Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции
Конфликт – это такая ситуация, когда имеется более одного участника, цели которых не совпадают и действия которых не являются совершенно независимыми. Хорошей моделью конфликта являются игры, кооперативные и некооперативные. Рассмотрим такие игры с двумя участниками.
Абстрактной моделью такого конфликта является так называемая биматричная игра, основу которой составляет таблица-биматрица.
1-ый участник 
Здесь 
– множество возможных выборов 1-го участника, 
– то же для 2-го участника; 
– выигрыши 1-го и 2-го участников игры. Получилась таблица, которая и называется биматрица.
Ход первого игрока состоит в выборе им какой-то строки, ход второго – в выборе им какого-то столбца. Если первый выбрал 
-ю строку, а второй – 
-й столбец, то первый получает 
, а второй – 
. В этом и состоит партия игры. Каждый из игроков хочет выиграть как можно больше. Вообще говоря, удается установить некоторые закономерности таких игр лишь, если игрокам предстоит сыграть достаточно много партий. В таком случае, «как можно больше» означает «как можно больше в среднем за партию игры». Для этого игроки должны найти некоторую разумную манеру игры или по-другому стратегию игры.
Простейшими стратегиями являются вероятностные стратегии или смешанные, и их частный случай – чистые стратегии.
Стратегия первого называется смешанной, если выбор -й строки производится им с некоторой вероятностью 
; такую стратегию можно отождествить с распределением вероятностей 
на множестве строк.
Аналогично определяются смешанные стратегии второго.
В кооперативных играх игроки обычно действуют по согласованной совместной стратегии. Чистая совместная стратегия есть просто указание совместного выбора игроками какого-нибудь элемента биматрицы. Совместная смешанная стратегия есть распределение вероятностей на множестве элементов биматрицы.
Анализ кооперативной биматричной игры двух лиц покажем на примере. Пусть биматрица игры есть 
, где 
: 
.На плоскости строится многоугольник ABCD – выпуклая оболочка множества всех точек . Каждая точка 
этого многоугольника может трактоваться как средний выигрыш игроков при некоторой смешанной совместной стратегии игроков.
При этом точка доминирует другую точку 
, если 
и 
. Понятно, что оптимальная стратегия игроков не может дать доминируемую точку. Множество недоминируемых точек называется множеством оптимальности по Парето. Итак, оптимальная стратегия должна быть точкой из множества Парето.
Существует еще меньшее множество, чем множество Парето, оно называется переговорным множеством. Определяется оно так:
Определим выигрыш 
k-го игрока, который он может обеспечить себе независимо от действий другого игрока.
Несложно доказать, что если игрок при своей стратегии 
обеспечивает себе какой-то выигрыш 
при любой чистой стратегии другого игрока, то этот игрок при этой стратегии обеспечивает себе выигрыш при любой смешанной стратегии другого игрока.
Поэтому для нахождения выигрыша 
-й игрок должен обеспечить себе этот выигрыш при любой чистой стратегии другого игрока.
Пусть – произвольная смешанная стратегия 1-го игрока, тогда в игре против -й чистой стратегии 2-го игрока средний выигрыш 1-го равен 
, поэтому для нахождения 
надо решить следующую задачу максимизации:
,
для всякого 
, все 
.
Имеем следующие две системы:
 |  |
| Подставив числовые данные, получим: | |
 |  |
Таким образом, имеем следующие минимаксные стратегии:
| 1-й игрок | 2-й игрок | ||
| Выигрыш | стратегия | Выигрыш | стратегия |
| 4,5 |  | 1.875 |  |
Найденная из этой задачи стратегия игрока называется его минимаксной стратегией, а соответствующие выигрыши – минимаксными выигрышами игроков. Ясно, что при любом исходе переговоров игроков друг с другом ни один из них не согласится получить меньше своего минимаксного выигрыша. Это обстоятельство урезает множество Парето до меньшего множества, которое и называется переговорным: точка 
из множества Парето принадлежит переговорному множеству если и только если 
.