По Моделированию Экономических Процессов

Пояснительная записка

К курсовой работе

По Моделированию Экономических Процессов

Вариант 18: «Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода с использованием базовой технологии и встроенных функцийEXCEL 2000»

Работу принял: профессор Арунянц Г.Г. Дата____________ Подпись_________

Работу выполнили студентки группы 06-ИЭ Власова Ю.С, Кобзева А.В Дата____________ Подпись_________

Калининград 2010 г.

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе рассмотрен пример решения задачи линейного программирования “Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода” с использованием базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2000. В курсовой работе рассмотрены этапы построения модели.

БЛАНК ЗАДАНИЯ

Задание 18

Формализовать задачу функционирования нефтеперерабатывающего завода и решить задачу оптимальной организации его работы

Исходные данные

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В – 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III: 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина – 10 долл. за единицу, мазута – 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что "выгодность" технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что "выбор (принятие) решения" завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Задача

Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти

3. Порядок решения:

Обозначим неизвестные величины:

хi – количество использования i-го технологического процесса i=1,2,3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х=( х1 ,х2 ,х3), для которого выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А:

для сорта В: ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = ( х1 ,х2 ,х3), чтобы максимизировать

f(x) =32х1+15х2 +12х3

при выполнении условий:

;

.

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях:

,

(1)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

4. Задания для самостоятельной работы

4.1. Сформировать блок-схему алгоритма решения поставленной задачи.

4.2. Разработать программу решения поставленной задачи в средеVisual Basic 6.0 или в любой другой среде (по выбору студента).

4.3. С использованием базовой технологии Excel 2000 сформировать таблицу исходных данных (взамен выполнения п. 4.2)

4.4. С использованием встроенных функций Excel 2000 произвести расчет и решение поставленной задачи оптимизации для пяти различных вариантов набора исходных данных с учетом поставленных ограничений

4.5. Представить полученные результаты в виде графиков и диаграмм

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 7

1. ОПИСАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ.. 11

1.1. Целочисленное линейное программирование. 11

1.2. Обоснование выбранного подхода к моделированию.. 13

1.3. Описание концептуальной модели. 13

1.4. Описание элементов и ограничений решаемой задачи. 14

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.. 15

2.1. Блок-схема алгоритма решения задачи. 15

2.1.1. Процедура «Ввод исходных данных». 16

2.1.2. Процедура «Проверка исходных данных». 16

2.1.3. Процедура «Установка ограничений». 16

2.1.4. Процедура «Ввод целевой функции». 17

2.1.5. Процедура «Поиск решения». 17

2.1.6. Процедура «Расчет полного процесса производства». 18

2.1.7. Процедура построения графиков. 19

2.1.8. Процедура «Анализ полученных результатов». 19

3. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.. 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 23

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе мы рассматриваем пример решения задачи линейного программирования «Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода» с использованием метода линейного целочисленного программирования (ЦЛП в дальнейшем), базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2000. В курсовой работе также рассмотрены этапы построения модели.

Первооткрыватель ЛП - советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л. В. Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л. В. Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений.

Линейное программирование посвящено теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств.

В самом общем виде задачу ЛП можно записать так. Даны ограничения типа

или в т. н. канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая:

Требуется найти неотрицательные числа x_j (j = 1, 2, ..., n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму

Неотрицательность искомых чисел записывается так: x_j ≥ 0.

Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с оговорками: как ограничения, так и целевая функция линейные, а искомые переменные неотрицательные. Обозначения можно трактовать следующим образом: b_i - количество ресурса вида _i; m - количество видов этих ресурсов; a_ij - норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; x_j - количество продукции вида j, причем количество таких видов - n; c_j - доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум - затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m₁, от m₁ + 1 до m₂ и от m₂ + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае - “не больше”, во втором - “столько же”, в третьем - “не меньше”; Z - в случае максимизации, напр., объем продукции или дохода, в случае же минимизации - себестоимость, расход сырья и т. п.

Цели выполняемой работы:

1. Получить практические знания, при применении методов решения задач линейного программирования;

2. Построение модели;

3. Решение задачи методом линейного программирования;

4. Анализ модели.

Для решения задач линейного программирования используются следующие методы:

1. Графический метод решения задачи линейного программирования. Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

2.1. Отыскание базисного решения – некой точки А лежащей на функции;

2.2. Отыскание опорного решения – некой точки B принадлежащей области, образованной ограничениями;

2.3. Отыскание оптимального решения – некой точки С принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

3. Метод полного перебора базисных решений задачи линейного программирования.

4. Нецелочисленное линейное программирование.

5. Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

При выполнении данной курсовой работы нами были использованы следующие источники: конспект лекций по дисциплине « Математическое моделирование экономических процессов», учебник «ИТ в экономике» и Интернет - ресурсы.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Процедура «Поиск решения»

Поиск решения осуществляется с помощью базовой технологий Excel «Поиск решений». Поиск решений осуществляется на основе исходных данных с учетом всех ограничений.

Этапы поиска решений:

1. Сервис – Поиск решения;

2. Устанавливаем целевую ячейку( ячейка, в которой записана целевая формула) – в данном случае В15;

3. Устанавливаем флажок в «Равной – максимальному значению»;

4. Устанавливаем изменяемые ячейки (диапазон ячеек, в которых будут отображаться подобранные значения) – в данном случае диапазон ячеек - B22:D22;

5. Вводим ограничения (указываем ячейки, в которых указаны ограничения для данной задачи) – B12<=E12, B13<=E13, B22:D22=целое, B22:D22>=0.

