Развитие комбинаторных возможностей интеллекта учащихся

В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе математики.

Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение простейших задач пересчета, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо, выполнение классификации, сортировки, систематизации. Можно выделить следующие типы заданий: подсчёты (задачи, в которых нужно что-либо сосчитать), комбинаторный анализ (все задачи по комбинаторике), анализ дискретных данных (эти задания призваны научить учащихся рациональным способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности данных).

Я остановлюсь на двух чертах комбинаторного стиля мышления: способности представлять явления в разных комбинациях, целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.

В ряде исследований психологов и методистов показано, что изучение элементов комбинаторики вполне можно ввести и в начальное обучение. Это не требует никаких дополнительных знаний у детей младшего школьного возраста, кроме хороших навыков счета.

Развитие комбинаторного стиля мышления необходимо начинать с рассмотрения задач существования и построения конфигураций (в пер. с латинского расположений) с какими-либо интересными свойствами. Например, задачи на построение магических и латинских квадратов, на применение ортогональных латинских квадратов, конечные геометрии.

Начиная с 5 класса целесообразно проводить исследовательскую работу. Это позволит показать учащимся роль индукции, наблюдения, эксперимента и даст возможность наряду с навыками логического рассуждения прививать учащимся навыки эвристического мышления, указать им пути к математическому творчеству. Учащиеся должны овладеть некоторыми приемами мышления при решении задач, накапливать различные математические факты, по возможности запоминать их, делать обобщения.

Рассмотрим выше сказанное на примере решения следующей задачи на существование и построение конфигураций. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не принадлежат одной прямой).

В средних классах в деятельность учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой форме. Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, управляемых учителем, их самостоятельной познавательной деятельности, необходимо организовать эти поиски.

Дети, никогда ранее не встречавшиеся с подобными задачами, не знают, с чего начать решение, и задача учителя — указать, в каком направлении следует им работать. Учителю необходимо задать такие вопросы, чтобы все учащиеся вынуждены были принимать участие в поисках идеи решения. Ход мысли учащихся (с помощью вопросов учителя) может быть, например, таким: «Если на каждом отрезке расположить по 4 точки, то на 5 отрезках должно быть 20 точек (4 • 5 = 20). Нам же, согласно условию задачи, требуется расположить 10 точек. Куда девать «лишние» 10 точек?»

Наиболее сообразительные ученики догадаются, что 10 точек должны быть точками пересечения данных отрезков. Чтобы идею поиска решения поняли все учащиеся, целесообразно вместе с ними провести небольшое исследование: предложить им серию вспомогательных задач (еще лучше побудить учащихся к тому, чтобы вспомогательные задачи они подобрали сами), а затем обобщить идею решения.

№1. Какое число точек можно расположить на двух отрезках, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Найти правильное решение сможет каждый учащийся (8 точек, если отрезки не пересекаются, и 7 точек, если отрезки пересекаются).

№2. Какое число точек можно расположить на трех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Возможны несколько случаев:

1) Отрезки не пересекаются. Тогда на трех отрезках можно расположить 12 точек (4•3=12).

2) Отрезки имеют одну точку пересечения, тогда возможны варианты:

а) пересекаются только два отрезка, можно расположить 11 точек;

б) все три отрезка пересекаются в одной точке, можно расположить 10 точек.

3)Отрезки имеют две точки пересечения. В этом случае количество точек, удовлетворяющих условию задачи, 10.

4) Отрезки имеют три точки пересечения. В этом случае имеем 9 точек, удовлетворяющих условию задачи.

Учащиеся, рассмотрев все возможные случаи, должны заметить следующую закономерность: чтобы уменьшить количество точек, принадлежащих всем отрезкам, необходимо или увеличить число точек пересечения отрезков, или увеличить число отрезков, пересекающихся в одной точке. Минимальное число точек, принадлежащих одновременно трем отрезкам - 9, получаем в том случае, когда отрезки имеют три точки пересечения.

Тем учащимся, у которых в результате решения задачи появился вкус к исследовательской работе (для учащихся 5 класса приведенное выше решение — действительно исследовательская работа), учитель может предложить более сложную задачу (еще лучше, если такую задачу предложат сами учащиеся).

№ 3. Какое число точек можно расположить на четырех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

В результате решения задач 2 и 3 учащиеся устанавливают закономерность: чтобы число точек, удовлетворяющих условию задачи (на каждом отрезке — 4 точки), было наименьшим, необходимо, чтобы число точек пересечения отрезков было наибольшим.

Теперь, после проведения небольшого исследования, учащиеся должны понять не только идею решения, но и как возникла сама задача (очевидно, автор задачи имел в виду минимальное число точек, принадлежащих всем отрезкам). В результате такой систематической работы учащиеся сами смогут составить или хотя бы понять, как можно составить ту или иную задачу. Конструирование задач — один из верных способов научиться решать задачи.

