Начисление сложных процентов

Одна из главных проблем при расчете инвестиций состоит в том, чтобы сопоставить выплаты, которые делаются в разные моменты времени. Одинаковые по величине доходы или затраты, осуществляемые в разное время, экономически неравнозначны. Когда фирма принимает решение, строить ли завод и закупать ли оборудование, она должна сравнить капиталовложения, которые ей предстоит сделать сейчас, с дополнительной прибылью, который принесет новый капитал в будущем. Чтобы привести подобное сопоставление, фирма должна ответить на следующий вопрос: сколько будущие прибыли стоят сегодня? Расчеты текущей стоимости будущих доходов, а также другие межвременные инвестиционные решения принимаются с помощью операций с начислением сложных процентов и дисконтирования.

Известно, что процесс роста основной суммы вклада за счет накопления процентов называется начислением сложного процента, а сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет (рис.2.1.). Первоначальная сумма вклада называется текущей стоимостью.

Если обозначить первоначальную сумму вклада через Ко, будущую сумму в t-м году через Кt, ставку процента через Е, число лет через t, получим будущую (наращенную) стоимость.

; (2.1.)

где (1+Е)^t - коэффициент начисления сложных процентов (к_сп).

Предположим, что у Вас сейчас есть 1 руб., и его можно инвестировать под процент Е. По прошествии одного года Вы получите 1 руб. плюс процент, заработанный на 1 руб. Тогда К₁=1+Е. Если повторить этот процесс в конце второго года, то К₂=(1+Е) + Е (1+Е) = (1+Е)², а будущая стоимость 1 руб., инвестированного на t периодов, составит:

К_t = (1+Е)^t.

Если инвестировать не 1 руб., а К₀ руб., то получим формулу (2.1.)

Рис.2.1. Начисление сложных процентов

Начисление процентов на проценты – мощное средство. Это видно, если рассчитать, как много времени понадобится для того, чтобы удвоить сумму инвестиций:

Процентная ставка (Е)	Время удвоения первоначальной суммы, лет
0,02	35,0
0,05	14,2
0,10	7,3
0,15	5,0
0,20	3,8

По данным [17] сегодня более 90% крупных фирм используют методы дисконтирования денежных потоков при принятии решения об инвестициях.

Пример 2.1.В какую сумму обратится долг, равный 10 тыс. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке процента 5,5%?

Решение. К_t = 10000·(1+0,055)⁵=13069,6 руб.

Дисконтирование

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме К_t, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды К₀. В этом случае говорят, что сумма К_t дисконтируется (рис.2.2).

Рис.2.2. Дисконтирование

При помощи дисконтирования решается и приведенная выше задача: сколько будущие прибыли стоят сегодня? Приведем формулу дисконтирования по ставкам сложных процентов:

К₀=К_t·(1+Е)^-t, (2.2)

где (1+Е)^-t – дисконтный множитель за t лет.

Величину К_t, полученную дисконтированием К₀, часто называют текущей, современной (приведенной) величиной К_t. Она характеризует ту исходную (базовую) сумму, на которую начисление процентов дает величину К_t. Поэтому коэффициент дисконтирования также называют коэффициентом текущей стоимости.

Пример 2.2. Через 5 лет с момента подписания контракта должник уплатит 13069,6 руб. Кредит предоставлен под 5,5% годовых. Определить, какую сумму получил должник.

Решение. По формуле (2.2.) находим:

К₀ = 13069,6 · (1 + 0,055)^-5

К₀ = 13069,6 · 0,765134354 = 9999,9992 ≈ 10000 руб.

Сумма дисконтирования

В предыдущем параграфе речь шла о дисконтировании разового платежа К_t. На практике часто дисконтируют и ряд платежей. Предположим, что имеем дело с арендой, причем платежи остаются по годам одинаковыми (рис.2.3.).

Рис.2.3. Сумма дисконтирования

Какова же наличная стоимость этих платежей? Речь идет о превращении платежного ряда в «разовый платеж сейчас». Техника такой операции следующая. Надо привести каждый разовый платеж к моменту t = 0 и просуммировать полученные величины. Величину К₀ в этом случае называют суммой дисконтирования.

, или (2.3)

Сумма дисконтных множителей .

Поэтому сумма дисконтирования

, (2.4)

где - коэффициент суммы дисконтирования,

К – постоянный платеж.

Пример2.3. Дом сдается в наем на 5 лет, ежегодные платежи К=5 тыс.д.е., Е=0,08. Определить стоимость платежей на сегодняшний день.

Решение. Стоимость платы за наем в течение 5 лет на сегодняшний день составляет: д.е.

Определим также текущую стоимость платежей К₀ по формуле (2.3)

Рента, продолжительностью более 50 лет (иногда принимают более 30 лет), называется вечной рентой, при t=∞, К₀=К / Е, (2.5)

Пример 2.4. Земельный участок дает годовой доход в 1200 д.е. Какова стоимость участка на сегодняшний день при Е=0,08?

Решение.

К=1200 / 0,08 = 15000 д.е.

Аннуитет

Аннуитет (от позднелатинского annuitas) – ежегодный платеж:

1) один из видов срочного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть суммы;

2) равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определенные промежутки времени в счет погашения полученного кредита, займа и проценты по нему.

Аннуитет рассчитывается с помощью коэффициента аннуитета (к_ан), который распределяет величину К₀ в равные суммы платежей (аннуитеты) К с учетом процента на t лет (превращает «разовый платеж сейчас в платежный ряд») рис.2.4.

Рис.2.4. Аннуитет

(2.6)

= к_ан – коэффициент аннуитета.

Коэффициент аннуитета является обратной величиной коэффициента суммы дисконтирования, поэтому, учитывая (2.3), он является также обратной величиной суммы дисконтных множителей

Аннуитет

(2.7)

Пример 2.5. Берется заем в размере 60000 д.е. с равномерным погашением в течение 10 лет, Е=0,08. Рассчитать годовые платежи с учетом процентов.

Решение. Платежи с учетом процентов

К=60000∙0,1490 = 8490 д.е.

Пример 2.6. Затраты на приобретение сдаваемого в наем дома составляют 1,5 млн.д.е. Какова должна быть величина среднегодовых поступлений за аренду, чтобы при расчетной ставке процента Е=5 %, возвратить через 30 лет затраты на приобретение дома?

Решение. д.е.