Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Перевод двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы осуществляется также просто: двоичное число разбивается вправо и влево от точки, отделяющей целую часть от дробной, на триады (для восьмеричной системы счисления) или тетрады (для шестнадцатеричной системы счисления). При необходимости крайнюю левую триаду (тетраду) целой части и крайнюю правую (дробной части) дополняют нулями, а затем каждую триаду (тетраду) заменяют восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Разобрать пример преобразования числа 10101011111101.1101001(2) в указанные системы счисления. Помните, что двоичное число разбивается вправо и влево от точки, отделяющей целую часть от дробной, на триады (для восьмеричной системы счисления) или тетрады (для шестнадцатеричной системы счисления). При необходимости крайнюю левую триаду (тетраду) целой части и крайнюю правую (дробной части) дополняют нулями, а затем каждую триаду (тетраду) заменяют восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

  Направление разбиения целой части на триады Направление разбиения дробной части на триады ®
Исходное число (0)10 101. 1(00)
  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Цифры 8 с.с.
Результат: 25375.644(8)
  Направление разбиения целой части на тетрады Направление разбиения дробной части на тетрады ®
Исходное число (00)10 1101. 001(0)
  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Цифры 16 с.с. A F D D
Результат: 2AFD.D2(16)
                         

Задание 4 Самостоятельно переведите числа полученные в результате расчетов выполненных согласно задания 1 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Реультаты сравнить с исходными числами, представленными в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Арифметические операции в в ЭВМ Операции с фиксированной точкой.

Представление целых чисел без знака.

В форме с фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением точки, отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому используется как вспомогательная и только для целых чисел.

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают значения из диапазона, представленного в табл. 1.

Таблица 2. Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная (десятичная) запись Двоичная запись Шестнадцатеричная запись
0 ... 28–1 0 ... 255 00000000 … 11111111 00 … FF
0 ... 216–1 0 ... 65535 0000000000000000 … 1111111111111111 0000 … FFFF

Пример1. Представление числа 72(10) = 1001000(2) в однобайтовом и двухбайтовом форматах:

Номера разрядов Номера разрядов
Биты числа Биты числа

Задание 5.

Запишите в виде таблицы, согласно примеру №1, ваш порядковый номер в журнале учета студентов в однобайтовом и двухбайтовом форматах, предварительно преобразов этот номер в двоичную систему счисления.

5.2. Представление целых чисел со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс (+)» кодируется нулем, а «минус (-)» — единицей.

Таблица 2. Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная (десятичная) запись Шестнадцатеричная запись
–27 ... 27–1 –128 ... 127 80 … 7F
–215 ... 215–1 –32768 ... 32767 8000 … 7FFF
–231 ... 231–1 –2147483648 ... 2147483647 80000000 … 7FFFFFFF

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В ЭВМ применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код. Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

Прямой код отрицательного числа: в знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru

Обратный код отрицательного числа: получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru

Дополнительный код отрицательного числа: получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Задание 6.

Запишите в однобайтовом формате прямой, обратный и дополнительный коды четырех чисел, приведенных в таблице №3, выбрав их в строке согласно порядкового номера студента в журнале учета, предварительно преобразов эти числа в двоичную систему счисления.

Таблица №3

Порядковый №
-77 -46  
-69 -64  
-17 -83  
-33 -58  
-40 -43  
-58 -122  
-53 -33  
-16 -41  
-64 -10  
-64 -77  
-63 -69  
-73 -117  
-62 -22  
-105 -37  
-112 -6  
-62 -43  
-124 -110  
-119 -36  
-65 -29  
-42 -44  
-53 -64  
-67 -70  
-94 -50  
-46 -19  
-35 -2  
-27 -90  
-29 -89  
-121 -96  
-113 -104  
-56 -50  
                 

6. Арифметические действия над целыми числами.

6.1 Арифметические операции в двоичной системе счисления.

Разберите примеры сложения двух целых чисел без знаков. Помните, что при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 2. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная: 15(10)+6(10) Двоичная: 1111(2)+110(2) Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru
Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления - student2.ru
Ответ: 15+6 = 21(10) = 10101(2))
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21  

Задание 7.

Самостоятельно сложите два целых положительных числа, выбранных из таблицы №3 (колонки 2 и 4), предварительно переведя их в двоичную систему счисления и осуществите проверку результата в десятичной системе.

Наши рекомендации