Балансовый метод в экономике

Под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованию соответствия наличия ресурса и его использования.

Рассмотрим структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

Обозначим через Х₁, ..., Х_n объемы производства продуктов, произведенных в отраслях в течении года. Пусть x_ij – количество i-го продукта, расходуемого на производство j-го продукта (в отрасли j). Y_i – количество i-го продукта, идущее на конечное потребление. Z_j – сумма амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли.

Схема межотраслевого баланса представлена ниже:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт (по элементам)	Валовой продукт
		…	n
	x11	x12	...	x1n	Y1	X1
	x21	x22	...	x2n	Y2	X2
. . .	. . .	. . .	Квадрант 1	. . .	Квадрант 2	. . .
n	xn1	xn2		xnn	Yn	Xn
УЧП (по элементам)	Z1	Z2	Квадрант 3	Zn	Квадрант 4	–
ВП	X1	X2	...	Xn	–

1. Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

. (1)

Таким образом, в строке баланса показано распределение годового объема произведенной продукции на производственное потребление и на конечное потребление.

2. Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод: сумма материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равна валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде следующего соотношения:

. (2)

В столбцах баланса, таким образом, отражен стоимостной состав продукции всех отраслей.

Коэффициент прямых затрат a_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы валовой продукции j-й отрасли X_J.

Величины a_ij рассчитываются следующим образом:

Отсюда

(3)

(7)

С учетом формулы (3) систему уравнений баланса (1) можно переписать в виде:

(4)

Система уравнений (4) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева) или моделью «затраты – выпуск».

Коэффициент полных материальных затрат b_ij – это коэффициент, показывающий, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли Y_j.

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А известна, то матрицу В можно находить:

1) используя разложение в ряд Нейман:

(8)

2) по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры;

,(13)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е – А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е – А)', а в знаменателе стоит определитель матрицы (Е – А). Алгебраические дополнения, в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (–1)^{i + j} на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

Методика расчета планового баланса по заданным валовым выпускам продукции .

Плановый баланс при заданных величинах валовой продукции по формуле (6) рассчитывается в следующем порядке:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитываются коэффициенты прямых материальных затрат:

.

2. Определяются плановые межотраслевые потоки:

.

3. Рассчитываются величины конечной продукции планового баланса:

.

4. Определяются элементы вектора условно чистой продукции:

.

5. Проверяется правильность вычислений:

.

6. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

Методика расчета планового баланса по заданным
плановым уровням конечной продукции Y_i^пл.

В целом плановый баланс при заданных величинах конечной продукции Y_i^пл рассчитывается в следующей последовательности:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитываются коэффициенты прямых материальных затрат:

.

2. По матрице коэффициентов прямых материальных затрат А рассчитывается матрица коэффициентов полных затрат В.

Матрица B может быть рассчитана следующими способами:

– по формуле Неймана: В = Е + А + А² + А³ + … ;

– через обратную матрицу: .

3. Рассчитываются плановые валовые выпуски:

4. Определяются плановые межотраслевые потоки:

.

5. Определяются элементы вектора условно чистой продукции:

6. Проверяется правильность вычислений:

7. Формируется плановый межотраслевой баланс.

2.4. Пример расчета планового баланса
для трехотраслевой экономической системы

Задание: Произведена оценка объемов конечного потребления продукции машиностроения, легкой промышленности и других отраслей региона на предстоящей плановый период. Она составила соответственно: 80, 40 и 20 усл. ден. ед. Имеется отчетный баланс за базовый период (табл. 4).

Определить плановые объемы продукции, межотраслевые потоки, условно чистую продукцию отраслей, если технологических сдвигов в предстоящий плановый период не ожидается, и, следовательно, технологические коэффициенты останутся без изменения. Результаты необходимо представить в виде планового межотраслевого баланса.

Таблица 4

Отчетный баланс за базовый период

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
машиностроение	лёгкая промышленность	прочие
Машиностроение
Лёгкая промышленность
Прочие
УЧП					–
ВП				–

Решение:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитывается матрица технологических коэффициентов, или коэффициентов прямых материальных затрат, по формуле: a_ij = x_ij / X_j.

