Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьме­ричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуще­ствляться различными способами. Рассмотрим один из алго­ритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть А_од — целое десятичное число. За­пишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

Aw = ^ал-1'2" ¹ + а„_ _г-2^п~²+ ... + а₁-2¹ + а₀-2°.

На первом шаге разделим число А_од на основание двоич­ной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно

^ал-1'2" ² + ^ап-2^^{П 3} + - + «1,

а остаток — равен а₀.

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, оста­ток от деления будет теперь равен a_v

Если продолжать этот процесс деления, то после п-го шага получим последовательность остатков:

а₀, а j, ..., fl_n__x.

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного чис­ла, записанного в свернутой форме:

А = ««-I—«i«o .

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной по­следовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на осно­вание системы (на 2) до тех пор, пока не получится част­ное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.

2. Записать полученные остатки в обратной последователь­ности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного чис­ла 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичное число/	Делитель	Остаток	Цифры
целое частное	(основание системы)		двоичного числа
			an 1	i
			а,
			а,
			а,

В результате получаем двоичное число: А₂ = a_ia₃a₂a₁a₀ = 10011₂ .

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть — правильная деся­тичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсут- ствать положительные степени основания (числа 2):

Лд = ^a-i ■ ^{2 1} + °-2'2"² + -

На первом шаге умножим число Л_дд на основание двоич­ной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

а_ j + а_ ₂ • 2 ¹ + ...

Целая часть будет равна а__г

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умно­жим на 2, получим целую часть, равную а₂.

Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дроб­ную часть или не будет достигнута требуемая точность вы­числений.

Легко заметить, что последовательность полученных чи­сел совпадает с последовательностью цифр дробного двоич­ного числа, записанного в свернутой форме:

А₂ — O-ifl-2 ...

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в дво­ичную будет следующим:

1. Последовательно выполнять умножение исходной деся­тичной дроби и получаемых дробных частей произведе­ний на основание системы (на 2) до тех пор, пока не полу­чится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

2. Записать полученные целые части произведения в пря­мой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичная	Множитель	Целая часть	Цифры
дробь/дробная	(основание	произведения	двоичного
часть произведения	системы)		числа
0,75				г
0,50
0,00

В результате получаем двоичную дробь: А, = 0,о_,о ₂ = 0,11₂.

Перевод чисел из системы с основанием р в систему с основанием q. Перевод чисел из позиционной системы с про­извольным основанием р в систему с основанием q произво­дится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.

Рассмотрим алгоритм перевода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А₁₀ = 424₁₀ в шестнадца- теричную систему, то есть из системы счисления с основани­ем р = 10 в систему счисления с основанием q = 16.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис­ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатеричной).

Десятичное число/ целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
			ао \	к
		Ю(А)	а1
			Э2

В результате получаем шестнадцатеричное число:

-^16 ^{= a}2^ai^ao ⁼ 1А8₁₆ .

Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере перевода десятичной дроби А₁₀ = 0,625 в восьме­ричную систему, то есть из системы счисления с основанием р = 10 в систему счисления с основанием q = 8.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис­ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмеричной).

Десятичная дробь/дробная часть произведения	Множитель (основание системы)	Целая часть произведения	Цифры двоичного числа
0,40625			а-1
0,25			Э-2 М
0,00

В результате получаем восьмеричную дробь: А₈ = а_₁а_₂ = 0,32₈ .

Перевод чисел, содержащих и целую и дробную части, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответ­ствующему алгоритму целая часть и отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

_ х «

3 ал* а н и я

2.13. Перевести целые десятичные числа 9₁₀, 17₁₀ и 243₁₀ в двоич­ную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисле­ния.

2.14. Перевести десятичные дроби О,2₁₀ и 0,35₁₀ в двоичную, вось­меричную и шестнадцатеричную системы счисления с точно­стью до трех знаков после запятой.

2.15. Перевести десятичные числа 3,5₁₀ и 47,85₁₀ в двоичную, вось­меричную и шестнадцатеричную системы счисления с точно­стью до трех знаков после запятой.