Виды средних величин и способы вычисления

Как правило многие признаки единиц статистической совокупности различны по своему значению. Например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района, цены на рынке на одинаковую продукцию и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, прибегают к расчету средних величин.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Например, средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (месяц, квартал, год) к численности рабочих.

Средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, и в тоже время он игнорирует различие (вариацию) отдельных единиц.

Основным условием научно обоснованного использования средних является то, что средний показатель должен определяться только для совокупностей, состоящих из однородных единиц. В противном случае средние будут искажать характер изучаемого явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными.

Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц, так как в этом случае согласно закону больших чисел взаимопогашаются случайные, индивидуальные различия между единицами, что способствует проявлению основного, существенного, присущего всей массе.

Средние величины делятся на степенные и структурные.

Степенные средние объединяются общей формулой (при различных значениях m):

где

- среднее значение исследуемого явления

m – показатель степени средней

X – фактическое значение вариант осредняемого признака

n – число вариант

В зависимости от m различают следующие виды степенных средних:

m = -1 – средняя гармоническая

m = 0 - средняя геометрическая

m = 1 – средняя арифметическая

m = 2 – средняя квадратическая

m = 3 – средняя кубическая

Свойство степенных средних возрастать с повышением степени функции называется правилом мажорантности средних.Т.е. при использовании одних и тех же данных верно следующее неравенство:

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое значение варьирующего признака встречается в совокупности один раз или когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака. Простой средней арифметической называется сумма данных величин, деленная на их количество

, где

Х₁, Х₂, … , Х_n – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты)

n – число единиц совокупности (количество вариант)

Например, определить среднюю выработку одного рабочего, если известно, сколько деталей изготовил каждый из пяти рабочих бригады, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21, 19, 23, 28, 25.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, если варианты повторяются различное число раз, или как говорят, имеют различный вес.

,где

f_1, f_2, … f_n – веса (частоты повторения одинаковых вариант)

Например, по пяти сельскохозяйственным предприятиям имеются следующие данные:

С/х предприятия	Урожайность зерновых, ц/га	Площадь, га
	17,9
	24,0
	21,3
	16,5
	28,9
Итого	х

Следует определить среднюю урожайность зерновых по этим предприятиям. Для расчета средней урожайности используем взвешенную среднюю арифметическую, так как урожайность в 17,9 ц/га повторяется на площади в 100 га, урожайность в 24 ц/га – на площади в 150 га и т.д. В данном случае в качестве весов (частоты повторения урожайности) используется посевная площадь.

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов (от – до), т.е. дан интервальный ряд распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков (вариант) в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Например, приведены следующие данные по акционерному обществу:

Исходные данные	Расчетные значения
Группы рабочих по оплате труда, руб	Число рабочих, чел. f	Середина интервала, руб. x	x*f
До 2000		1750 ( )
2000-2500		2250 ( )
2500-3000
3000-3500
3500 и более		3750
итого		х

Для определения средней оплаты труда от интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями с помощью простой средней между нижней и верхней границами каждого интервала. При этом открытые интервалы закрывают с помощью величины интервалов, примыкающих к ним (в нашем случае, второго и предпоследнего)

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными, т.е. не частотами, а, так называемыми, частостями в виде процентов или коэффициентов. Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

, где

- частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Средняя арифметическая имеет некоторые свойства, воспользовавшись которыми можно упростить и облегчить процедуру ее расчета. Приведем (без доказательства) основные свойства средней:

Свойство 1.Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2.Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а сразу представлена как их произведение xf, т.е. когда имеются варианты x и объемная величина, которую можно представить в виде xf .

Формулу средней гармонической можно представить следующим образом:

, где W = xf

Например, по данным таблицы требуется определить среднюю цену 1 кг яблок в октябре.

Номер магазина	Исходные данные	Расчетные значения
Цена 1 кг яблок, руб. х	Выручка от продажи яблок, руб. w	f=
			180 (3060: 17)
			140 (2800:20)
			80 (1920:24)
Итого	х

Средняя цена, руб =

Определяющим показателем здесь является числитель логической формулы. Выручка от продаж (числитель) известна, а количество проданной продукции – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Средняя гармоническая простаяиспользуется достаточно редко. Она применяется в тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу).

Средняя геометрическаяприменяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, цепные относительные величины динамики (см. учебное пособие ''Ряды динамики'').

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений вариантов признака x :

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики.

В ряде случаев в экономической политике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая(например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая(например, при определении средней длины стороны n кубов).