Влияние стоимости ОПФ на объем выпуска продукции

Группы предприятий по среднегодовой стоимости	Число предприятий в группе, ед.	Суммарный объем выпуска по группам, млн.р.	Средний объем выпуска продукции, млн.р. (у)	Средняя стоимость ОПФ по группам, млн.р. (х)
3,7…5,34		24,2	4,84	4,16
5,34…6,98		20,2	6,73	6,23
6,98…8,62		25,6	8,53	7,7
8,62…10,26		49,4	9,88	9,28
10,26…11,9		46,6	11,65	11,17
Итого			8,3	7,68

Из аналитической группировки следует, что между факторным ОПФ и результативным (объем) признаками прослеживается функциональная связь, т.е. с увеличением степени оснащенности предприятий ОПФ возрастает выпуск продукции (связь прямая).

На основании группировочных средних данных по ОПФ объему выпуска продукции строим эмпирическую кривую, характеризующую связь между факторным и результативным признаками.

Анализ рис. 1 показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

После установления направления и формы связи между признаками приступают к оценке степени тесноты связи.

Теснота связи по линейной зависимости измеряется, как известно, с помощью линейного коэффициента корреляции r. Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле

Для удобства проведения вычислительных операций следует построить вспомогательную таблицу и рассчитать соответствующие значения, входящие в формулу расчета линейного коэффициента корреляции (табл. 2.4).

Вспомогательная таблица для расчета коффициента корреляции

Таблица 2.4

№ предприятия	X	Y	X^2	Y^2	X*Y
	6,0	6,3		39,69	37,8
	4,2	5,2	17,64	27,04	21,84
	8,9	9,5	79,21	90,25	84,55
	10,3	10,7	106,09	114,49	110,21
	6,5	6,8	42,25	46,24	44,2
	3,7	4,1	13,69	16,81	15,17
	11,8	12,1	139,24	146,41	142,78
	8,1	9,0	65,61		72,9
	6,9	7,7	47,61	59,29	53,13
	4,1	4,4	16,81	19,36	18,04
	4,9	5,8	24,01	33,64	28,42
	9,2	9,8	84,64	96,04	90,16
	11,9	12,4	141,61	153,76	147,56
	8,1	8,9	65,61	79,21	72,09
	3,9	4,7	15,21	22,09	18,33
	6,2	7,1	38,44	50,41	44,02
	9,8	10,2	96,04	104,04	99,96
	10,7	11,4	114,49	129,96	121,98
	8,9	9,3	79,21	86,49	82,77
	9,6	10,6	92,16	112,36	101,76
Итого	153,7		1315,57	1508,58	1407,67

Подставляя числовые значения в формулу, получим величину линейного коэффициента корреляции, по которому высказываем суждение о степени тесноты связи между рассматриваемыми признаками:

0,969376515
	r = =0,995.
0,939690828

В данном случае r = 0,995 свидетельствует о заметной связи между ОПФ и объемом выпуска продукции, так как он находится в пределах 0,8…1,0

Коэффициент детерминации, представляющий собой квадрат коэффициента корреляции r² = 1, показывает долю вариации результативного признака вследствие вариации признака, т.е. ОПФ: r² = 0,990, или 99% изменения объема выпуска продукции на предприятиях объясняется оснащенностью их основными производственными фондами.

Задание 3

Необходимо изучить данную тему и усвоить способы расчета обобщающих показателей вариационного ряда: показателей центра распределения (средняя арифметическая, мода и медиана) и показателей вариации (размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).

Для выполнения задания в начале необходимо выписать последовательно все значения признака – объем производства продукции.

Далее следует построить ряд распределения по этому же признаку или выполнить группировку. Для этого необходимо в начале установить число групп и величину интервала, на которые следует разбить совокупность.

Выполненная группировка выполняется графиками, с помощью которых производятся вспомогательные расчеты для определения искомых показателей ( табл.3.1).

Расчеты выполняются в следующей последовательности.