Рассчитаем технологические коэффициенты:

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат:

.

2. По матрице коэффициентов прямых материальных затрат А рассчитывается матрица коэффициентов полных затрат В.

Чтобы получить точное значение коэффициентов полных материальных затрат в матрице (разумеется, в пределах ошибки вычислений), нужно использовать формулу .

Для этого вычтем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат из единичной матрицы и полученную матрицу обратим:

.

3. Определяются знания валовых выпусков в отраслях по формуле:

.

Получим вектор валового выпуска:

.

4. По найденным значениям валовых выпусков X_j с использованием известных коэффициентов прямых материальных затрат по формуле х_ij = a_ij X_j определяются значения промежуточных затрат (межотраслевых потоков):

5. Определяются элементы вектора условно чистой продукции по формуле:

6. Проверяется правильность вычислений по формуле:

.

Баланс сошелся, значит, вычисления сделаны верно.

7. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции (табл. 5).

Таблица 5

Плановый межотраслевой баланс

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
машиностроение	лёгкая промышленность	прочие
Машиностроение	30,59	16,47	25,88		152,94
Лёгкая промышленность	45,88	65,88	12,94		164,70
Прочие	15,29	16,47	12,94		64,70
УЧП	61,18	65,88	12,94		–
ВП	152,94	164,70	64,70	–	382,34

3. Математические методы
сетевого планирования и управления

Основой СПУ является сетевая модель (СМ), которая представляет собой совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Расчет временных характеристик событий

Значения временных характеристик событий, к которым относятся раннее время и позднее время его наступления и резерв события, указываются по нижеследующему образцу внутри кружков, обозначающих события на сетевом графике (рис. 8):

Рис. 8. Обозначения временных характеристик событий:
i – номер события; – раннее время наступления события; – позднее время наступления события; R(i) – резерв события

Ранний срок свершения события – это время, раньше которого событие не может наступить. Оно равно наибольшей длине (продолжительности) путей, ведущих от начального события к данному, причем а

.

(11)

Поздний срок свершения события i характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

.

Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, с учетом соотношения

Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резервR(i):

Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

Расчет временных характеристик работ

Для всех работ (i, j)на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели:

Ранний срок начала
Ранний срок окончания
Поздний срок окончания
Поздний срок начала
Полный резерв времени
Свободный резерв

Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Свободный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения работы с тем, чтобы не изменились ранние сроки начала выполнения работ, непосредственно следующих за рассматриваемой, т. е. чтобы не изменился ранний срок свершения j-го события.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения выполнения последних, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен по приводимой ниже формуле:

.

Для определения необходимо прежде выявить максимальный путь, проходящий через работу (i, j). Тогда – продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающая с критическим путем.

6. Линейное программирование

6.4. Графический метод решения задач линейного программирования

Графическим методом можно решать, в основном, задачи линейного программирования, имеющие две переменные. В случае трех переменных графический метод становится менее наглядным, а при большом числе переменных – невозможным. Однако графический метод позволяет выявить свойства решений задачи линейного программирования, которые станут основой для рассмотрения общего метода решения задач линейного программирования.

Решим графическим методом задачу линейного программирования с двумя переменными:

(21)

(22)

(23)

Этап 1. Графическая интерпретация области допустимых решений.

1.1. Начнем решение задачи с построения области ее допустимых решений (рис. 8). В первую очередь отобразим в прямоугольной системе координат условия неотрицательности переменных (23). Полуплоскости x₁ > 0, x₂ > 0 лежат соответственно справа от ости 0x₂ и выше оси 0x₁. Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам x₁ ³ 0 и x₂ ³ 0, представляет собой пересечение построенных полуплоскостей вместе с граничными прямыми и совпадает с точками первой четверти.

1.2. Теперь рассмотрим ограничения задачи (22). Построим по порядку прямые:

,

,

,

.

и определим, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости, точки которых удовлетворяют соответственно строгим неравенствам:

,

,

,

.

