Средние статистические величины.

Средняя статистическая величина (средняя величина) - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень варьирующегося количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная и имеет ту же размерность, что и осредняемый признак у отдельных единиц совокупности.

Объективность и типичность статистической средней величины обеспечивается при следующих условиях.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна, прежде всего, рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по республике средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных климатических и других условий и различна в отдельных районах.

Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя статистическая величина.

В экономических исследованиях и плановых расчетах используются две категории средних статистических величин:

• степенные средние;

• структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Величины, для которых вычисляется (исчисляется) средняя статистическая величина будем обозначать x_j. Частоту повторяемости индивидуальных значений признака в совокупности или ее части будем обозначать f: . Частоту повторения признака f также называют весом и поэтому различают простые степенные средние (простые средние) и взвешенные степенные средние (взвешенные средние).

Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

, (1.17)

где - значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется величина данного признака; т - показатель степени средней.

Взвешенная средняя считается по формуле:

, (1.18)

где f_j - частота, показывающая, сколько раз встречается j - е значение осредняемого признака.

В дальнейшем при написании формул средних мы не будем использовать пределы суммирования и подстрочные обозначения j , но будем подразумевать, что суммируются все значения осредняемого признака по совокупности или же произведения .

Частоты f называют статистическими весами или просто весами средней величины. Но следует отметить, что статистический вес понятие более широкое, нежели частота повторения значения осредняемого признака в совокупности. Частоты очень часто могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями.

Формулы степенных средних величинприведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Величины степенных средних, рассчитанные на основе одних и тех же индивидуальных значений признака в одной и той же совокупности при различных значениях степени т, не одинаковы по своей величине. Чем выше величина степени, тем больше значение средней:

Вопрос о выборе средней величины при экономических исследованиях решается исходя из задачи самого исследования, содержания изучаемого явления и наличия исходной информации.

Выбор средней состоит из следующих этапов:

· устанавливается определяющий показатель, т.е. обобщающий показатель совокупности, от которого зависит величина средней;

· определяется математическое выражение для определяющего показателя;

· производится замена индивидуальных значений признака средними величинами;

· производится решение уравнения средней.

Ключевым моментом является то, что величины, представляющие числитель и знаменатель выражения для определения средней величины, должны иметь определенный логический смысл.

В этом контексте полезно следующие правила для выбора формы средней величины.

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны:

· численные значения знаменателя ее логической формулы;

· значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей.

То в этом случае средняя величина должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны:

· численные значения числителя логической формулы;

· значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой.

То в этом случае средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя величина вычисляется непосредственно по этой формуле.

Средняя арифметическая и средняя гармоническаяявляются наиболее распространенными видами средней величины, часто используются в плановых расчетах, при расчете средней из средних групповых, а также при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок.

Средняя квадратическаяприменяется при расчете среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации величины признака по элементам совокупности.

Средняя геометрическая (простая) используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста), что используется и при анализе рядов динамики, если промежутки времени, которым относятся коэффициенты роста, одинаковы. В том случае, если промежутки времени различны, то общий средний коэффициент роста за весь рассматриваемый период определяется по средней геометрической взвешенной, причем f_j является продолжительностью j - го периода, к которому относится соответствующий коэффициент роста.

Структурные средние применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели:

· моды- наиболее часто повторяющегося значения признака;

· медианы- величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой - не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает.

В том случае, когда данные о значениях признака х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется.

Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака х.

С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

, (1.19)

где х_Ме — нижняя граница медианного интервала; h_Me — его величина; Σf/2 — половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении); S_Me-₁ — сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; f_Ме — число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака х. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как:

, (1.20)

где х_Мо - нижнее значение модального интервала; f_Мо - число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении); f_Mo-I - то же для интервала, предшествующего модальному; f_Mo+i - то же для интервала, следующего за модальным; h_Mo - величина интервала изменения признака в группах.