В результате вычислений получаем матрицу, где количество столбцов соответствует трем координатам X,Y,H, а количество строк равно количеству моментов времени.

3) По полученной матрице строим график функции в трехмерной системе координат.

Пример графика

Лабораторная работа №5

(литература: [1])

Тема: Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта.

При моделировании вертикальных движений сооружений по результатам измерений происходит потеря точности из-за приближённости математического описания реального континуального процесса движений дискретной моделью, ошибок измерений и ошибок округления при представлении чисел в ЭВМ.

Ошибки округления обычно оценивают, выполняя вычисления на ЭВМ по одному и тому же алгоритму с простой и двойной точностью. Когда ошибки исходных экспериментальных данных значительно превосходят ошибки округления при представлении чисел в ЭВМ, влияние последних на результаты моделирования пренебрегаемы и могут не учитываться. Приближённость математического описания реальных континуальных вертикальных движений по результатам повторных циклов наблюдений можно оценить, только изменив частоту повторных циклов, что экономически нецелесообразно и зачастую просто невозможно. Поэтому рассмотрим влияние на результаты моделирования только ошибок экспериментальных данных.

Обычно предполагают, что ошибки исходных данных распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . При этих предположениях для оценки точности можно применить метод Монте-Карло и, выполнив достаточное число опытов, оценить точность моделирования вертикальных движений сооружения. Более простой, но менее надёжный путь оценки точности состоит в применении известных методов теории ошибок. Основной недостаток в этом случае состоит в необходимости линеаризации оцениваемых функций. Чтобы избежать принятия гипотез о функции распределения ошибок и необходимости линеаризации оцениваемых функций, используем метод имитационного моделирования для оценки точности результатов моделирования, полагая, что нам известна предельная абсолютная погрешность определения исходных данных, связанная со средней квадратической погрешностью выражением .

Для этого положим, что

, (1)

где – вектор ошибок исходных данных;

– вектор ошибок результатов моделирования.

Следовательно,

, (2)

и для выполнения оценки точности результатов моделирования достаточно вычислить вектор (2). Координаты вектора зададим равным предельной погрешности исходных данных.

Задача оценки точности результатов моделирования сводится к определению предельных значений фазовых координат и . Полагая предельную погрешность исходных данных равной ±D, можно определить векторы
и значений левой и правой границ интервалов в пределах, в которых должны находиться значения исходных данных

,

. (3)

Имея значения исходных данных, можно вычислить соответствующие значения фазовых координат и и графически или аналитически определить неустойчивые состояния объекта, где реальные значения фазовых координат превосходят предельно допустимые.

Пример

По данным, полученным из натурных геодезических измерений, рассмотрим изменение пространственного состояния объекта. Всего было выполнено
6 циклов наблюдений. Результаты моделирования приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты моделирования изменения
пространственного состояния объекта

Номер цикла	Временной интервал	Нормированная фазовая координата	Нормированная фазовая координата
	0.29	0,39305	0,57108
	1.02	0,67493	0,98480
	1.26	0,73558	1,01524
	2.09	0,07532	1,02286
	2.24

Для построения графика фазовой траектории по оси абсцисс будем откладывать нормированные значения , а по оси ординат – нормированные значения .

Анализ графика фазовой траектории даёт качественное представление об изменении состояния сооружения как целого. Этот график показывает, в каких циклах преобладает поступательное или вращательное движение сооружения или наоборот, отсутствие движения объекта, т. е. его устойчивость. Фазовая траектория (рисунок 3) свидетельствует о равномерности движений объекта в период с 0-го по 2-й циклы. Прямая, соединяющая три фазовые точки (0-1-2), расположенная практически под углом 45 градусов относительно осей координат, означает синхронность поступательного и вращательного движений. Фазовые точки 2, 3, 4 расположены рядом друг с другом, что может свидетельствовать об устойчивом состоянии объекта на данный период времени. Для подтверждения этого вывода необходимо выполнить оценку точности результатов моделирования.

	– Нормированная фазовая координата – Нормированная фазовая координата

Рисунок 3 – Фазовая траектория на плоскости

Условно полагая предельную абсолютную погрешность определения исходных данных D = 0,005 м, вычислим значения – вектора ошибок результатов моделирования.

Для определения предельных значений фазовых координат и , определим векторы значений левой и правой границ интервалов, в пределах которых должны находиться значения исходных данных

м,

м. (65)

Имея значения исходных данных, можно определить соответствующие значения фазовых координат и (таблица 2).

Таблица 2 – Предельные значения фазовых координат и

Номер цикла	Временной интервал (мес)	Фазовая координата μ
µa	μa-μ	μ	μ-μb	μb
	0,29	0,39303	-0,00002	0,39305	-0,00003	0,39308
	1,02	0,67491	-0,00002	0,67493	-0,00002	0,67495
	1,26	0,73557	-0,00001	0,73558	-0,00002	0,73560
	2,09	0,75321	-0,00002	0,75323	-0,00002	0,75325
	2,24
Номер цикла	Временной интервал (мес)	Фазовая координата α
αa	αa-α	α	α-αb	αb
		0,54651	-0,02457	0,57108	-0,05303	0,62411
	0,29	0,97674	-0,00806	0,98480	-0,00811	0,99291
	1,02	1,00581	-0,00943	1,01524	-0,00604	1,02128
	1,26	1,01744	-0,00542	1,02286	-0,00551	1,02837
	2,09

Полученные результаты свидетельствуют о том, что изменение фазовых координат нельзя объяснить возможными ошибками. Следовательно, циклы
№ 2, 3, 4 – это разные состояния системы. Однако в этот период изменение фазовых координат наблюдалось с малым отклонением, т. е. состояние системы можно считать устойчивым.