1. Определяется длина интервала i :

i = (x_max –x_min) / (1 + 3,322 lg n ) = (12,3-2,9) / 5 = 1,84 ≈ 2

Группировка предприятий по стоимости ОПФ и их характеристика.
Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ, млн. р., x	Число предприятий в группе, f	Середина соответст-вующего интервала xi'	Расчетные значения величин для определения искомых показателей
x'*f	x'-x	(x'-x)2	(x'-x)2 · f	S
3 - 5				-4,3	18,49	36,98
5 - 7				-2,3	5,29	21,16
7 - 9				-0,3	0,09	0,54
9 - 11				1,7	2,89	14,45
11 - 13				3,7	13,69	41,07
Итого		-				114,2

2. Рассчитываем показатели центра распределения (средняя арифметическая млн. тавляет , медиана М_е, и мода М_о). Для расчета используются данные табл. 1 – итоговая строка по графе 4:

= = = 166 / 20 = 8,3

,. млн. тавляет

где - нижняя граница модального интервала, - величина модального интервала, - частота модального интервала, - частота, предшествующая модальному интервалу, - частота, следующая за модальным интервалом.

Мода – это вариант с наибольшей частотой, значит, модальный интервал будет 7…9.

= 7+2(6-4)/(6-4)+(6-5)=8,3

Моду можно отразить графически при помощи гистограммы.

На оси абсцисс выстраивается ряд сомкнутых прямоугольников, основание у которых величина интервала, а высота – частота интервала. Затем вершины прямоугольника с наибольшей высотой (А и В) соединяются с вершинами рядом стоящих прямоугольников (С и D), и из точки из пересечения (О) на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой точке будет .

Гистограмма распределения предприятий по объему выпуска продукции

,

где - нижняя граница медианы, - величина медианного интервала, - сумма частот, - накопленная частота до медианного интервала, - частота медианного интервала.

Для того, чтобы определить медиану, необходимо найти ее порядковый номер , а затем по накопленной частоте определить медиану.

N = 10, медиана будет в 3-м интервале.

= 9,6

Медиана определяется графически при помощи кумуляты:

Кумулята ряда распределения предприятий по объему выпуска продукции

По накопленным частотам находим порядковый номер медианы и проводим линию параллельно оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Далее из точки пересечения на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой точке .

3. Рассчитываются показателей вариации по интервальному ряду распределения необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения. Результаты вспомогательных расчетов для определения дисперсии и среднего квадратичного отклонения содержатся в графах 4-8 (табл. 3.1).

Среднее линейное отклонение определяется:

1,96

Дисперсия объема выпуска продукции рассчитывается по формуле средней взвешенной

Среднее квадратичное отклонение объема выпуска продукции определяется как корень квадратный из дисперсии:

Коэффициент вариации:

V=

Исследуемый ряд распределения не соответствует нормальному закону распределения, так как . Поэтому для выявления характера распределения нужно не только оценить степень однородности совокупности, но и дать оценку его симметричности. Для оценки степени симметрии используют коэффициент симметрии:

Полученный результат свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии и поэтому данное распределение нельзя отнести к типу нормального распределения.

Расчетная работа №2

Задание 1

На основании ранее выполненной группировки по ОПФ (задание 2) необходимо проверить правило сложения дисперсий по объему выпуска продукции. Прежде всего необходимо выписать по выделенным группам значения объема выпуска продукции по каждому предприятию совокупности (табл. 4.1).

Вначале определяется общая дисперсия σ², отражающая суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию объему выпуска продукции.

Для этого выполняется вспомогательная таблица (табл. 4.2), в которой рассчитываются необходимые значения, используемые для определения дисперсии.

Таблица 4.1

Сводка индивидуальных значений объема продукции по группам предприятий

Группы предприятий по ОПФ	Индивидуальные значения показателя объема производства xi, млн р.
2,9-4,8	3,1	4,1
4,8-6,7	5,9	6,3	5,2	6,5
6,7-8,6	6,8
8,6-10,5	10,3	12,0	10,6	9,5	9,0	10,0	10,4	10,5	9,5	10,3	9,5
10,5-12,4	12,1	10,7

