Адача 3. Завод в среднем дает 27% продукции высшего качества и 70% первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего качества или первого сорта.
Решение:Обозначим интересующее нас событие буквой С – наудачу взятое изделие будет высшего качества или первого сорта. Рассмотрим вспомогательные события, вероятности которых заданы в условии задачи. Пусть событие А – взятое изделие высшего качества, тогда Р(А)=0,27; событие В – взятое изделие первого сорта, тогда Р(В)=0,7. Событие С=А+В, причем А и В – несовместные события. Вероятность события С можно подсчитать по формуле (3) сложения вероятностей двух несовместных событий Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Итак, Р(С)=0,27+0,7=0,97.
Задача 4. Рабочий обслуживает два станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,8, а для второго 0,7. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из двух станков не потребует внимания рабочего в течении часа.
Решение: Обозначаем интересующее нас событие, состоящее в том, что хотя бы один из станков не потребует внимания рабочего в течение часа, буквой С . Событие С означает, что либо первый станок не потребует внимания рабочего (событие А), либо второй станок не потребует внимания рабочего (событие В), возможно, что оба станка одновременно не потребуют внимания рабочего. Следовательно, событие С=А+В, причем А и В – совместные события. Для определения вероятности события С используем формулу (4) сложения вероятностей двух совместных событий: Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–- –Р(АВ). По условию Р(А)=0,8, Р(В)=0,7. Событие А и В – независимые, поэтому Р(АВ)=Р(А)Р(В) – формула вероятности произведения двух независимых событий. Таким образом, Р(С)=0,8+0,7-0,8•0,7=0,94.
Задача 5.Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту наугад 2 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса.
Решение:Введем обозначения событий: А – студент знает первый вопрос; В – студент знает второй вопрос. Вероятность того, что студент знает первый вопрос можно подсчитать используя формулу (1) классического определения вероятности события, в которой п = 25 – общее число вопросов, m=20 - число вопросов, ответы на которые студент знает. Р (А) = По той же формуле (1) можно подсчитать условную вероятность того, что студент знает ответ на второй вопрос при условии, что он ответил правильно на первый вопрос. Но n = 24, так как студент ответил на первый вопрос и он не присутствует среди предложенных; m = 19, так как на один, известный студенту вопрос, он представил правильный ответ.
P( B/A) = . Вероятность же интересующего нас события подсчитаем по формуле (5): Р(А·В) = P(A)·P(A/B). Итак, Р (АВ) = .
Задача 6. В некоторой отрасли 25% продукции производится предприятием I, 30% продукции – предприятием II, а остальная часть продукции – предприятием III. На предприятии I в брак идет 1% продукции, на предприятии II – 2% продукции, а на предприятии III – 1,5%. Найти вероятность того, что купленная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена предприятием I?
Решение: Обозначим событие: А – купленная единица продукции оказалась браком. Рассмотрим гипотезы: Н1 – изделие произведено предприятием I; Н2 – изделие произведено предприятием II, Н3 – изделие произведено предприятием III. Тогда вероятность Р (Н1) = 0,25; Р (Н2) = 0,30; Р (Н3) = 1- (0,25 + 0,30) = 0,45.Последняя вероятность подсчитана из условия: Р (Н1)+ Р (Н2)+ Р (Н3) = =1, так как Н1, Н2, Н3 образуют полную группу несовместных событий.
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р (А/Н1) = 0,01; Р (А/Н2) = 0,02; Р (А/Н3) = 0,015.Используем формулу полной вероятности: Р (А) = Р (Н1) Р (А/Н1) + Р (Н2) Р (А/Н2)+ Р (Н3) Р (А/Н3), тогда Р(А)= 0,25·0,01 + 0,30·0,02 + 0,45·0,015 = 0,01525 0,015.
Вероятность того, что купленная единица произведена предприятием I, найдем по формуле Байеса:
Р (Н1/A) = , тогда Р (Н1/A)=
Таким образом, из всех бракованных изделий отрасли в среднем 16% выпускается предприятием I.
3. Схема Бернулли повторных независимых испытаний
В.Е. Гмурман, Глава 5, § 1-3; глава 6, § 5.
Если произведена серия из п независимых испытаний, результатом каждого из которых является появление события А или противоположного ему события Ā, причем вероятность появления события А в каждом испытании одна и таже, и равна р, а Р (Ā ) = 1 –р = q, то имеет место схема Бернулли.
Формула Бернулли:
, | (8) |
где m=0,1,2,...,n определяет вероятность того, что в n испытаниях Бернулли событие А появится m раз.
Задача 7.Машина – экзаменатор содержит 10 вопросов, на каждые из которых предлагается 4 варианта ответов. Положительная оценка ставится машиной в том случае, когда экзаменующийся отвечает правильно не менее, чем на 7 вопросов. Какова вероятность ответить правильно на 5 вопросов? Какова вероятность получения положительной оценки, выбирая ответ наудачу?
Решение: Всего вопросов n=10. Вероятность ответить на вопрос правильно p= , так как на каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых один правильный. Вероятность ответить правильно на 5 вопросов из данных 10 можно подсчитать на формуле Бернулли (10), так как имеем дело со схемой Бернулли. n=10, т=5, p= , q=1–р, то есть q= ,
Р10(5)= = = ≈0,0584.
