Показатели анализа рядов динамики

Уровни временного ряда могут изменяться в разных направлениях:

увеличиваться, уменьшаться, принимать одно и тоже значение.

При изучении динамики используются различные показатели и методы анализа: как элементарные, более простые, так и более сложные, требующие соответственно применения более сложных разделов математики.

Основной прием расчета основных показателей анализа ряда динамики- это сравнение уровней. Если сравнение производится с одним и тем же уровнем ( постоянная база сравнения ), то такие показатели называются базисными, если сравнение производится с предыдущим уровнем ( переменная база сравнения ), то такие показатели называются цепными (рис.1).

базисные				У1				цепные
			У2
			У3
			. . .
			Уn

Рис. 1. Схема сравнения уровней при расчете цепных и базисных

показателей динамики.

Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве базы сравнения. Выбор этой базы должен быть основан исторически социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень явления.

Для характеристики развития явления во времени применяются следующие показатели:

- абсолютный прирос ( D );

- темп роста ( Т_р );

- темп прироста ( Т_пр );

- абсолютное содержание одного процента прироста ( А ).

Абсолютный прирост ( D ) характеризует абсолютную скорость роста

(или снижения) и показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) сравниваемый уровень по сравнению с базисным, т.е. за тот или иной промежуток времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех. же единицах, что и урони ряда.

D ; D ,

где - сравниваемый уровень (i - хронологический или порядковый

номер в ряду );

- базисный уровень ( i-t - его номер );

- предыдущий уровень ряда динамики (частный случай базисного,

когда t=1);

t - период времени, за который делается расчет.

Цепные и базисные абсолютные приросты между собой связаны: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна соответствующему базисному приросту, т.е. общему приросту за весь период:

.

Абсолютные приросты за единицу времени (месяц, год, пятилетие и т.д.) измеряют абсолютную скорость роста (или снижения) уровня.

Более полную характеристику изменения уровней явления можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Темп роста ( Т_р ) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень увеличился по сравнению с базисным ( или какую часть его составляет ):

Темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента, но и в процентах:

Между темпами роста, выраженными в форме коэффициентов существует взаимосвязь:

3.1. произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста:

;

3.2. частное от деления последующего базисного темпа роста на

предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста:

.

Темп прироста ( Т_пр )характеризует относительную величину прироста, т.е. его величину по отношению к базисному уровню и рассчитывается как отношение абсолютного прироста за соответствующий период к базисному уровню или как разность между соответствующим темпом роста и единицей:

Выраженный в процентах темп прироста (снижения) показывает, на сколько процентов увеличился ( или уменьшился ) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%:

Абсолютное содержание 1 % прироста показывает сколько в абсолютном выражении содержит в себе каждый процент относительного прироста и рассчитывается следующим образом:

Расчет абсолютного значения одного процента прироста имеет смысл только для цепных приростов и темпов прироста. Для базисных темпов прироста этот показатель для всех лет будет одним и тем же, поскольку первоначальный уровень, к которому исчисляется темп, остается неизменным.

Рассмотрим расчет приведенных выше показателей анализа ряда динамики на конкретном примере.

Задача. Производство продукции на предприятии характеризуется следующими данными:

Годы	1994г.	1995г.	1996г.	1997г.	1998г.	1999г	2000г.	2001г.
Выпуск продукции, тонн	363,3	385,7	405,6	426,3	410,5	390,8	370,6	380,3

Для расчета цепных и базисных показателей анализа ряда динамики используются приведенные выше формулы. В качестве базы сравнения выбран уровень 1994г. Изменение выпуска продукции для каждого года (в абсолютном и относительном выражении) найдем по отношению к базисному уровню (1994г) и по сравнению с предыдущим годом. Ниже приведены расчеты показателей и для наглядности аналогичные показатели представлены в таблице.

Цепные абсолютные приросты (гр.2):

D₁₉₉₅=Y₁₉₉₅-Y₁₉₉₄=385,7-363,3=22,4 (т),

D₁₉₉₆=Y₁₉₉₆-Y₁₉₉₅=405,6-385,7=19,9 (т) и т. д.

Базисные абсолютные приросты (гр.3):

D₁₉₉₅=Y₁₉₉₅-Y₁₉₉₄=385,7-363,3=22,4 (т),

D_1995-1996=Y₁₉₉₆-Y₁₉₉₄=405,6-363,3=42,3 (т) и т. д.

Цепные темпы роста(гр.4) :

Базисные темпы роста (гр.5):

Темпы прироста цепные (гр.6):

Тпр₁₉₉₅=Тр₁₉₉₅(%) – 100%=106,2-100=6,2% и т. д.

Тпр₁₉₉₆=Тр₁₉₉₆(%) – 100%=105,2-100=5,2% и т. д.

Темпы прироста базисные (гр.7):

Тпр₁₉₉₅=Тр₁₉₉₅(%) – 100%=106,2-100=6,2% и т. д.

Тпр_1995-1996=Тр_1996-1996(%) – 100%=111,6-100=11,6% и т. д.