Таблица 4.2

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии σ²

Индивидуальные значения признака - объема производства xi	Частота повторения индивидуальных значений f	Вспомогательные расчеты величин для определения дисперсии
xf
3,1		3,1	-5,5	30,25	30,25
4,1		4,1	-4,5	20,25	20,25
5,2		5,2	-3,4	11,56	11,56
5,9		5,9	-2,7	7,29	7,29
6,3		6,3	-2,3	5,29	5,29
6,5		6,5	-2,1	4,41	4,41
6,8		6,8	-1,8	3,24	3,24
9,0		9,0	0,4	0,16	0,16
9,5		28,5	0,9	0,81	2,43
10,0		10,0	1,4	1,96	1,96
10,3		20,6	1,7	2,89	5,78
10,4		10,4	1,8	3,24	3,24
10,5		10,5	1,9	3,61	3,61
10,6		10,6
12,0		12,0	3,4	11,56	11,56
12,1		12,1	3,5	12,25	12,25
10,7		10,7	2,1	4,41	4,41
Итого:		172,3	-	-	131,7

Предварительно определяем общую среднюю арифметическую:

= (∑xf)/ ∑f = 172,3/20=8,6 млн. р.

Затем рассчитываем дисперсию по объему выпуска продукции:

σ² = ( ∑(x – x)² f) / ∑f = 131,7/20=6,585

Далее найдем среднее квадратическое отклонение:

σ = = 2,56 млн. р.

Для расчета внутригрупповых дисперсий необходимо выполнить соответствующие вычисления средних величин и дисперсии по объему выпуска продукции по каждой группе. Для этого необходимые расчеты следует выполнить в форме вспомогательной таблицы (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Вспомогательная таблица для расчета частных внутригрупповых дисперсий

Индивидуальные значения признака - объема производства Xi	Частота повторения индивидуальных значений f	Расчетные величины	Средняя арифметическая Xi cp	Дисперсия по отдельным группам сигмаi^2
X - Xcp.	(X - Xcp.)^2	(X - Xcp.)^2 f
1-я группа
3,1		-0,5	0,25	0,25
4,1		-1,5	2,25	2,25
Итого				2,5	3,6	1,25
2-я группа
5,2		-0,78	0,6	0,6
5,9		-0,08	0,006	0,006
6,3		0,32	0,1	0,1
6,5		0,52	0,27	0,27
Итого				0,98	5,98	0,24
3-я группа
6,8
Итого					6,8
4-я группа
9,0		-1,1	1,21	1,21
9,5		-0,6	0,36	1,08
10,0		-0,1	0,01	0,01
10,3		0,2	0,04	0,08
10,4		0,3	0,09	0,09
10,5		0,4	0,16	0,16
10,6		0,5	0,25	0,25
12,0		1,9	3,61	3,61
Итого				6,49	10,1	0,59
5-я группа
10,7		-0,7	0,49	0,49
12,1		0,7	0,49	0,49
Итого				0,98	11,4	0,49

Вычисление средней арифметической и дисперсии по каждой группе производится по формулам: и с последующей записью расчетных значений и σ² в графах 6 и 7 табл. 4.3.

После определения частных внутригруппировочных дисперсий рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

0,55

Далее рассчитывается межгрупповая дисперсия δ²:

6,03

Таким образом, суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

6,58

Полученный результат совпадает с результатом исчисления общей дисперсии обычным способом, что дает основание судить о правильности выполнения расчетов.

На основании соотношения межгрупповой и общей дисперсии судят о существенности связи между факторным и результативным признаками, показателем которой является эмпирическое и корреляционное отношение ɳ:

= 0,92

Величина 0,92 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.. млн. тавляет

Задание 2

Для решения первой задачи задания записываем исходные данные с общепринятыми обозначениями:

N = 155,7 млн р. – суммарная стоимость ОПФ по генеральной совокупности; n = 15,57 млн р. – суммарная стоимость ОПФ по выборочной совокупности; P = 0,997 млн р. – вероятность; t = 3 млн р. – коэффициент доверия.

Затем на основании ранее выполненной аналитической группировки записываем в группировочную таблицу необходимую исходную информацию для расчета средней ошибки выборки (табл. 5.1):

Таблица 5.1

Исходные данные для расчета средней ошибки выборки

Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ, млн р.	Число предприятий в группе, ед. Fi	Серединное значение ОПФ в группе X'i	Стоимость ОПФ по группе x'fi
2,1	…	4,1		3,1	6,2
4,1	…	6,1		5,1	20,4
6,1	…	8,1		7,1	7,1
8,1	…	10,1		9,1	100,1
10,1	…	12,1		11,1	22,2
Итого

Для расчета среднегодовой стоимости ОПФ по генеральной совокупности необходимо вначале оценить репрезентативность выборки. Для этого рассчитываем среднюю и предельную ошибки выборки.

Расчет средней ошибки выборки производим двумя способами в зависимости от процедуры проведения выборки – повторный отбор или бесповторный.

В первом случае используется формула

во втором:

,

где С² – выборочная дисперсия; N – число единиц генеральной совокупности; n – число единиц выборочной совокупности.

Выборочную дисперсию определяем по формуле:

,

где x’ – среднее значение ОПФ в группе; - среднее значение ОПФ по выборке; - число предприятий в группе.

Среднее значение ОПФ по выборке находим из выражения

= 7,8

Тогда

= 5,71

0,6

Предельная ошибка выборки при P = 0,997 и t = 3 1,8

Пределы генеральной средней при заданной вероятности (P = 0,997) составляют:

7,8 1,8, т.е. 6 млн р. 9,6 млн р.

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость ОПФ в генеральной совокупности находится в пределах от 6 до 9,6млн р.

При бесповторном отборе результаты будут иные, а именно:

средняя ошибка выборки 0,57

предельная ошибка выборки 1,71

пределы генеральной средней 7,8 1,71т.е. 6,09 млн р. 9,51 млн р.

Следовательно, пределы генеральной средней в этом случае несколько меньше, чем при повторном отборе.

Решение второй части задачи, т.е. определение вероятности того, что генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней не более чем на 1 млн р., производится в следующей последовательности.

Из условий задачи следует, что предельная ошибка выборки 1 млн р.

Используя выражение , можно записать в случае повторного отбора 1,0 = t0,6. Тогда t = 1,66.

По таблице значений функции Лапласа Ф(t) = P[T]≤t_табл. при различных значениях t находим P = 0,9031.

В случае бесповторного отбора 1,0 = t0,57. Тогда t = 1,75; P = 0,9199.

Таким образом, с вероятностью соответственно 0,9031 и 0,9199 можно гарантировать, что среднегодовая стоимость ОПФ в генеральной совокупности будет не менее 6млн р., но не более чем 9,6млн р. при повторном отборе и не менее 6,09млн р., но не более 9,51 млн р. при бесповторном отборе.

Задание 3.

Выполнение задания позволит установить правила построения и анализа рядов динамики для выявления основной тенденции и закономерностей ее развития. Достигается это обработкой рядов динамики, анализом изменения его уровней, расчетом аналитических показателе.

Для удобства вычислений исходные данные по объему выпуска продукции в целом по совокупности сводится в таблицу (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Исходные данные к заданию

Показатель	Год
1-й	2-й	3-й
Совокупный объем выпуска продукции, млн р.	167,9	169,4	172,3

Расчетные показатели оценки ряда динамики лучше всего выполнить в табличной форме (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Расчетные показатели динамики производства продукции

год	Производство продукции, млн. р.	Абсолютный прирост, млн. р.	Коэффициенты роста	Темп прироста, %	Абсолютное значение одного процента
цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1-й	167,9	-	-	-	-	-	-	-
2-й	169,4	1,5	1,5	1,009	1,009	0,9	0,9	1,67
3-й	172,3	2,9	4,4	1,017	1,026	1,7	2,6	1,70

Абсолютный прирост выражает увеличение или снижение уровня ряда динамики и его величина определяется по формуле соответственно:

; .

Темп прироста Т_пр выражает изменение величины абсолютного прироста уровня ряда динамики в относительных величинах и рассматривается как отношение к предыдущему или базисному уровню.

;

Показатель абсолютного значения одного процента A прироста определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах. Рассчитывается только на цепной основе.

Затем рассчитываются средние показатели динамики, которые являются обобщенными характеристиками абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики:

Средний годовой абсолютный прирост продукции

2,2 млн р.

Средний коэффициент роста

1,03

Средние темпы прироста

или 0,03

Т_пр = 3%.

На основании вычисленных показателей ряда динамики следует, что объем производства продукции по 20 предприятиям в челом возрастает, однако цепной абсолютный прирост и соответственно цепные коэффициент роста и темп прироста снижаются. Данная тенденция свидетельствует об уменьшении интенсивности роста объемов выпуска продукции.

Среднегодовой темп роста составляет 103%, среднегодовой темп прироста – 3%, что свидетельствует о динамике роста объема выпуска продукции