Перетин геометричних тіл прямою лінією

Умова. Визначити точки перетину прямої лінії з поверхнею тіла (рис. 18, табл.6).

Таблиця 6

Кут №
α0
β0

Для побудови точок перетину прямої з поверхнею тіла, як правило, через цю пряму проводять допоміжну площину, що перетинає поверхню по "зручним" лініям. Перетин заданої прямої з лінією перетину поверхні тіла і допоміжною площиною визначить шукані точки входу і виходу.

Отже, щоб визначити точки перетину прямої з поверхнею тіла, необхідно:

-через пряму провести допоміжну площину;

-побудувати лінію перетину цієї площини з поверхнею тіла;

-визначити точки перетину заданої прямої з поверхнею тіла (як точки перетину з отриманою лінією перетину).

Цей план рішення задачі залишається в більшості випадків незмінним, а в кожному конкретному випадку варто раціонально вибирати допоміжну площину.

Приклад 1. Визначити точки перетину (точки входу і виходу) прямої L з поверхні похилої призми АВС (рис. 19).

Рішення. Проводимо через пряму допоміжну фронтально-проектуючу площину Т(f-їїфронтальний слід).

Точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂. є фронтальні проекції точок перетину відповідних ребер допоміжною площиною Т. Горизонтальні проекції цих точок (точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂)знаходимо по лініях зв'язку.

Чотирикутник 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, являє собою горизонтальну проекцію лінії перетину поверхні призми з допоміжною площиною Т. Точки N₁і М₁- горизонтальні проекції шуканих точок перетину поверхні призми з прямою L(проекції точок виходу і входу). Фронтальні проекції цих точок визначимо на фронтальній проекції прямої L. по лініях зв'язку. "Видимість" на кресленні можна встановити способом конкуруючих точок.

У точці 1₂ =5₂збігаються фронтальні проекції двох точок: точки 5, що належн прямій L, і точки 1, що належить ребру А призми. При переміщенні по лінії зв'язку униз від цієї точки послідовно на площині П₁, знаходимо проекції точок ребра і прямої.

Отже, точка 1ребра розміщена ближче до площини Л₂ніж точка 5 прямої, тому пряма в цьому місці (якщо дивитися на площину П₂)перекриває ребро, у результаті чого відрізі прямої до точки N входу буде видимий на фронтальній проекції. Аналогічно можна установити "видимість" в інших місцях креслення.

Приклад 2. Визначити точки перетину прямої з поверхнею прямого кругового конусу, (рис. 20).

Рішення. Як і в попередньому прикладі, можна через пряму провести допоміжнуфронтально-проектуючу площину. Однак побудова лінії перетину цієї площини з поверхнею конуса (еліпс) досить трудомістка і не забезпечує високої точності рішення. Допоміжну площину у даному випадку доцільно провести так, щоб вона перетнула поверхню конуса п прямим лініям (твірним конуса)

Спочатку проведемо допоміжну пряму через вершину конуса і яку-небудь точку прямої L. наприклад точку А. Тоді допоміжна пряма (відрізок SА) і задана пряма L (дві прямі, що перетинаються) визначать допоміжнуплощину, що проходить через задану пряму і січну поверхню конуса по прямолінійним твірним.

Для визначення цих твірних знаходимо горизонтальний слід прямої L(точка М = М₁) і допоміжної прямої SА (точка N = N₁).

З'єднавши точки МіNпрямої одержимо горизонтальний слід допоміжної площини (відрізок МN).Точки перетину цього сліду з окружністю основи конуса (точки С і D) належать як допоміжній площині, так і бічній поверхні конуса (те ж можна сказати і про вершину конуса - точку S). Точки Sі С, Sі Dпопарно визначають дві твірні, по яких допоміжна площина перетинає бічну поверхню конуса. Перетин горизонтальної проекції яка утворює SС (С₁S₁) і горизонтальної проекції прямої L (L₁) визначає горизонтальну проекцію однієї з точок перетину прямої Lз поверхнею конуса (точка К₁). Горизонтальну проекцію другої точки (точку К₁) визначаємо на перетині L, горизонтальної проекції утворюючої SD фронтальні проекції цих точок знаходимо за допомогою ліній зв'язку на фронтальній проекції прямої L.

Контрольні питання

1) Складіть план рішення розглянутої задачі.

2) Як варто вибирати допоміжну площину?

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20