Абсолютное содержания 1% прироста рассчитывается по формулам:

Абсолютное содержание 1% прироста по годам равно(гр.8):

Результаты представим в таблице:

Как видно из приведенных данных, изменение по годам характеризовалось разными данными. Так, для 1995,1996,1997 и 2001 гг. наблюдался рост объемов производства, а для 1998,1999 и 2002гг. наблюдалось снижением объемов производства. В 2001г. по сравнению с 1994г., т.е. за период 1995-2001гг. (7лет) производство продукции возросло на 17 тонн или почти в 1,05 раза, т.е. на 4,7%.

3.Cредние показатели динамики

С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития. Поэтому обобщающей характеристикой развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей и измерения других задач анализа используются средние показатели временного ряда – средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.

3.1. Средний уровень в рядах динамики

Расчет среднего уровня ряда динамики зависит прежде всего от вида ряда динамики.

Уровни интервального ряда характеризуют итог какого-то процесса за определенные периоды времени. Их можно суммировать, получая итоги за более продолжительные периоды времени. В общем виде средний уровень интервального ряда динамики может быть исчислен следующим образом:

Таким образом, в наиболее общем виде средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин равен сумме уровней за весь изучаемый период, деленному на продолжительность (длину) этого периода в тех или иных единицах измерения:

,

где t – длина периода, за который делается расчет.

Таким образом, в 1994-2001 гг. (8 лет) выпуск продукции в среднем ежегодно составлял 391,7 тонн.

Сложнее обстоит дело с исчислением среднего уровня моментного ряда динамики. Уровни моментного ряда характеризуют состояние явления на определенный момент времени. Их суммирование не имеет смысла. Для таких рядов метод расчета зависит от того, насколько подробны имеющиеся у нас данные.

В зависимости от характера имеющейся информации при расчете среднего уровня в моментных рядах возможны различные случаи.

Расчет среднего уровня в моментном ряду динамики зависит от характера исходной информации:

1. Имеются полные исчерпывающие данные об изменении моментного показателя, то есть известно каким был уровень в начальный момент времени и когда он изменялся. В этом случае расчет среднего уровня производится по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где - уровень, который не изменяется в течение периода t.

Задача. На 1 января 2002г. остаток денежных средств на счете предприятия составлял 230 тыс. грн. 10 января на счет поступило 20 тыс. грн., 17 января с расчетного счета было списано 80 тыс. грн., 23 января списано 50 тыс. грн., 28 января поступило 60 тыс. грн и до конца месяца больше изменений не было. Определить средний остаток денежных средств на счете предприятия за январь.

По условию данной задачи имеются полные исчерпывающие данные об изменении моментного показателя. Для решения задачи составим таблицу:

Средний остаток денежных средств на счете предприятия в январе составил 198,7 тыс. грн.

2. Отсутствуют полные данные об изменении моментного показателя и уровни моментного ряда даны только на начало и конец периода. В этом случае расчет производится по формуле:

,

где - уровень на начало периода;

- уровень на конец периода.

Задача.Остаток денежных средств на счете предприятия на 1 января составлял 230 тыс.грн., а на конец января – 180 тыс.грн.

Определим средний размер остатка за января.

3. Отсутствуют полные данные об изменении моментного показателя, но кроме уровней на начало и конец периода, известны также уровни на некоторые промежуточные даты, промежутки времени между которыми неравные.

Общая схема исчисления среднего уровня в таких случаях заключается в следующем. Сначала рассчитываются средние уровни за промежутки времени между двумя соседними датами по формуле простой средней арифметической, как было показано в предыдущем случае:

Затем из полученных таким путем промежуточных средних уровней

вычисляется средний уровень за весь период по формуле средней арифметической взвешенной, где весами являются величины промежутков времени между датами:

– средние промежуточные уровни между каждыми двумя соседними датами, рассчитанные по формуле средней арифметической простой;

t_i – величины промежутков времени.

Задача. Имеются следующие данные о товарных запасах торговой организации, тыс. грн.:

На 1.01.01 г. – 48,8

На 1.02.01 г. – 54,3

На 1.03.01 г. – 46,7

На 1.04.01 г. – 45,5

На 1.05.01 г. – 44,6

На 1.06.01 г. – 49,0

На 1.07.01 г. – 58,4

На 1.09.01 г. - 53,4

На 1.01.02 г. – 56,2

Определим средние товарные запасы торговой организации за 2 полугодие.

Для расчета средних товарных запасов за 2 полугодие сначала рассчитаем средние промежуточные уровни:

Средние товарные запасы за 2 полугодие составят:

4. Отсутствуют полные данные об изменении моментного показателя, но кроме уровней на начало и на конец периода, известны также уровни на некоторые промежуточные даты, периоды времени между которыми равны (или примерно равны).

Средний уровень такого ряда можно вычислять и по предыдущей формуле, однако ее можно преобразовать:

В этой формуле n – число уровней (дат), а число промежутков между датами всегда на 1 меньше. Так как t₁ = t₂ =…. t_n , вынесем этот множитель в числителе за скобки, а знаменатель представим как t (n – 1). Тогда дробь сократим на t и получим:

где Y₁– уровень на начало периода, за который делается расчет;

Y_n– уровень на конец этого периода;

n– число уровней на равноотстоящие даты;

(n– 1) - число промежутков между датами, равное длине периода t.

Эту формулу называют средней хронологической.

По приведенному выше примеру применим эту формулу для расчета среднего уровня товарных запасов за 1 полугодие: