Лекция. Қазіргі заман мектеп математикасы мен математикалық ғылым

Пәннің мақсаты болашақ мектеп мұғалімдері – студенттердің негізгі математикалық курстар бойынша алған білімдерін жалпылап, мектеп математикасының қазіргі замандағы концепциялары, фәлсафалық мәселелері жөнінде мағлұмат беру; білім, білік және дағдыларына қойылатын талаптарды білу, меңгеру және оны үздіксіз тексеру; студенттерді Қазақстанда өтіп жатқан білім беру саласындағы реформаларға сәйкес мәселелерді зерттеуге машықтандыру және мектеп оқушыларын есеп шығаруға үйретудің жолдары жөнінде соңғы әдістемелік ұғымдарын, жалпы мәдени құзіреттерін қалыптастыруболып табылады.

1 бөлім. Қазіргі заман мектеп математикасының қағидалары мен категориялары

Қазіргі заман мектеп математикасының фәлсәфалық, тарихи, педагогикалық-психологиялық мәселелері

1.1.Қазіргі заман мектеп математикасы мен математикалық ғылым.

Жалпы сипаттама Қазіргі заман мектеп математикасының басты мәселесі.

Қазіргі заман мектеп математикасының категориялары мен қағидаларының жүйесі.

Қазіргі заман математикасы мен математикалық ғылым.

Қазіргі заман математикасыдеп 19 ғасырдың екінші жартысынан бастап осы күнге дейінгі уақыт аралығындағы даму кезеңі үстіндегі математиканы айтады.

Қазіргі заман математикасы ғылымдардың тілі болып табылады.

Математика (mathēmatikě) – грек тіліндегі mathēma – ғылым деген сөзден шыққан, «нақты дүниенің кеңістіктік формалары мен сандық қатынастары оқылатын (Ф.Энгельс) ғылым.

17 ғасырға дейін негізінде сандар, тұрақты шамалар мен қарапайым фигуралар жөніндегі ғылым болды. Онда оқылатын шамалар (ұзындықтар, аудандар, көлемдер т.б.) тұрақты шамалар ретінде қарастырылып келді. Осы кезеңде арифметика, геометрия, кейінірек алгебра мен тригонометрия және математикалық талдаудың жеке әдістері пайда болды. Математика есеп-қисап, сауда, жер өлшеу жұмыстары, астрономия, сәулет өнерінде т.б. жұмыстарда қолданылды. 17 және 18 ғасырларда жаратылыстану ғылымдары мен техниканың (теңізде жүзу, астрономия, баллистика, гидравлика т.б.) қатты қарқынмен дамуы математикаға қозғалыс пен өлшеу идеяларының, әсіресе айнымалы шамалар мен функционалдық тәуелділік және олардың арасындағы байланыс формаларының енуіне әкелді. Бұл өз кезегінде аналитикалық геометрияның, дифференциал және интеграл есептеулердің пайда болуына әсер етті. 18 ғасырда дифференциал теңдеулер теориясы, дифференциал геометрия пайда болып дами бастады. 19-20 ғасырларда математика абстракцияның жаңа сатысына көтерілді. Кәдімгі шамалар мен сандар қазіргі заман алгебрасының жеке мәселері ғана болып қалды. Геометрия, Н.И.Лобачевскийдің идеясымен, евклидтік кеңістік тек геометрияның жеке тармағы ғана болып табылатын «кеңістікті» зерттеуге көшеді. Математиканың теориялық зерттеулерінің қорытындыларын практикада қолдану – қойылған сұраққа жауапты сандық формада алуды талап етеді. Осыған байланысты 19-20 ғасырларда математиканың сандық әдістері оның жеке өзіндік саласы – Есептеу математикасы болып бөлініп шықты. Бірқатар қиын және көп есептеулерді талап ететін есептерді қарапайым түрге келтіру және шешуін жылдамдатуға ұмтылыс есептегіш машиналардың шығуына әсер етті. Математиканың өзінің дамуының талаптары, ғылымның әртүрлі салаларының «математизациялануы», практикалық қолданыстың көптеген сфераларына математикалық әдістердің енуі, есептеу техникасының тез қарқынмен дамуы бірқатар жаңа математикалық пәндердің пайда болуына әкелді. Мысалы: ойындар теориясы, ақпараттар теориясы, дискреттік математика, тиімді басқару теориясы, графалар теориясы (математиканың бөлімі, оның ерекшелігі – нысандарды зерттеуге геометриялық тұрғыдан келетіндігі; графалар теориясының негізгі ұғымы – төбелер (нүктелер) жиыны және кейбір төбелерді қос-қостан қосатын қабырғалар (байланыстар) арқылы беріледі).

Қазіргі заман математикасының категориялары мен принциперінің жүйесі.

