Матричная игра как модель конкуренции

И сотрудничества

Теория игр: совокупность математических методов, анализа и оценки поведения в конфликтных ситуациях, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующие различные, иногда противоположные цели. Противоречащие друг другу интересы наблюдаются в области экономики, военном деле, спорте, иногда противоречат интересы различных ступеней иерархии в СУ. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель-выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Рассмотрим матричную игру двух лиц с нулевой суммой. Задана матрица:

1 2 2 5

3 3 -4 -2

Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 3-ий столбец, то выигрыш второго составляет 4 рубля.

Для второго игрока 2-ый столбец является доминируемым по сравнению с 1-ым, т.к. в первом случае он проигрывает 1 рубль, а во втором проигрывает 2 рубля, и, при этом ,проигрывает 2 и 3 рубля соответственно, если 1-ый игрок выбирает 2-ую строку. Вычеркиваем его

1 2 2 5

3 3 -4 -2

Построим график, образованный пересечением следующих линий:

Так, как если второй игрок выберет свою первую стратегию, то он его выигрыш будет задан уравнением:

V₁=p+3*(1-p)=3-2р

То же для 3-ей и 4-ой стратегий

V₃=2p-4(1-p)=2p-4+4p=6р-4

V₄=5р-2(1-p)=7p-2

V4

V3

Как видно из графика, идя по нижней границе, образуются две точки, мы выбираем верхнюю, образованную пересечением 2-х прямых (1 и 3). 4-ю следует исключить.

Получаем матрицу:

1 2

3 -4

II

IV

Или:

I

III

Найдем оптимальные стратегии игроков.

Пусть стратегия Первого есть (p₁,p₂), а Второго – (q₁,0,q3,0).

Обозначим: p₁=x, p₂=₁-x

q₁=y, q₃=1-y

Выразим математическое ожидание выигрыша первого игрока (цена игры):

M(P,Q)= xy+2x(1-y)+3y(1-x) -4(1-x)(1-y)= xy+2x-2xy+3y-3xy-4+4y+4x-4xy = -8xy+7y+6x-4

= -8y(x-7/8)+6(x-7/8)+10/8 = -8(x-7/8)(y-6/8)+10/8

Допустим, 1-ый игрок решил придерживаться P(x=7/8,1-x=1/8), тогда, как бы ни старался 2, не менял y выигрыш первого всегда (10/8). Представим, что первый отклонится от х=7/10, взяв х=6/8, тогда 2-ой игрок может взять y=5/8 и выигрыш первого будет лишь 9/8. Значит, оптимальная стратегия первого P^* (7/8,1/8), аналогично для второго Q^*(6/8,0,2/8,0). При этом при достаточно большом числе игр проигрыш первого будет составлять в среднем 10/8 руб. за партию.

Цена игры ν=M(P^*,Q^*)= 7/8*6/8+2*7/8*2/8+3*6/8*1/8-4*1/8*2/8=80/64=5/4

Найдем дисперсию (риск):

1)Пусть игроки применяют свои оптимальные стратегии:

ν=M(P^*,Q^*)= 7/8*6/8+2*7/8*2/8+3*6/8*1/8-4*1/8*2/8=80/64=5/4

D(P^*,Q^*)=(-1)²*7/8*6/8+2²*7/8*2/8+3²*6/8*1/8+4²*1/8*2/8- (5/4) ² = =42/64+56/64+54/64+32/64- (5/4) ² =21/16

Риск r=ÖD»1,15

2)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^*(7/8,1/8), а 2-ой– 1-ую чистую стратегию Q1(1,0), тогда риск будет равен:

ν=M(P^*,Q₁)= 1*7/8+3*1/8= 5/4

D(P^*,Q₁)=1² *7/8+3²*1/8- 25/16=7/16

Риск r=ÖD»0,66

3)Пусть, 1-ый игрок применяет свою оптимальную стратегию P^*(7/8,1/8), а 2-ой– 2-ую чистую стратегию Q2(0,1), тогда риск будет равен:

ν=M(P^*,Q₂)= 2*7/8- 4*1/8=5/4

D(P^*,Q₂)=2²*7/8+4²*1/8 – 25/16=63/16

Риск r=ÖD»1,98

4)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^*(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен:

ν=M(P₁,Q^*)= 1*6/8+2*2/8= 5/4

D(P₁,Q^*)= 1 ²*6/8 +2²*2/8 – 25/16=3/16

Риск r=ÖD»0,43

5)Пусть, 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^*(6/8,2/8), а 1-ый– 2-ую чистую стратегию P2(0,1), тогда риск будет равен:

ν=M(P₂,Q^*)= 3*6/8 – 4*2/8= 5/4

D(P₂,Q^*)=3²*6/8+4²*2/8 – 25/16=147/16

Риск r=ÖD»3,03

Из всех возможных рисков наименьший будет, если 2-ой игрок применяет свою оптимальную стратегию Q^*(6/8,2/8), а 1-ый– 1-ую чистую стратегию P1(1,0), тогда риск будет равен »0,43; цена игры ν=M(P₁,Q^*)= 5/4.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска?

Существует несколько разных способов. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход `Q - это математическое ожидание с.в. Q: , где p_i есть вероятность получить доход q_i. А среднее квадратическое отклонение (СКО) - это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Напомним, что дисперсия

D[Q] = M [(Q - `Q)<sup>2</sup>] = M [Q<sup>2</sup>] - `Q².

Рассмотрим четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q_,4. Найдем средние ожидаемые доходы `Q_i и риски r_i операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1	:					`Q1 = 0*1/4+8*1/4+12*1/3+24*1/6=10	r1 = √ D » 7,75
		1/4	1/4	1/3	1/6	D[Q] =0*1/4+64*1/4+144*1/3+576*1/6 -10²=60
Q2	:	-6	-2		-6	`Q2 = -6*1/4-2*1/4+0*1/3-6*1/6=-3	r2 = √ D »2,65
		1/4	1/4	1/3	1/6	D[Q] =36*1/4+4*1/4+0*1/3+36*1/6- (-3) ²=7
Q3	:					` Q3 =0*1/3+2*1/3+4*1/6+16*1/6=4	r3 = √ D » 5,54
		1/3	1/3	1/6	1/6	D[Q] =0*1/3+4*1/3+16*1/6+256*1/6- 4²=92/3
Q4	:	-6	-5	-4		`Q4 = -6*1/3-5*1/3-4*1/6+3*1/6=-23/6 (» -3,83)	r4 = √ D » 3,13
		1/3	1/3	1/6	1/6	D[Q] =36*1/3+25*1/3+16*1/6+9*1/6- (-23/6)²=353/36

Q4

Нанесем средние ожидаемые доходы `Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски

r

по вертикали (см. рис.):

	Q4

Получили 4 точки. Чем правее точка (`Q, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (`Q¢, r¢) доминирует точку (`Q, r) если `Q¢ ³Q и r¢ £ r. В нашем случае 4-я и 3-я операция доминирует 1-ую и 2-ую.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу (в нашем случае это необязательно), которая для пар (`Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть j (Q)= 2×Q - r . Тогда получаем:

j (Q₁)=2*10-7,75=12,25;

j (Q₂)=2*(-3)-2,65= -8,65;

j (Q₃)=2*4-5,54=2,46;

j (Q₄)= 2*(-23/6)-3,13≈ -10,8

Видно, что 1-ая операция – лучшая, а 4-ая – худшая.