Обозначим через В событие, состоящее в получении положительной оценки, тогда В=В7+В8+В9+В10= Вi, где событие Вi – экзаменующийся ответит правильно на i вопросов. Вероятность события В.
Р(В)=Р(В7)+Р(В8)+Р(В9)+Р(В10)=С710 р7 q3+С810 р8 q2+ С910 р9 q1+ С1010 р10 q0 = ( )7( )3+ ( )8( )2+ ( )9( )1+ ( )10( )0= + + + = (4·10·34+5·34+10·3+1) ≈0,0035.
лучайные величины
В.Е. Гмурман. Глава 6, §3-5; глава 7, §1-5; глава 8, §1-8; глава 10, §1-3; глава 11, §1-5.
Определение:Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от множества случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения буквами x,y,z,…. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений, а всевозможные значения непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый интервал.
Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: ряд распределения; функция распределения; многоугольник распределения. Законы распределения непрерывной случайной величины: функция распределения F(х), плотность распределения f (х).
Некоторые часто встречающиеся формулы:
F(х)= Р (Х <х ), (9)
f (x) = F'(х) (10)
, (11)
P( α <Х < β)=F(β)-F( ) (12)
Р(α<х<β)= f (x)dx, (13)
Числовые характеристики случайной величины позволяют выразить в сжатой форме существенные особенности распределения случайной величины.
Для дискретной случайной величины (случай конечного множества значений) математическое ожидание определяется по формуле:
М(х)=х1 р1 +х2 р2 + ……+хn pn , (14)
дисперсия (рабочая формула)
D(x)=M(x2)- (15)
среднее квадратическое отклонение
σ(Х)= . (16)
Для непрерывной случайной величины: математическое ожидание
М(Х)= хf(x)dx , (17)
дисперсия (рабочая формула)
D(X)= x2f(x)dx- | , (18) |
cреднее квадратическое отклонение
σ(Х)= . (19)
Задача 8. Монета брошена три раза. Составить ряд распределения вероятностей случайной величины Х – числа выпадений герба. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х).
Решение: Вероятность появления герба в каждом испытании ( бросании монеты) равна р= , следовательно, вероятность непоявления герба q можно определить по формуле q=1–р, то есть q=1– = . При трех бросаниях монеты герб может совсем не появиться, либо появиться один раз, два, либо три раза. Таким образом, возможные значения величины Х: х0=0; х1=1; х2=2; х3=3.
Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли (10) при т=0,1,2,3.
Р(Х=0)=Р3(0)=С03 р0q3=( )3= ;
Р(Х=1)=Р3(1)=С13 р1q2= ( )1( )2= ;
Р(Х=2)=Р3(2)=С23 р2q1= ( )2 = ;
Р(Х=3)=Р3(3)=С33 р3q0= ( )3= ;
pi |
xi |
1/8 |
3/8 |
Таблица 1
xi | ||||
pi |
Рис.1. Многоугольник распределения
В целях контроля вычислений сложим вероятности всех возможных значений pi= + + + =1(что и следовало ожидать).
Построим многоугольник распределения (рис.1).
Составим функцию распределения F(X):
1. <х≤0, F(x)=0,
2. 0<x≤1, F(x)= P(X=xi)=P(X=0)= ,
3. 1<x≤2, F(x)= P(X=xi)= Pi= + = ,
4. 2<x≤3, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + = ,
5. 3<x≤+∞, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + + =1.
F(x) |
Р0 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
х |
7/8 |
1/2 |
1/8 |
0при -∞<x≤0;
при 0<x≤1;
F(x)= при 1<x≤2;
при 2<x≤3;
1 при 3<x≤+∞.
Рис. 2. График функции распределения
Составленную функцию распределения изобразим графически (рис. 2).
Найдем математическое ожидание М(Х):
М(Х)= xi pi=0 +1 +2 +3 = .
Найдем математическое ожидание М(Х2):
М(Х2)= xi2 pi =02 +12 +22 +32 =3.
Найдем дисперсию Д(Х)=М(Х2) – =3 – ( )2= ,
Среднее квадратическое отклонение равно: σ(х)= = = ≈0,87.
Задача 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.
Найти: а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х окажется в пределах промежутка (0;1); б) плотность распределения вероятностей f(x), построить графики F(x), f(x); в) математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
Решение: а) Пользуясь формулой Р(α<X<β)=F(β)-F(α), найдем Р(0<X<1)= F(1)–F(0)= .
б) По формуле f(x)= F'(x) находим: .
F(x) |
x |
–1 |
P(0<x<1) |
f(x) |
–1 |
1/3 |
Рис.3. График функции F(x) Рис.4. График функции f(x)
в) Найдем математическое ожидание по формуле :
М(Х)= .М(Х)= = + + = = = = .
Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой
Д(Х)= М(Х2)- .
Вычислим М(Х2):
М(Х2)= = + + = = =
= =1.
Д(Х)= М(Х2)– =1- .
Среднее квадратическое отклонение σ(Х) вычисляем по формуле:
σ(Х)= , σ(Х)= .