Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной

Вологодский государственный технический университет

(Череповецкий филиал)

Кафедра социально-гуманитарных и естественно-научных дисциплин

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

По подготовке к контрольной работе

Для студентов очной и заочной формы обучения

(по сокращенным программам)

I часть

Специальность 151001 (120100) – Технология машиностроения

Череповец

УДК

Математика: Учебно-методическое пособие по подготовке к контрольной работе для студентов очной и заочной формы обучения (по сокращенным программам) I часть. – Череповец: ВоГТУ, 2007. – 87 с.

Учебно-методическое пособие содержит краткую теорию по определенным разделам математики, пример решения варианта контрольной работы, задачи для контрольных заданий, список литературы.

Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения по сокращенным программам специальности 151001 (120100) – Технология машиностроения.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель Русина Л.Г., кандидат технических наук, доцент кафедры СГиЕНД

Рецензент Толстиков А.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии ЧГУ.

Содержание

Глава I. Элементы линейной алгебры.. 4

§ 1. Матрицы и действия с ними. 4

§ 2. Определители и их вычисление. 5

§ 3. Решение систем линейных уравнений. 6

Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 8

§ 1. Векторы. Основные понятия. 8

§ 2. Скалярное произведение векторов. 9

§ 3. Векторное произведение векторов. 10

§ 4. Смешанное произведение векторов. 11

§ 5. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. 11

§ 6. Аналитическая геометрия в пространстве. 13

п.1 Плоскость. 13

п.2 Прямая в пространстве. 14

Глава III. Элементы математического анализа. 15

§ 1. Кванторы.. 15

§ 2. Определение функций. 15

§ 3. Предел функции Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , непрерывность, точки разрыва. 16

§ 4. Производная функции одной переменной. 20

§ 5. План полного исследования функции. 22

§ 6. Частные производные функции нескольких переменных.Производная сложной функции нескольких переменных 24

§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции. 26

§ 8. Неопределенный интеграл. 27

§ 9. Определенный интеграл. 31

§ 10. Приложения определенных интегралов. 32

Глава IV. Пример решения варианта контрольной работы.. 34

Глава V. Задачи для контрольных заданий. 54


Введение

Одной из важнейших задач учебного процесса высшего учебного заведения является развитие у обучаемых навыков самостоятельной работы по нахождению, изучению и по применению научно-технической информации.

Настоящее пособие предназначено для студентов инженерных специальностей очной и заочной формы обучения. Оно составлено в соответствии с программой по математике для факультета «Технология машиностроения».

Пособие служит руководством для студентов при самостоятельном выполнении контрольных заданий, запланированных в I учебном семестре. Пособие начинается с краткого теоретического материала по разделам математики:

«Элементы линейной алгебры»,

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»,

«Элементы математического анализа».

Затем приводится конкретный пример решения варианта контрольной работы и предлагаются задачи для контрольных заданий.

Глава I. Элементы линейной алгебры

§ 1. Матрицы и действия с ними

Определение.Матрицей размерности Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru называют прямоугольную таблицу чисел:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

где Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru –элементы матрицы,

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – номер строки, Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru –номер столбца, Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Если Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , то матрицу называют квадратной n-го порядка.

Определение. Матрицу n-го порядка, в которой

Называют единичной.

Например, единичная матрица 4-го порядка:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной.

Например, если Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , то Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

1. Любую матрицу можно умножить на любое действительное число Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru : Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

2. Матрицы одной и той же размерности можно складывать (вычитать):

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

3. Матрицу А можно умножать на матрицу В только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

причем элементы матрицы С находятся по правилу:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

то есть элементы i–ой строки матрицы А умножаются на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В и полученные произведения складываются.

§ 2. Определители и их вычисление.

Каждой квадратной матрице по определенному правилу ставится в соответствие число, называемое определителем.

1.Правило вычисления определителя 2-го порядка:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

2.Правило вычисления определителя 3-го порядка – правило треугольников:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Правило разложения определителя по элементам 1-й строки:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , где алгебраические дополнения Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , а минор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – определитель, получающийся из данного путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Таким образом,

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Аналогично определитель можно раскладывать по элементам любой строки или столбца.

3.Правило вычисления определителя n–го порядка. Определители n–го порядка вычисляются также разложением по элементам любой строки или столбца.

Таким образом,

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – разложение определителя по элементам i–ой строки

или

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – разложение определителя по элементам j–го столбца

§ 3. Решение систем линейных уравнений

1. Формулы Крамера для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

где

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

2. Метод Гаусса.

Сущность метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных, данная система преобразуется в систему ей эквивалентную. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы:

а) перестановок двух любых уравнений;

б) умножений обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Заметим, что удобно работать не с самими уравнениями системы, а с ее расширенной матрицей.

Пример.

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Переставим местами два первых уравнения

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Составим расширенную матрицу системы

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой.

Первую строку умножим на «–1» и сложим с третьей строкой.

Получаем матрицу:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Вторую строку умножим на «–1» и сложим с третьей:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Этой матрице соответствует система уравнений:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

§ 1. Векторы. Основные понятия

 
  Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Вектор – направленный отрезок (рис.1).

Рис. 1 Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Если точка Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – начало вектора, точка Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – конец вектора, то координаты вектора Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Вектор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru записывают также через единичные Рис. 1

векторы осей Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru : Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (на плоскости) (рис. 2), Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (в пространстве).

Пусть Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , тогда

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru . (1)

Расстояние между точками Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru и Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru :

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (2)

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (2')

Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (3)

Длина вектора Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru : Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (4)

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (4')

§ 2. Скалярное произведение векторов

Определение. Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru . (5)

Если Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , то

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (6)

Из формулы (5) имеем угол между векторами Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru и Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru :

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (7)

Проекция вектора Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru на вектор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Физический смысл скалярного произведения

Пусть материальная точка Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru движется по прямой от точки Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru до точки Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , проходя при этом путь Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Допустим, что на точку Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru действует сила Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , постоянная по величине и направлению и составляющая с направлением перемещения точки угол Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Из физики известно, что работа Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , совершаемая при этом силой Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru на участке Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru равна Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , где Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , или Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Свойства:

1) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

2) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

3) если Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , то Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Замечание:

а) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru || Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru или Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

б) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru или Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

§ 3. Векторное произведение векторов

Определение. Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – вектор, удовлетворяющий трем условиям:

1) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

2) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

3) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru образуют правую тройку, то есть, если смотреть из конца Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , то кратчайший поворот от Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru к Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru виден против часовой стрелки (рис. 3).

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru Замечание: Если вектор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru изображает силу, приложенную к точке А, а вектор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru направлен из некоторой точки О в точку А, то вектор Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru представляет собой момент силы Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru относительно точки О: Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (8)

Свойства:

1) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

2) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , если Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , либо Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru , либо Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru || Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

3) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru ,

4) Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Если известны координаты векторов, то

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (9)

Площадь параллелограмма, построенного на векторах Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru и Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru :

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru – площадь треугольника (10)

§ 4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru называют число, равное Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru . Обозначают также Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru .

Если известны координаты векторов, то

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru

Объем пирамиды равен Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной - student2.ru (11)

Наши рекомендации