Рисунок 2 "Поиск решения в EXCEL"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе нами был рассмотрен пример решения задачи линейного программирования «Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода» с использованием метода линейного целочисленного программирования, базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2000. В курсовой работе также были рассмотрены этапы построения модели.

В процессе выполнения данной курсовой работы мы получили практические знания при применении методов решения задач линейного программирования, построили модель, решили данную задачу методом линейного программирования и осуществили анализ полученных результатов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арунянц Г.Г., Калинина С.А., Ломакина Г.В, Петрикин Г.К. Базовые информационные технологии в экономике: практикум (Часть 1) / Под редакцией Арунянца Г.Г. – Калининград: КГТУ. 2008.-432 с.

2. Конспект лекций по курсу «Моделирование экономических процессов».

Пояснительная записка

К курсовой работе

по Моделированию Экономических Процессов

Вариант 18: «Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода с использованием базовой технологии и встроенных функцийEXCEL 2000»

Работу принял: профессор Арунянц Г.Г. Дата____________ Подпись_________

Работу выполнили студентки группы 06-ИЭ Власова Ю.С, Кобзева А.В Дата____________ Подпись_________

Калининград 2010 г.

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе рассмотрен пример решения задачи линейного программирования “Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода” с использованием базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2000. В курсовой работе рассмотрены этапы построения модели.

БЛАНК ЗАДАНИЯ

Задание 18

Формализовать задачу функционирования нефтеперерабатывающего завода и решить задачу оптимальной организации его работы

Исходные данные

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В – 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III: 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина – 10 долл. за единицу, мазута – 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что "выгодность" технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что "выбор (принятие) решения" завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Задача

Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти

3. Порядок решения:

Обозначим неизвестные величины:

хi – количество использования i-го технологического процесса i=1,2,3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х=( х1 ,х2 ,х3), для которого выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А:

для сорта В: ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = ( х1 ,х2 ,х3), чтобы максимизировать

f(x) =32х1+15х2 +12х3

при выполнении условий:

;

.

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях:

,

(1)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

4. Задания для самостоятельной работы

4.1. Сформировать блок-схему алгоритма решения поставленной задачи.

4.2. Разработать программу решения поставленной задачи в средеVisual Basic 6.0 или в любой другой среде (по выбору студента).

4.3. С использованием базовой технологии Excel 2000 сформировать таблицу исходных данных (взамен выполнения п. 4.2)

4.4. С использованием встроенных функций Excel 2000 произвести расчет и решение поставленной задачи оптимизации для пяти различных вариантов набора исходных данных с учетом поставленных ограничений

4.5. Представить полученные результаты в виде графиков и диаграмм

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 7

1. ОПИСАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ.. 11

1.1. Целочисленное линейное программирование. 11

1.2. Обоснование выбранного подхода к моделированию.. 13

1.3. Описание концептуальной модели. 13

1.4. Описание элементов и ограничений решаемой задачи. 14

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.. 15

2.1. Блок-схема алгоритма решения задачи. 15

2.1.1. Процедура «Ввод исходных данных». 16

2.1.2. Процедура «Проверка исходных данных». 16

2.1.3. Процедура «Установка ограничений». 16

2.1.4. Процедура «Ввод целевой функции». 17

2.1.5. Процедура «Поиск решения». 17

2.1.6. Процедура «Расчет полного процесса производства». 18

2.1.7. Процедура построения графиков. 19

2.1.8. Процедура «Анализ полученных результатов». 19

3. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.. 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 23

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе мы рассматриваем пример решения задачи линейного программирования «Оптимальная организация работы нефтеперерабатывающего завода» с использованием метода линейного целочисленного программирования (ЦЛП в дальнейшем), базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2000. В курсовой работе также рассмотрены этапы построения модели.

Первооткрыватель ЛП - советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л. В. Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л. В. Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений.

Линейное программирование посвящено теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств.

В самом общем виде задачу ЛП можно записать так. Даны ограничения типа

или в т. н. канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая:

Требуется найти неотрицательные числа x_j (j = 1, 2, ..., n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму

Неотрицательность искомых чисел записывается так: x_j ≥ 0.

Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с оговорками: как ограничения, так и целевая функция линейные, а искомые переменные неотрицательные. Обозначения можно трактовать следующим образом: b_i - количество ресурса вида _i; m - количество видов этих ресурсов; a_ij - норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; x_j - количество продукции вида j, причем количество таких видов - n; c_j - доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум - затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m₁, от m₁ + 1 до m₂ и от m₂ + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае - “не больше”, во втором - “столько же”, в третьем - “не меньше”; Z - в случае максимизации, напр., объем продукции или дохода, в случае же минимизации - себестоимость, расход сырья и т. п.

Цели выполняемой работы:

1. Получить практические знания, при применении методов решения задач линейного программирования;

2. Построение модели;

3. Решение задачи методом линейного программирования;

4. Анализ модели.

Для решения задач линейного программирования используются следующие методы:

1. Графический метод решения задачи линейного программирования. Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

2.1. Отыскание базисного решения – некой точки А лежащей на функции;

2.2. Отыскание опорного решения – некой точки B принадлежащей области, образованной ограничениями;

2.3. Отыскание оптимального решения – некой точки С принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

3. Метод полного перебора базисных решений задачи линейного программирования.

4. Нецелочисленное линейное программирование.

5. Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

При выполнении данной курсовой работы нами были использованы следующие источники: конспект лекций по дисциплине « Математическое моделирование экономических процессов», учебник «ИТ в экономике» и Интернет - ресурсы.