Ранее говорилось, что ограничениями любой задачи линейного программирования являются либо система линейных уравнений, либо система линейных неравенств. Совокупность решений таких систем при условии их совместности, образует выпуклые множества с конечным числом угловых точек. В частном случае, когда в систему ограничений - неравенств входят только две переменные x1 и x2 это множество можно изобразить на плоскости (см.3).

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.
Справедливость этого утверждения иллюстрируется в примере 3.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений, и наоборот.

Многогранник решений.

Многогранник решений не ограничен, и один из экстремумов достигается. [1]

Многогранник решений имеет конечное число вершин, поэтому за конечное число шагов их можно перебрать все. Кроме того, мы перебираем вершины упорядочение, приближаясь на каждом шаге к вершине, обеспечивающей оптимум. [2]

Предположим, чтомногогранник решений является ограниченным. [3]

Может оказаться, чтомногогранник решений не будет содержать ни одной целочисленной точки. [4]

Покажем, что х является вершиноймногогранника решений. [5]

Чтобы новая каноническая система определяла вершинумногогранника решений, ее правые части должны быть неотрицательными. [6]

Геометрически: мы стоим в вершинемногогранника решений, через которую проходит п гиперплоскость. Из этой вершины надо по какому-то ребру перейти в следующую, не оторвавшись от многогранника. [7]

Ответ на вопрос, в какой точкемногогранника решений возможно решение задачи линейного программирования, дается в следующей фундаментальной теореме. [8]

Допустимое решение х является вершиной допустимой области (многогранника решений) тогда и только тогда, когда оно базисное. [9]

Получим точку пересечения данных п гиперплоскостей, которая будет вершиноймногогранника решений или какого-то другого многогранника, ограниченного указанными плоскостями. [10]

Эти полупространства, пересекаясь, образуют общую часть, называемуюмногогранником решений. [11]

Геометрически добавление каждого такого линейного ограничения отвечает проведению гиперплоскости, отсекающей отмногогранника решений регуляризованной задачи старую оптимальную точку с дробными координатами, но не затрагивающей ни одной из целочисленных точек этого многогранника. [12]

Геометрически добавление каждого такого линейного ограничения соответствует проведению гиперплоскости, отсекающей отмногогранника решений регуляризованной задачи старую оптимальную точку с дробными координатами, но не затрагивающей ни одной из целочисленных точек этого многогранника. [13]

Итак, чтобы решить задачу линейного программирования, достаточно сделать перебор крайних точекмногогранника решений. При этом возникает вопрос о нахождении произвольной вершины допусти - мой области и перехода в другую вершину. [14]

В задаче дробно-линейного программирования ограничения линейны, а экстремум функционала достигается в вершинемногогранника решений. Это сходство с линейным программированием позволяет решать дробно-линейные задачи обычным симплекс-методом с видоизмененным критерием оптимальности. [15]