Решение по Нейману - Моргенштерну.

Дележи, входящие в С-ядро, не доминируются другими дележами, но сами доминировать другие не могут, поэтому выбор дележа из С-ядра - решение трудно оспоримое, но далеко не самое лучшее.

Разумеется, идеальным было бы указание такого дележа, который не только не доминировался какими-либо другими дележами, но и сам бы доминировал любой другой дележ. Приемлемые результаты можно получить путем некоторого расширения класса дележей подобно введению смешанных стратегий для решения антагонистических игр.

Такое расширение было произведено Дж. фон Нейманом и О.Моргенштерном путем использования понятий внутренней и внешней устойчивости.

Подвнутренней устойчивостью множества дележей, образующих решение, понимается не доминирование дележей внутри решения. Под внешней устойчивостью понимается свойство доминирования хотя-бы одним из дележей, входящих в решение, любого дележа не входящего в решение.

Решением по Нейману-Моргенштерну ( Н-М решением) кооперативной игры называется такое множество R дележей, что:

1. Никакие два дележа из R не доминируют друг друга (внутренняя устойчивость);

2. Каким бы ни был дележ S R найдется дележ r R такой, что r dom s (внешняя устойчивость).

Теорема связи между С-ядром и Н-М решением: Если в кооперативной игре существует С-ядро и Н-М решение R, то С Ì R.

Теорема. Если некоторое Н-М решение кооперативной игры <I,v> состоит из единственного дележа х, то характеристическая функция v является несущественной. (Н-М решение существенной кооперативной игры не может состоять только из одного дележа).

Недостатки Н-М решения:

1. Известны примеры кооперативных игр, которые не имеют Н-М решения. Более того, в настоящее время не известны какие-либо критерии, позволяющие судить о наличии у игры Н-М решения. Тем самым заложенный в Н-М решении принцип оптимальности не является универсально реализуемым и область его реализуемости пока остается неопределенной.

2. Кооперативные игры, если имеют Н-М решение, то, как правило, более одного. Поэтому принцип оптимальности, приводящий к Н-М решению не является полным: он не в состоянии указать игрокам единственной системы норм распределения выигрыша.

3. Решения существенных кооперативных игр состоят из более чем из одного дележа. Таким образом даже выбор какого-либо конкретного Н-М решения еще не определяет выигрыша каждого из игроков.

Эти недостатки не "пороки", которые следовало бы исправлять, а недостатки, которые хотелось бы восполнить. Это отражает положение дел в действительности: большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются непосредственному сравнению по их предпочтительности.

Вектор Шепли.

До сих пор были рассмотрены решения игр, отвечающие принципам оптимальности в смысле выгодности и устойчивости ( maxmin в чистых или смешанных стратегиях ) или только устойчивости ( C-ядро и Н-М решение в кооперативных играх ). Рассмотрим решения, оптимальные в смысле справедливости.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор распределения общего выигрыша между участниками игры: Ф(v) = ( Ф₁(v), Ф₂(v),... Ф_n(v))

При этом необходимо, чтобы Ф(v) был дележом в условиях кооперативной игры, то есть отвечал бы требованиям игдивидуальной и групповой рациональности.

Предлагаемое решение носит аксиоматический характер, то есть выводится формальным образом из некоторой полной и непротиворечивой системы аксиом. Эта система включает в себя: аксиому эффективности, аксиому симметрии и аксиому агрегации.

Аксиома эффективности: распределение выигрыша носителя игры ( N ) происходит только между игроками, входящими в носитель. Иными словами, все приращение выигрыша, достигаемое только за счет обьединения в коалицию (эффект супераддитивности), распределяется только между теми, кто его обеспечил. С другой стороны, все болваны получают только то, что они выиграли бы в одиночку или в составе коалиции.

Формально эти условия выражаеюся в том, что å Ф_i(v) = v (N), iÎN, и Ф_j(v) = v(j), jÎ I\N.

Аксиома симметрии: игроки, входящие в игру симметрично, должны получать одинаковый доход. Здесь симметричность понимается как одинаковое влияние на характеристическую функцию. Это утверждение равносильно тому, что доход игрока не зависит от его номера или "имени".

Формально Ф_j(v) = Ф_pj(v), где p - целое положительное число.

Аксиома агрегации: если игрок принимает участие в двух играх с характеристическими функциями v’ и v”, то причитающаяся ему доля:

Ф(v’ + v”) = Ф(v’) + Ф(v”), если множества игроков в обоих играх совпадают.

Совокупность аксиом является непротиворечивой и полной: для всякой характеристической функции v вектор Ф(v) существует и является единственным (вектор Шепли). Непротиворечивость обеспечивает существование, а полнота его единственность.

