Тема №6. Показатели вариации

Занятие №3.(лекция). Структурные средние вариационного ряда

1 Структурные средние вариационного ряда.

К данным характеристикам относятся мода ( Мо) и медиана (Ме).

Мода ( Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой.

Медианой (Ме) называется значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным. Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 6, 2,6. Так, как в данной бригаде больше всего рабочих 3 –го разряда, то этот тарифный разряд и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

2,3,3,3,4,4,5,6,6.

Центральным в этом ряду является рабочий 4 – го разряда, следовательно он и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Для сгруппированных данных (рядов распределения) определение моды и медианы рассмотрим на примере, исходные данные которого приведены в таблице15.

Таблица 15 - Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду

Тарифный разряд	Численность рабочих
Всего

Наибольшую частоту имеют рабочие 5 –го разряда, следовательно именно этот разряд является модальным.

Для определения медианного значения признака необходимо определить номер медианной единицы ряда по следующей зависимости

, (27)

где n – объем совокупности.

Для рассматриваемого примера

N_Ме =( 190 +1)/2 =95,5.

Полученное значение указывает на то, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно установить рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что рабочих с этими номерами нет в первой группе, нет их и во второй группе, так как накопленная частота для второй группы равна (12+48) = 60. 96 и 96 рабочие находятся в третьей группе ( 12+48 +56) =116, следовательно медианным является 4 – тарифный разряд.

Расчет моды и медианы для интервальных вариационных рядов производится по формулам

, (28)

х₀ – нижняя граница модального интервала ( модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i – величина модального интервала;

f_мО – частота модального интервала;

f_МО-1; f_МО+1 – частота интервала предшествующего модальному и следующего за модальным соответственно.

, (29)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала;

S _Mе-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.;

f_Ме - частота медианного интервала.

Рассмотрим пример расчета моды и медианы, используя исходные данные, приведенные в таблице16

Таблица 16 - Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в 1 полугодии 1997г.

Группы по уровню среднедушевого месячного дохода, тыс. руб.	Численность населения, млн. чел.
До 400 400 –600 600-800 800-1000 1000-1200 1200-1400 1400-1600 1600-1800 1800-2000 свыше 2000	29,6 30,6 25,1 18,4 12,8 9,4 5,6 4,1 3,3 8,6
Итого	147,5

Алгоритм расчета моды

1. Определяем модальный интервал, это 400-600 тыс.руб.

2. Определяем нижнюю границу модельного интервала х₀, она равна 400 тыс.руб.

3. Определяем величину модельного интервала i _, она равна 200тыс. руб..

4. По зависимости (28) рассчитываем моду

Мо = 400 + 200 (( 30, 6 – 29,6)/ (30,6 –29,6) +( 30,6 –25,1)) = 430,8 тыс. руб.

Алгоритм расчета медианы

1. Определяем медианный интервал, для чего рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половину суммы частот ( для рассматриваемого примера это 174, 5\ 2 = 73, 75 мл. чел.). Результаты расчета сводим в таблицу 17.

Таблица 17- Определен6ие медианного интервала

Интервал, тыс. руб.	Накопленная частота, мл. чел
До 400 400 – 600 600 - 800	29,6 60,2 85,3

Тогда медианный интервал равен 600- 800 тыс. руб.

2. Определяем нижнюю границу медианного интервала х₀, она равна 600тыс. руб.

3. Определяем величину медианного интервала i , она равна 200тыс.руб.

4. По зависимости ( 29) рассчитываем медиану

Ме = 600 + 200(( 73,75 – 60, 2)/25,1)) = 708,0 тыс. руб.

Вывод. В 1 полугодии 1997г в РФ наиболее часто наблюдался номинальный среднедушевой денежный доход в размере 430,8 тыс. руб., при этом одна половина населения РФ имела номинальный среднедушевой доход до 708,0 тыс. руб., а вторая половина населения имела доход свыше 708,0 тыс. руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической имеет важное прикладное значение, так как позволяет оценить асимметрию распределения признака в совокупности. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой с средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

2 Графические методы определения структурных средних

Мода определяется по гистограмме распределения.

Алгоритм определения моды

1. Изобразить в масштабе гистограмму ряда распределения (рисунок 7).

2. Выбрать самый высокий прямоугольник, который и будет модальным.

3. Правую вершину модального прямоугольника соединить прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника.

4. Левую вершину модального прямоугольника соединить прямой с левым верхним углом последующего прямоугольника.

5. Из точки пересечения прямых опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пересечения является модой ряда распределения.

Медиана распределения рассчитывается по кумуляте.

Алгоритм расчета медианы

1 Изобразить в масштабе кумуляту ряда распределения (рисунок 8).

2. По шкале накопленных частот определяют ординату, соответствующую 50% и проводят прямую параллельную оси абсцисс до пересечения с кумулятой.

3. Из точки пересечения опускают перпендикуляр до пересечения с точкой абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.