Вернемся теперь к решению исходной задачи. Подсчет показывает, что отрезки должны иметь 10 точек пересечения (4•5—10=10). Следовательно, задача свелась к следующей: «Расположить 5 отрезков так, чтобы они имели 10 точек пересечения». Небольшой опыт, приобретенный учащимися в решении вспомогательных задач, поможет им легко найти решение.

Я рассмотрела пример организации процесса развития одной из черт комбинаторного стиля мышления учащихся, а именно, способности представлять явления в разных комбинациях.

В курсе геометрии такого вида навыки будут востребованы. Поскольку, формулировки задач на построение не содержат указания на то, что рассматриваемая конфигурация существует, поэтому необходимо исследование.

Другой характерной чертой комбинаторного стиля мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.

Для формирования у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа конфигураций того или иного вида в 5-6 классах необходимо решать комбинаторные задачи на перечисление. Эти задачи тесно связаны с теорией вероятностей. Для их решения разработано немало общих приемов.

Однако в 5-6 классах они решаются перебором возможных вариантов, осуще­ствляемых путем предметной деятельности с кон­кретными вещами, постепенно осуществляется переход к ис­пользованию других способов перебора: дерева воз­можных вариантов, таблиц, совокупности точек и от­резков и т.п. Потом применяется кодирование предметов с помощью букв или чисел, так как растет уровень абстрактного мыш­ления учащихся. Разумеется, всегда надо следить за взаимно однозначным соответствием между объектами и кодами. Только в этом случае подсчет числа объектов можно заменить подсчетом числа кодов.

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,5? Чтобы ответить на этот вопрос учащиеся приступают к моделированию вариантов с помощью вспомогательного материала (карточек с цифрами 0,1,2,5). Готовые наборы выкладываются на парте. По окончании работы совместно обсуждаем результат, ребята осуществляют взаимопроверку.

Следующий этап – моделирование с помощью дерева.

Рассмотрим использование таблицы. На первом месте в числе может стоять любая цифра, кроме нуля, строки будут отмечены цифрами 1,2,5, значит, в этой таблице будет 3 строки. На втором месте в числе должна стоять четная цифра 0,2, значит, в таблице будет 2 столбца. Первая цифра двузначного числа равна метке строки, вторая - метке столбца. В такой таблице будут учтены все варианты двузначных чисел 2·3=6.

Существует одна особенность комбинаторики, на которую следует обращать внимание при рассмотрении задач на перечисление. В ней исключительно большую роль играет точная формулировка и точное понимание задачи. С этим связано большинство ошибок у учащихся. Поэтому одно из главных правил комбинаторики: прежде чем подсчитывать число различных вариантов, необходимо точно выяснить смысл слова «различные».

В некоторых задачниках можно встретить задачи с некорректные формулировками.

Например, сколькими способами можно распределить три конфеты между тремя девочками? В условии этой задачи имеются два источника неопределенности. Что значит «распределить»? Одинаковые конфеты или нет? Если все конфеты одинаковые и делить справедливо каждому по одной конфете, то будет 1 вариант распределения. Если конфеты одинаковые, а дележ конфет любой, то получаем 10 вариантов. При помощи кодирование найдем количество различных вариантов, если все конфеты различные. Число вариантов при кодировании превращается в число кодов. Обозначим девочек через А, В, С и пронумеруем конфеты, тогда каждый способ распределения можно представить в виде кода. Например, код ААС отвечает варианту, когда первую и вторую конфеты получит А, а последнюю С. Получаем 27 различных кодов.

Что бы избежать путаницы при решении комбинаторных задач, необходимо точно выяснить смысл слов «различные варианты».

Учащихся надо научить отличать некорректные задачи. В этом могут помочь творческие домашние задания: придумать собственные задачи и обязательно решить их (способ решения строго не оговаривается). Свобода выбора раскрепощает детей, они проявляют инициативу и решают одну и ту же задачу несколькими способами.

Задачи, составленные самими учащимися, выполняют обучающую функцию. Они предлагаются для решения одноклассникам. Уровень этих задач самый различный. Встречаются и некорректные задачи, которые требуют корректировки условия, и это хороший обучающий прием. Например, задача, составленная учеником. Семеро козлят, украденных волком, решили написать маме письмо. Сколькими способами они могут это сделать? В ходе обсуждения учащиеся доопределяют задачу: сколькими способами может быть написано письмо, если оно пишется одним козленком? Слабоуспевающие учащиеся с каждым разом предлагают все более содержательные задачи. Некоторые учащиеся придумывают в задачах «ловушки». Например, сколькими способами из пенала, в котором находятся 2 ручки, 3 карандаша, 1 стерка, можно вынуть яблоко и шоколадку?