Перпендикулярность прямой и плоскости
№ 5(устно).ABCDA1B1C1D1 – куб. Как построить прямую, которая проходит: 1) через точку С и перпендикулярна прямой С1D; 2) через точку С1 и перпендикулярна прямой BD? Ответы обосновать.
Ответы.
1)CD1^C1D; BC^C1D.
2) C1O^BD; C1C^BD.
№ 6.Если даны две прямые такие, что одна из них параллельна, а другая перпендикулярна к плоскости, то они перпендикулярны. Доказать.
Дано:
Доказать:
План доказательства.
1. Существует прямая
2.
3.
№ 7.Точки А и В являются проекциями точки М на плоскости граней двугранного угла. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна к его ребру.
План доказательства.
1. с ^ АМ, с ^ ВМ.
2. с ^ МАВ.
3. с ^ АВ.
№8.Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны. Доказать.
Доказательство приведено в учебниках [5, с. 36], [10, с. 29].
№ 9. Общая сторона АВ треугольников АМВ и АКВ лежит на данной плоскости. Проекции сторон АМ и АК на эту плоскость перпендикулярны АВ. Как расположены относительно друг друга АВ и плоскость МАК?
План решения.
1. Точки М1, А, К1 принадлежат
одной прямой.
2. Точки М1, М, К, К1
принадлежат одной плоскости α.
3. АВ ^ α.
4. АВ ^ МАК.
№ 10.Дан квадрат ABCD. О - точка пересечения его диагоналей, точка К не принадлежит плоскости квадрата, причём АК=ВК=СК=DК. Как расположена прямая АО относительно сторон треугольника ВКD?
План решения.
1. АО ^ BD.
2. AO ^ OK.
3. Вывод.
№ 11.Доказать, что плоскость, проходящая через высоту и апофему правильной пирамиды, перпендикулярна стороне основания.
План доказательства.
1. SK ^ AB.
2. OK ^ AB.
3. Вывод.
№ 12.Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Доказать, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.
План доказательства.
1. Пусть НК – линия пересечения
плоскостей ADМ и ВСМ. НК|| AD.
2. AD^AВM.
3. НК^AВM.
№ 13 .Дано: ABCD – трапеция, АВ=СD,
О – центр окружности, описанной вокруг трапеции,
ОЕ^АВС. АЕ=10, ОЕ=8, ÐВАD=30°.
Найти: BD.
План решения.
1. DAEO – прямоугольный.
2. АО.
2. О – центр окружности,
описанной вокруг DABD.
3. BD (по теореме синусов).
№ 14. В основании пирамиды РАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 6 см, а ребро РС перпендикулярно к основанию. Точка К лежит на боковом ребре АР и делит его в отношении 1: 2, считая от точки А. Найти расстояние от точки К до плоскости DPС.
План решения.
1.
2. HK || AD.
3. НК – искомое расстояние.
4. ~ ,
5. НК.
Ответ: 4.
№ 15.Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие её в точках Р1 и Q1 соответственно. Найти Р1Q1, если PQ=15см, PP1=21,5 см, QQ1=33,5 см.
План решения.
1. P1PQQ1 – трапеция.
2. Провести PR || P1Q1. P1Q1=PR.
3. QR.
4. PR.
5. P1Q1. Ответ: 9 см
№16.Точка М принадлежит грани ADС тетраэдра ABCD, у которого AB=BD, AC=CD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной ребру AD.
План построения.
1. Точка О: АО=OD.
2. СО ^ АD.
3. KL: MÎ KL, KL||CO.
4. OB (OB^AD).
5. KP||OB.
6. LP.
7. LKP–искомое сечение. Доказать.
№ 17.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1В1C1D1 и точка М, являющаяся внутренней точкой сечения АА1С1С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной: 1) прямой ВВ1; 2) прямой ВС.
1) План построения.
1. FL: MÎ FL, FL || AC.
2. FK ||AB. 3.KL.
4. LH || DC.
5. FH
6. FKLH – искомое сечение Доказать.
2) План построения.
1. РТ: МÎ РТ, РТ || АА1.
2. FH: ТÎ FH, FH || AB.
3. FKLH – искомое сечение. Доказать.
№ 18.Пусть АВСDA1B1C1D1 - куб. Построить сечение этого куба плоскостью, проходящей через вершину А и перпендикулярной:
1) BD.
План построения.
1. АС.
2. АА1С1С – искомое сечение. Доказать.
2) CD1.
План построения.
1. С1D.
2. AB1C1D– искомое сечение. Доказать.
3) С1D.
План построения.
1. BA1 D1C ^ C1D. Доказать.
2. APQD || BA1CD1.
3. AD – искомое сечение.
№ 19.Пусть РАВС – правильный тетраэдр, точка Q – центр его основания, точка К – середина ребра РС. Постройте его сечение плоскостью, проходящей:
1) через Q перпендикулярно АС.
План построения.
1. BQ
2. L – точка пересечения AC и BQ.
3. PLB – искомое сечение. Доказать.
2) через Q перпендикулярно РВ.
План построения.
1. LF: LF || AC, Q Î LF.
2. М – середина РВ.
3. FD || CM.
4. LDF – искомое сечение. Доказать.
3) через К перпендикулярно РС.
План построения.
1. АК.
2. КВ.
3. АКВ – искомое сечение. Доказать.
4) через К перпендикулярно АВ.
План построения.
1. CQ.
2. М – точка пересечения CQ и АВ.
3. МРС – искомое сечение. Доказать.
5) через Р перпендикулярно ВК.
План построения.
1. AO ^ CPM.
2. Прямая l : l || AO, PÎ l.
3. Плоскость a: PBÌ a и l Ì a.
4. РВ – искомое сечение. Доказать.