Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

И обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (д = 2"), может произ­водиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2¹), восьмеричной (q = 2³) и шестнадцатеричной (q = 2⁴) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьме­ричную. Для записи двоичных чисел используются две циф­ры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2¹ . Так как 2 = 2¹, то I = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информа­ции.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариан­тов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2¹ . Так как 8 = 2³, то / = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

4—2645

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в вось­меричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нуля­ми.

Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в вось­меричное:

101 001₂ => 1-2²+0-2¹+12° 0 2²+0-2¹+1 2° 51₈.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таб­лицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады	ООО
Восьмеричные цифры

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дро­би) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется мень­ше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходи­мо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А₂ = — 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады
Восьмеричные цифры

Получаем: A_g = 0,65_g.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шест- надцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел ис­пользуются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показатель­ное уравнение:

16 = 2¹ . Так как 16 = 2⁴, то / = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правиль­ной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате­ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А₂ = 101001₂ в шестнад- цатеричное:

1 Двоичные тетрады
| Шестнадцатеричные цифры

В результате имеем: А₁₆ = 29₁₆.

Переведем дробное двоичное число А₂ =0,110101₂в шест­надцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры	D

Получаем: А₁₆ = 0,D4_lg.

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисле­ния, необходимо произвести преобразования по рассмот­ренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дроб­ной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из вось­меричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоич­ную необходимо цифры числа преобразовать в группы дво­ичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число A_g = = 0,47_я в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры
Двоичные триады

Получаем: А₂ = 0,100111

Переведем целое шестнадцатеричное число А₁₆ = АВ₁₆ в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры	А	В
Двоичные тетрады

В результате имеем: А₂ = 10101011₂.

3 адан^я

2.16. Составить таблицу соответствия двоичных тетрад и шестнад- цатеричных цифр.

2.17. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 1111₂> 1010101₂ .

2.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,01111₂, 0,10101011₂ .

2.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,01₂, 110,101₂ .

2.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,27_g, EF,12₁₆ .

2.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисле­ния:

1101₂ и D₁₆; 0,11111₂и 0,22₈; 35,63₈ и 16,С₁₆ .