Сторона, в которой располагается полуплоскость от прямой, указывается стрелками.

Убедиться в том, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость, точки которой удовлетворяют заданному неравенству, можно путем подстановки координат точек одной или другой полуплоскости в неравенство. Когда прямая, ограничивающая полуплоскость, не проходит через начало координат, удобнее всего подставлять точку с координатами (0, 0). Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то эта точка лежит в полуплоскости, соответствующей данному неравенству. В противном случае неравенству будет соответствовать другая полуплоскость.

1.3. Область определения задачи (21) – (23) будет представлять собой пересечение всех построенных полуплоскостей (рис. 8). В данном случае это многоугольник АВСDЕ. Каждая точка этого многоугольника, включая и точки, лежащие на его границах, будет удовлетворять ограничениям (22) – (23).

Рис. 8. Графическая интерпретация области допустимых решений задачи
и линий уровня целевой функции

Этап 2. Графическая интерпретация целевой функции. Следующим этапом присвоим целевой функции f значение нуль и построим прямую:

(24)

(12)

Эта прямая, проходящая через начало координат, строится следующим образом. Легко заметить, что в левой части уравнения (24) стоит скалярное произведение двух векторов и . Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Построим вектор [он проходит через начало координат и точку (1, –3)] и перпендикулярно ему через начало координат проведем прямую (рис. 8). Это и будет прямая (24).

Вектор всегда показывает направление возрастания значения целевой функции, а противоположный ему вектор (– ) – направление убывания значения целевой функции. Передвигая прямую (24) по области определения параллельно самой себе в направлении вектора , значения целевой функции будут возрастать. Передвижение в направлении вектора (– ) дает убывание значения целевой функции.

Передвижение на графике прямой равносильно изменению значения b в уравнении Каждому значению b соответствует прямая. Получаемые прямые параллельны между собой и называются линиями уровня. Особенность линии уровня состоит в том, что целевая функция принимает на ней одинаковые значения, т. е. подставив координаты любой точки линии уровня в целевую функцию, ее значения изменяться не будут.

Целевая функция f в задаче (21) – (23) достигает своего минимального значения в точке В многоугольника, а максимального – в точке D.

Этап 3. Нахождение оптимального решения аналитически

Оптимальному решению задачи (21) – (23) соответствует точка В, которая лежит на пересечении прямых

,

. (25)

Для определения координат точки В решим систему (25).

В результате получим: , ; .

6.6. Понятие о симплекс-методе ОЗЛП

Симплекс-метод может быть интерпретирован геометрически как движение по соседним угловым точкам многогранника решений (рис. 18).

Рис. 18. Геометрическая интерпретация симплекс-метода

Для решения задачи линейного программирования описываемым далее симплекс-методом необходимо привести ее к канонической форме и определить исходное допустимое базисное решение. Отталкиваясь от этого решения, с помощью алгоритма симплекс-метода приходят к оптимальному решению или выводу о том, что задача решения не имеет.

Будем считать, что задача линейного программирования записана в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью и все переменные неотрицательны.

Переменная является базисной, если она входит только в одно из уравнений системы с коэффициентом, равным единице. Все остальные переменные являются небазисными.

Частное решение, полученное путем приравнивания небазисных (независимых) переменных нулю и нахождения значений базисных (зависимых) переменных, называется базисным решением. Следовательно, если x_m+1 = 0, x_m+2 = 0, ..., x_n = 0,то x₁ = b'₁, x₂ = b'₂, ..., x_n = b'_m. Первое решение задачи, полученное таким образом, называется исходным базисным решением.

Рассмотрим на конкретном примере процесс приведения задачи линейного программирования к канонической форме и получения исходного базисного решения.

Пример 2. Привести к канонической форме следующую задачу линейного программирования:

.

Поскольку целевая функция данной задачи минимизируется, умножив ее выражение на (–1), получим:

К левым частям первого и второго ограничений прибавим соответственно неотрицательные переменные x₅и x₆, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами. Тогда данная задача в канонической форме будет иметь вид:

В первом ограничении базисной является дополнительная переменная x₅, во втором – дополнительная переменная x₆.

