Виды средних и способы их вычисления

Правильное применение средних возможно лишь на основе предварительной группировки: выделения качественно однородных совокупностей и расчленения явления на части в зависимости от различия условий, под влиянием которых явление складывается.

Под средней величиной в статистике понимают показатель, который характеризует типичный уровень изменяющегося признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

При изучении отдельных видов средних величин рекомендуется четко представлять методику их расчета и область применения. Наиболее распространенной формой средних величин является средняя арифметическая, расчет которой производится путем деления суммы всех значений изучаемого признака на их количество.

Формула расчета:

		å xi
x =	,	(5.1)
n

где х – среднее значение изучаемого признака; x_i –конкретное значение этого признака;

n –число единиц,значение признака которых изучается.

Расчет средней по данной формуле называется способом простой средней арифметической.

Если какое-то значение признака повторяется у нескольких единиц, то в этом случае формула расчета средней арифметической имеет такой вид:

			åxi fi
	x =	,	(5.2)
	å fi

где f_i – частота повторения отдельных вариантов признака.

Данная формула носит название средней арифметической взвешенной.

Средняя хронологическая используется в тех случаях, когда имеются данные наблюдения на определенные моменты времени; ее расчетная формула имеет вид:

		= 0.5x1 + x2 + x3 ++ xn -1 + 0.5xn,
	x	(5.3)
		n -1

Средняя геометрическая используется для анализа темпов роста явлений и вычисляется по следующим формулам:

					xn
		x = n-1	,
		x
x = n-1 k ×k ×k ×		×k	,
				n-1

где x₁ – первый (базисный) уровень ряда динамики; x_n –последний уровень ряда динамики;

n –число уровней(или периодов);

k₁, k₂,…, k_n-1–цепные коэффициенты роста данного ряда динамики.

(5.4)

(5.5)

Взвешенные средние широко применяются при обработке данных текущего наблюдения по производственным участкам и цехам предприятия, обобщении материалов отчетности предприятий и организаций.

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле:

Х=М / (М / х),

(5.6)

где М=х∙f

Пример.

Партия	Себестоимость одной детали,	Затраты на всю партию деталей,
деталей	руб. (х)	руб. (М)
	1,8
	2,0
	2,3

Х=М / (М / Х) = (180+400+165) / (180/1,8+400/2+165/2,3) =1,98 (руб.).

Средняя себестоимость единицы продукции исчислена по формуле средней гармонической, так как исходной базой исчисления средней себестоимости является отношение затрат на производство всей продукции к количеству единиц продукции.

Выбор вида средней зависит от задачи, стоящей перед исследователем, и характера исходных данных. Если имеются варианты и частота, то для расчета средней величины применяется средняя арифметическая. В тех случаях, когда имеются варианты и произведения вариант на частоты (х∙f), а частоты неизвестны, для расчета средней величины используется средняя гармоническая.

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда следует исчислить среднюю из величин, обратно пропорциональных изучаемому явлению.

Структурные средние

Особого рода средними, используемыми в экономическом анализе для изучения структуры вариационного ряда, являются мода и медиана.

Медиана –это значение признака у той единицы совокупности,которая расположена всередине упорядоченного ряда. По данным интервального вариационного ряда, который предварительно ранжирован, медиану определяют по формуле:

Me = x + d	(0.5å f i )- Sm-1	,	(5.7)
	fm

где x₀ – нижняя граница медианного интервала; d –величина медианного интервала;

0.5å f_i – полусумма частот всех интервалов;

S_m-1–сумма частот до медианного интервала; f_m –частота медианного интервала.

Если ряд дискретный, то медианой является срединное значение признака, и применение формулы не требуется.

Мода –это наиболее часто встречающееся значение признака.В интервальномвариационном ряду ее определяют по формуле:

Mo = x0	+ d		f 2	- f1		,	(5.8)
( f 2	- f1)	+( f	2- f3)

где x₀ – нижняя граница модального интервала; d –величина модального интервала;

f₂–частота модального интервала;

f₁–частота интервала,предшествующего модальному; f₃–частота интервала,следующего за модальным.

В дискретном ряду мода – это вариант признака, имеющий наибольшую частоту.

Показатели вариации

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации (колеблемости) признака могут быть использованы следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Три последних показателя обладают преимуществами, обусловленными их математическими свойствами, перед первыми двумя.

1.

Размах вариации:

R = xmax - xmin ,

(5.9)

å

xi - x

× fi

2.

Среднее линейное отклонение:

l =

,

(5.10)

å fi

3.

Дисперсией называется средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Формула

расчета:

(

)

å

x - x

× f

s 2

=

i

i

,

(5.11)

å fi

4.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е.

å xi -

s =

x

× fi

,

(5.12)

å

fi

Первые четыре показателя измеряют абсолютный размер колеблемости признака и выражаются в тех же единицах измерения, что и значения признака.

Коэффициент вариации позволяет сравнивать колеблемость (вариацию) различных, но взаимосвязанных явлений (или их признаков), а также колеблемость одноименных признаков, но действующих в различных условиях места или времени.

Формула расчета:

v =	s	×100 %,	(5.13)
x

Коэффициент вариации используют не только для сравнения оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.