Категориялар (katēgoria деген грек сөзінен шығып, пікір; белгі дегенді білдіретін философиялық термин) – нақты дүние мен таным құбылыстарының мәні бар ортақ қаситеттері мен қатынастарын бейнелейтін ең жалпы және фундаментальдік (түбтік, негізгі) ұғымдар.

Категориялар таным мен қоғамдық практиканың тарихи дамуын жалпылау нәтижесі ретінде пайда болды. Диалектиканың негізгі категориялары: материя, қозғалыс, кеңістік пен уақыт, сапа, саны, қайшылық, себептілік, қажеттілік пен кездейсоқтылық, құрамы мен формасы, мүмкіндік пен нақтылық, мәнділік пен құбылыс т.б.

Қосарланған категориялар: қажеттілік және кездейсоқтық, себеп пен салдар, мүмкіндік пен шындық, форма мен мазмұн – диалектиканың қосымша заңдары болып табылады.

Қазіргі заман математикасының категориялары (негізгі ұғымдары): сан, форма, кеңістік пен уақыт, тұрақты шамалар мен айнымалылар, өлшемдер мен қатынастар, сәйкестіліктер, абстракциялық т.б.

Фәлсафаның үш әмбебап заңдары: бірлік және қарама-қарсылықтарды болдармау заңы (неге дамиды? бастауы қайда?), сандық өзгерістердің сапалық өзгерістерге өту заңы (қалай?) және қарама-қарсылықты теріске шығару заңы (даму бағыты? Қайда әкеледі?)– дамуды суреттейді.

Қағидалар (principius – бастау, негіз деген латын сөзінен) – 1) қандай да бір теорияның, оқудың, ғылымның, дүниетанымның, саяси ұйымның негізгі, бұрынғы қалпы (бастауы), 2) адамның нақты дүниеге қатынасын, тәртібінің нормалары мен қатынасын анықтайтын ішкі сенімі, 3) қандай да бір қондырғының, машинаның құрылысының немесе әрекетінің негізі.

Қазіргі заман математикасының қағидалары фәлсафа мен адамның дүниемен практикалық қатынасының прициптеріне (дамыту принципі, жалпы байланыс принципі, тарихилық принципі, себеп-салдар принципі, жүйелілік принципі) сүйене отырып, дүниеге көзқарас, методологиялық және танымдық функцияларын орындайды.

Диалектика– дамудың жалпы теориясы, – (грек. dialektikế (téchē) – әңгіме, талас жүргізу өнері) – нақты дүниенің құбылыстарын дамуын олардың дамунда, өзіндік даму барысында танудың теориясы мен әдісі, әрі табиғаттың, қоғам мен ойлаудың ең жалпы заңдары жөніндегі ғылым.

Метафизика–диалектикаға қарсы метафизика болып табылады. Оның метафизика деп аталу себебі, ол Аристотелден қалған мұрада физикадан кейін баяндалатындығына байланысты.

Софистика– (софизм грек тілінде sophisma – қақпан, өтірік, басқатыру дегенді білдіреді) – қорытындының негізі сағым, логикалық және семантикалық (тілдік мазмұнынан, яғни мәнінен) талдаудың жеткіліксіздігінен пайда болатын, таза субьективті әсерден туатын, жорамал дәлелдеуді пайдаланатын философиялық зерттеу әдістерінің бірі.

Математикада қолданылатын софизмдер қатені дұрыс түсінуге, есептер шығаруда сондай қателер жібермеуге үйретеді. Осыған мысал келтірейік

1. Есеп. «5 = 1»софизмін дәлелдеуге тырысып, 5 пен 1-ден бөлек-бөлек бірдей сан 3-ті шегереміз. Теңдеудің екі жағында шыққан 2 және - 2 сандарын квадраттасақ, екеуінен де 4 деген бірдей сан аламыз.

Ендеше алдыңғы алынған сандар 1 мен 5 тең болуы керек. Қате қайдан кетті?

Шешуі: Квадраттардың теңдігінен сол сандардың өздерінің теңдігі шықпайды.

2. Есеп. софизмін дәлелдеп, қатесін табыңыз

Шешуі: сандық тепе-теңдікті қарастырайық. Оң жағындағы және сол жағындағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: . Осы теңдеудің екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішке бөлсек: 5 = 6. Қате қайда? Жауабы: -ге бөлуге болмайды

Эклектика – (грек тіліндегі eklektikós – таңдаушы деген сөзден шыққан) әрқилы, кейде тіпті қарама-қарсы принциптерді, көзқарастарды, теорияларды, көркем элементтерді т.б. механикалық байланыстыру (сәулет өнері мен көркем шығармаларда тарихи стилдерді пайдалану.

Диалектика, софистика, эклектика, метафизика философияның зерттеу әдістері болып табылады.