Для получения исходного базисного решения приравняем к нулю небазисные переменные: x₁ = 0, x₂ = 0, x₄ = 0и получим значения базисных переменных: x₅ = 1, x₆ = 1, x₃ = 1. Значение целевой функции f = 1.

6.9. Алгоритм симплекс-метода ОЗЛП

Как уже известно, прежде чем решать задачу линейного программирования симплекс-методом, ее необходимо привести к канонической форме.

После этого выделяют переменные, которые присутствуют только в одном уравнении с коэффициентом единица и принимают их в качестве базисных. Если в ограничении такую переменную выделить нельзя, то вводят искусственную базисную переменную. Затем определяется исходный базисный план и значение целевой функции для этого плана. Далее выполняется описанная ниже последовательность шагов.

Шаг 1. Строим и заполняем исходную симплексную таблицу по следующей схеме (табл. 13).

Таблица 13

Базис	–1			...	cj	...
C	B		...	xj	...
...
xi	ci	bi			aij
	D	f		...	Dj	...

В столбце «Базис» записываются базисные переменные, в столбце «С» – коэффициенты при базисных переменных в целевой функции (c_i), в столбце «В» – свободные члены ограничений (b_i), т. е. значения базисных переменных. В столбцах x_j (небазисные переменные) отражаются коэффициенты при небазисных переменных в ограничениях (a_ij), над переменными x_j – коэффициенты при этих переменных в целевой функции (c_j). Строка «D» в столбце «В» содержит значение целевой функции, при определении значения которогофактически нужно найти сумму произведений элементов столбца «С» на соответствующие элементы столбца «В», что равносильно подстановке базисного плана в целевую функцию, а при определении значения относительной оценки D_j – сумму произведений элементов столбца «С», включая (–1), на соответствующие элементы того столбца x_j, для которого она рассчитывается.

Шаг 2. Проверим полученный базисный план на оптимальность по условию оптимальности.

2.1. Если , то полученный базисный план не является оптимальным и необходимо переходить к другому базисному плану. Идти на шаг 3.

2.2. Если все и среди базисных переменных есть искусственные, то задача неразрешима, так как ее система ограничений несовместна. Идти на шаг 7.

2.3. Если в оптимальном плане , то это говорит о том, что задача имеет бесконечное число планов. Идти на шаг 7.

2.4. Если все > 0, то план является оптимальным и единственным. Решение найдено. Идти на шаг 7.

Шаг 3. Для перехода к новому базисному плану в первую очередь из числа небазисных переменных с отрицательными оценками D_j выбирается переменная, которая вводится в базис. Введем в новый базис переменную x_k, которой соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка D_j:

(35)

Столбец, отвечающий переменной x_k, назовем главным. Элементы главного столбца обозначаются через a_ik. Выбранная переменная будет вводиться в базис.

Если окажется несколько одинаковых наибольших по абсолютной величине отрицательных оценок, то выбирается любая из соответствующих им переменных.

Шаг 4. Выбираем переменную, которая выводится из базиса. Ее индекс r находится из соотношения:

(36)

по всем i, для которых a_ik > 0.

Строку таблицы, в которой получено наименьшее отношение элемента столбца «В» к соответствующему положительному элементу главного столбца, назовем главной. Элементы главной строки обозначаются через a_rj. Выбранная переменная x_r будет выводиться из базиса.

Если окажется несколько одинаковых наименьших значений отношений, то выбирается любая из соответствующих им переменных. Это может произойти в вырожденной задаче.

Элемент, стоящий на пересечении главной строки и главного столбца, назовем главным (обозначается через a_rk илиa).

В случае отсутствия значений a_ik > 0 задача неразрешима, так как ее целевая функция не ограничена на множестве планов задачи сверху.