Таким образом, можно сделать вывод об устойчивости и неустойчивости состояния объекта.

Задание.

Самостоятельно определить предельные состояния объекта в гильбертовом пространстве. За D принять СКО=0.040 для Х(м) и У(м), СКО=0.005 для Н(м).

Лабораторная работа №6

(литература: [1])

Тема: Оценка и анализ результатов моделирования пространственно-временного состояния объекта.

Безусловной истиной является тот факт, что получение результатов моделирования есть половина работы. Огромное значение имеет правильная, точная интерпретация результатов, что в конечном итоге и является основой для принятия решения. В представленном методе исследования состояний объектов в фазовом пространстве результатом моделирования является фазовая траектория, которая представляет собой функцию отклика системы на входные данные (внешнее воздействие). Корректная расшифровка этой функции дает следующую информацию:

- есть или нет движение объекта, т. е. устойчиво ли его состояние;

- в какие моменты времени наблюдается выход за допустимые границы устойчивого состояния;

- одновременно отображаются такие характеристики, как вертикальные движения, крены и кручения;

- определяются границы блоков (подсистем) объекта, и дается анализ движения этих блоков по отношению друг к другу (вид движения каждого из них, направление движения, скорость);

- имеется возможность прогнозировать будущее состояние объекта по всем перечисленным параметрам.

Этой информации вполне достаточно для контроля состояния объекта и своевременного принятия решения. Более детальное исследование объекта возможно традиционными методами в том случае, если автоматизированная система контроля зафиксировала изменение состояния объекта и локализовала места повреждения.

Эволюционная кривая (или фазовая траектория) в фазовом пространстве имеет вид параметризованной линии, где параметр времени t исключается,
и устанавливается зависимость между фазовыми координатами M и a. В каждый момент времени t точка занимает определенное положение на линии, т. е. время t играет роль параметра, определяющего положение точки на линии.

Параметром может являться не только время. Выбор параметра зависит, прежде всего, от целей моделирования эволюции объекта. Допустим, необходимо определить изменение состояния атмосферы с ростом высоты V. В этом случае модель изменения состояния объекта определяется вектор-функцией от V:

, (1)

где свойствами, характеризующими состояние атмосферы, являются:
T – температура; Р – давление; R – точка росы; Е – влажность; В – ветер.

Изменение состояния атмосферы в фазовом пространстве отображается параметризованной линией, где высота V – параметр, характеризующий положение точки на линии. Свойства, характеризующие состояние объекта и принимаемые за координаты фазовой точки в фазовом пространстве, в основном имеют разную размерность как, например, в случае с атмосферой.

Математическая модель фазового пространства может быть определена системой дифференциальных уравнений:

(2)

В этой системе – фазовые координаты.

– функции перехода из одного состояния в другое, удовлетворяющие, при заданной системе начальных значений фазовых координат, условиям существования решений

. (3)

При определении состояния любого объекта сначала выявляют множество свойств объекта, которые оцениваются качественными и количественными критериями. Затем все эти свойства виртуально объединяют в единый образ и дают ответ на вопрос «хорошее» состояние или «плохое», т. е. на основании количественной информации в результате всегда получают качественную. В случае ответа «плохое состояние», необходимо выяснить, какие именно свойства влияют на общее состояние объекта, какими количественными критериями они характеризуются.

Когда речь идет о свойствах, определяемых геодезическими методами, важно оценить не само состояние объекта, а закономерности его изменения во времени и пространстве, направление движения, вид движения и т. д. Фазовая траектория в n-мерном фазовом пространстве, с условно заданной размерностью, отображает качественную картину движения объекта в пространстве.

Рассмотрим, какие характеристики движения объекта можно выявить, анализируя фазовую траекторию.

Точки фазового пространства, для которых

, (4)

изображают состояние покоя. Они могут быть изолированными или составлять некоторую область, радиус которой определяется значениями погрешностей измерений.

Имитируем реакцию модели эволюции состояний на множество входных данных Y1, Y2, ..., Ym. В качестве базы данных используем множество координат знаков геодезической системы (рисунок 1), приведенной в таблице 1.

Рисунок 1.

Имитация состояния покоя.

Пусть множество исходных данных не меняет свои значения с течением времени, т. е. объект имеет свойства абсолютно твердого тела, которое находится в состоянии покоя относительно системы отсчета (таблица 1).

Таблица 1 – Таблица высотных координат Н(м) геодезических точек объекта
в состоянии покоя

Номер цикла	Р1	Н2	Н3	Н4	Н5
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412

Эволюция состояний системы определяется фазовыми координатами . Определив по данным таблицы вектор-функцию (таблица 2), построим график фазовой траектории (рисунок 1 а) и графики фазовых координат (рисунок 1 б, в), характеризующие эволюцию состояний объекта.

Как видно из графика (рисунка 1 а), состояние покоя отображается точкой. Состояние покоя на графиках фазовых координат, где в качестве одной из координатных осей выступает параметр t, отображается прямой линией, параллельной оси Ot.

Таблица 2 – Значения фазовых координат M(t) и a(t)

Номер цикла	M(t)	a(t)
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468

а)

б)

в)

Рисунок 1 – Моделирование состояния покоя

а) – график фазовой траектории;

б) – график фазовой координаты М(t);

в) – график фазовой координаты a(t).

Замкнутые фазовые траектории, для которых

, (5)

изображают периодические изменения состояний с периодом и могут быть изолированными или занимать некоторую область. Особые точки и замкнутые траектории бывают устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от того, служат они элементами притяжения или отталкивания для окрестных траекторий.