Теорема. Для любой характеристической функции v над I={1,2,...n} компоненты вектора Шепли определяются по формуле

Пример. Для кооперативной игры трех лиц в 0-1 редуцированной форме эта формула имеет вид: Ф_i(v) = 1/6 (2 - 2C_i + C_j + C_f).

Следовательно, координаты вектора Шепли:

Ф₁(v) = 1/6 (2 - 2C₁ + C₂ + C₃), где C₁ = v(2,3);

Ф₂(v) = 1/6 (2 - 2C₂ + C₁ + C₃), где C₂ = v(1,3);

Ф₃(v) = 1/6 (2 - 2C₃ + C₁ + C₂), где C₃ = v(1,2).

Для того, чтобы вектор Шепли принадлежал к С-ядру необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: 4C_i + C_j + C_f £ 4 для всех i, j,f.

Примеры классических кооперативных игр.

Задача "Джаз-оркестр".

Условие. Владелец клуба в Париже обещает 1000 $ певцу (S), пианисту (P) и ударнику (D) за совместную игру в клубе. Выступление дуэта певца и пианиста он расценивает в 800 $, ударника и пианиста - в 650 $, а одного пианиста в 300 $. Другие дуэты и солисты не рассматриваются , а присутствие пианиста владелец считает обязательным.

Дуэт певец - ударник зарабатывает 500 $ за вечер в одной удобно расположеной станции метро, певец зарабатывает в среднем 200 $ за вечер в открытом кафе. Ударник один ничего не может заработать.

Стоит ли музыкантам соглашаться на приглашение владельца клуба и как поделить общий заработок ?

Решение. Обозначим S, P,D - 1 игрок, 2 игрок и 3 игрок соответственно.

Найдем 0-1 редуцированную форму исходной игры:

Коалиция	SPD	SP	SD	PD	S	P	D
v
v(0-1)		0,6	0,6	0,7

Условие эффективности дележей	Условие неэффективности (принадлежности к С-ядру)
Для редуцированной формы
x1 ³ 1 - v(2,3) = 0,3	x1 £ 0,3
x2 ³ 1 - v(1,3) = 0,4	x2 £ 0,4
x3 ³ 1 - v(1,2) = 0,4	x3 £ 0,4
Для нередуцированной формы
xS + xP £ 800 , xD ³ 200	xS + xP ³ 800, xD £ 200
xS + xD £ 500 , xP ³ 500	xS + xD ³ 500, xP £ 500
xD + xP £ 650 , xS ³ 350	xD + xP ³ 650, xS £ 350

Найдем вектор Шепли для этой игры. В нередуцированной форме n=3, коалиции могут быть из одного, двух и трех игроков.

Ф_S = (3-3)!2! (1000 -650)/ 3! + 1!1![(800 - 300) + (500 - 0)] / 3! + 2!0! 200 / 3! = 350;

Ф_P = 475;

Ф_D = 175.

Нетрудно видеть, что, Ф_S + Ф_P + Ф_D = 1000, то есть условие коллективной рациональности выполняется. С другой стороны:

Ф_S = 350 > v(S) = 200;

Ф_P = 475 > v(P) = 300;

Ф_D = 175 > v(D) = 0, то есть условия индивидуальной рациональности так же выполняются. Таким образом, в данном случае вектор Шепли является дележом, кроме того, он входит в С-ядро :

x_D = Ф_D=175 < 200, x_P = Ф_P=475 < 500, x_S = Ф_S=350 = 350 (выплата певцу оказалась максимальной).

Для 0-1 редуцированной формы:

Ф₁(v) = 1/6 (2 - 2C₁ + C₂ + C₃) = (2 - 1,4 + 1,2)/ 6 = 0,3;

Ф₂(v) = 1/6 (2 - 2C₂ + C₁ + C₃) = (2 - 1,2 + 1,3)/ 6 = 0,35;

Ф₃(v) = 1/6 (2 - 2C₃ + C₁ + C₂) = (2 - 1,2 + 1,3)/ 6 = 0,35.

Вектор Шепли Ф(v) = ( 0,3; 0,35; 0,35) входит в С-ядро игры:

4C_i + C_j + C_f = 2,8 + 0,6 + 0,6 = 4 ( £ 4), то есть условие соблюдается на границе для первого игрока. Для других двух игроков:

4C_i + C_j + C_f = 2,4 + 0,7 + 0,6 = 3,7 < 4, то есть условие вхождения в С-ядро тоже соблюдается.

Ответ. Музыкантам выгодно предложение владельца клуба, так как они заработают за этот вечер не менее, чем обычно. Общий заработок в 1000 $ они должны поделить следующим образом: певцу 350 $, пианисту 435 $, ударнику 175 $.