Шаг 5.Преобразование симплексной таблицы. Для определения нового базисного плана производим перерасчет элементов таблицы и результаты заносим в новую симплексную таблицу. Выбранные переменные в новой таблице меняются местами вместе со своими коэффициентами в целевой функции. Остальные переменные переписываются без изменений со своими коэффициентами.

Элементы новой симплексной таблицы рассчитываются следующим образом:

1) главный элемент aзаменяется на обратную величину 1/a;

2) главная строка делится на главный элемент;

3) главный столбец делится на главный элемент с противоположным знаком;

4) все остальные элементы таблицы преобразуются по правилу прямоугольника:

новый элемент	=	старый элемент	´	главный элемент	–	элемент главной строки	´	элемент главного столбца
главный элемент

Шаг 6. Проверяем правильность расчета значений целевой функции f и оценок D_j по правилу, изложенному на шаге 1. Переходим к шагу 2.

Шаг 7. Расчет закончен.

6.10. Примеры решения задач линейного
программирования симплекс-методом

Пример 1. Рассмотрим задачу об использовании ресурсов, постановка которой приведена в п. 6.. Эта задача была решена графическим методом (п. 6.5). Теперь решим эту задачу, применяя алгоритм симплекс-метода.

Модель задачи имеет вид:

Решение. Приведем задачу к канонической форме:

Выделяем базисные переменные. Количество базисных переменных должно быть равно количеству ограничений, т. е. трем. В каждом ограничении данной задачи можно выделить одну переменную, которая присутствует только в этом ограничении с коэффициентом +1. Следовательно, переменные x₃, x₄, x₅ являются базисными, а переменные x₁, x₂ – небазисными.

Определим исходный базисный план и значение целевой функции: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 36, x₄ = 20, x₅ = 40, f = 0.

Исходные данные задачи, а также вычисленные по формуле (33) значения целевой функции (f = (–1) × 0 + 0 × 36 + 0 × 20 + 0 × 40 = 0) и по формуле (34) значения относительных оценок (D₁ = (–1) × 12 + + 0 × 6 + 0 × 4 + 0 × 4 = –12; D₂ = (–1) × 15 + 0 × 6 + 0 × 2 + 0 × 8 = –15) перенесем в исходную симплексную таблицу (табл. 14).

Таблица 14

Базис	–1
С	В	x1	x2
x3
x4
x5
	D		–12	–15

Проверяем полученный план на оптимальность по условию оптимальности (D_j ³ 0). Поскольку для данного плана существуют оценки D₁ < 0 и D₂ < 0, план не является оптимальным. Необходим переход к другому базисному плану.

В первую очередь среди небазисных переменных на основании (35) выберем переменную, которая будет вводиться в базис:

В базис будет вводиться переменная x₂, так как этой переменной соответствует максимальная по модулю относительная оценка =15. Столбец, отвечающий переменной x₂, является главным.

Далее на основании (36) выберем переменную, которая будет выводиться из базиса:

Из базиса будет выводиться переменная x₅, так как этой переменной соответствует минимальное отношение, равное 5. Строка, отвечающая переменной x₅, является главной.

На пересечении главной строки и главного столбца стоит главный элемент, равный 8. В таблице для удобства расчетов главный элемент необходимо пометить.

Строим новую симплексную таблицу (табл. 15), в которой переменные x₅ и x₂ меняются местами вместе со своими коэффициентами в целевой функции. Остальные переменные переписываются без изменений со своими коэффициентами.

Пересчитываем элементы табл. 14 и результаты заносим в соответствующие клетки табл. 15.

Таблица 15

Базис	–1
C	B	x1	x5
x3				–3/4
x4				–1/4
x2			1/2	1/8
	D		–9/2	15/8

Элементы главной строки табл. 14 пересчитываются путем деления каждого элемента этой строки на главный , главный элемент – путем деления единицы на главный элемент , элементы главного столбца – путем деления каждого элемента этого столбца на главный со знаком минус . Все остальные элементы табл. 15 определяются по правилу прямоугольника. Например, для клетки x₃x₁ новый элемент равен .

Проверяем правильность расчета значений целевой функции f и оценок D₁, D₅ по формулам (33), (34):

,