Дополнительный признак перпендикулярности прямых

(теорема о трёх перпендикулярах)

№ 26 (устно). К плоскости прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр СМ. Доказать, что прямая МD перпендикулярна прямой ВС.

План доказательства.

1. MD ^ AD.

2. AD || BC.

3. Вывод.

№ 27.Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 и 20. Из вершины прямого угла С проведён к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD, равный 35. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

Дополнительные построения.

1.CD ^ AB.

2. DM.

План решения

1. АВ.

2.СМ.

3. DM.

Ответ: 37.

№ 28. Стороны треугольника относятся как 10:17:21, а его площадь равна 84. Из вершины большего угла этого треугольника проведён перпендикуляр к его плоскости, равный 15. Найти расстояние от его концов до большей стороны.

Дополнительные построения.

Те же, что и задаче № 27.

План решения.

1. Стороны DАВС

(используя формулу Герона).

2. СК.

3. DK.

Ответ: 8, 17.

№ 29(устно).Из вершины А треугольника АВС проведён к его плоскости перпендикуляр AD. Из точки D опущен перпендикуляр на сторону ВС. При каких условиях этот перпендикуляр пройдёт через один из концов отрезка ВС?

Ответ: если ÐВ=90° или ÐС=90°.

№ 30.Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка К, отстоящая от сторон АВ и DC параллелограмма на расстояния, равные КМ и КЕ. Доказать, что МЕ – высота параллелограмма.

Дополнительные построения.

1. КО ^ ABCD.

2. ОЕ ^ DC.

3. КЕ – заданное расстояние.

4. Аналогично КМ – заданное расстояние.

План доказательства

1. Доказать, что точки М, О, Е лежат на одной прямой.

2. Вывод.

№ 31.Через вершину В квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр ВМ. Известно, что МВ = m, AB = n. Найти расстояние от точки М до сторон квадрата и до прямой АС.

План решения.

1. МВ – расстояние от точки М до

сторон АВ и ВС.

2. МВ = m.

3. МА – расстояние от точки М до

стороны AD.

4. МА.

5. МС – расстояние от точки М до

стороны DС.

6. МС.

7. МО – расстояние от точки М до стороны АС. 8. МО.

Ответ: МВ = т, МА = МС = , МО = .

№ 32(устно). Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой каждая боковая грань – прямоугольный треугольник?

Ответ: существует. Это пирамида в основании которой лежит прямоугольник, в частности, квадрат, и одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания (рис. 156).

№ 33.Из вершины А прямоугольника ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр АМ, конец М которого отстоит от других вершин на расстоянии 6, 7 и 9. Найти длину перпендикуляра АМ.

План решения.

1. DC.

2. AM.

Ответ: 2.

№ 34. Основанием пирамиды служит квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды, если сторона основания равна 20 см, а высота равна 21 см.

План решения.

1. Площадь DМВС и DАМВ.

2.МС.

3. Площадь DМСD и DМАD.

4. Площадь боковой поверхности

данной пирамиды.

Ответ: 1000.

№ 35. К плоскости квадрата ABCD проведён перпендикуляр ВР, равный 3 см. PD = 5см. Найти периметр треугольника АОС, где О – центр окружности, описанной около треугольника APD.

Дано:ABCD – квадрат, ВP^ABCD,

PD=5, BP=3,

О – центр oкружности, описанной около DAPD.

Найти: Р_DСОА.

План решения.

1. BD=AC. 2. Центр О – середина PD.

3. ОР. 4. ОР=ОА. 5.ОА=ОС. 6.Р_{DАОС .} Ответ: 9.

№ 36. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна к плоскости основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Построения.

1. SO^AC.

2. M – середина AB.

3. OK || CM.

План решения.

1. S_DASC. 2. SO^ABC. 3. SK – высота DASB. 4. SO. 5. OK. 6. SK.

7. S_DASB. 8. DASB=DCSB. 9. S_{боковой поверхности.}

Ответ: .

№ 37. Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со стороной а. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

План решения.

1. Построения: СЕ ^ FE, CA ^ AF (рис.162).

2. DSCD, DSEF –прямоугольные (рис. 161)

3. Площадь DSCD. 4. СЕ, SE, площадь DSEF.

5. Построения: СК^ ED, SK (рис. 163, 164).

6. CK, SK, площадь DSED. 7. DSCD=DSCB, DSFE= DSAF, DSED=DSAF.

8.Боковая поверхность пирамиды.

Ответ: .

№ 38. Существует ли четырёхугольная призма, у которой сечение, проходящее через параллельные рёбра верхнего и нижнего основания – прямоугольник?

Ответ: существует. Это прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник (квадрат). АВ₁С₁D – сечение – прямоугольник (рис. 165). Это наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольник (квадрат) и две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания (рис. 166).

№ 39. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ построить сечение, проходящее через точки А, М (А₁М=МВ₁), Р (ВР=РС). Найдите площадь сечения, если все рёбра призмы равны а.

План построения.

1. АМ.

2. АР.

3. MK || AP.

4. KP.

5.AMKP – искомое сечение.

План решения.

1. Дополнительные построения.

Проведём КО^ВС.

2. АМКР – прямоугольная трапеция.

(ÐР=ÐК=90°).

3. АР. 4. МК. 5. ОР.

6. КР. 7. S_AMKP.

Ответ:

40.Доказать, что диагональ куба и диагональ его грани, лежащие на скрещивающихся прямых, перпендикулярны.

План доказательства.

1. А₁С – наклонная,

АС – её проекция на плоскость

нижнего основания куба,

2. АС ^ BD.

3. Вывод.

4. Аналогично относительно

диагоналей А₁С и DC₁.

41.Доказать, что диагональ куба А₁С перпендикулярна плоскости ВС₁D.

План доказательства.

1. А₁С ^ BD.

2. А₁С ^ DC₁.

3. Вывод.

№ 42(устно). Доказать, что диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярна её боковому ребру (рис. 171).

№ 43(устно).Доказать, что сторона основания правильной треугольной пирамиды перпендикулярна её боковому ребру (рис. 172).

№ 44. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна а и боковое ребро равно в. Провести в этой пирамиде плоскость через середины рёбер АВ и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения.

План построения сечения.

К, Р – середины АВ и ВС.

1. КР.

2.МК ||SB.

3. PN || SB.

4. KMNP – искомое сечение. Доказать.

План решения.

1. KMNP – прямоугольник.

2. КР. 3. МК. 4. Площадь KMNP.

Ответ:

№ 45.Пусть SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, у которой боковое ребро равно диагонали основания. Через вершину основания пирамиды провести сечение, перпендикулярное противолежащему боковому ребру.

План построения.

1. Точка К: ВК = KS.

2. DK.

3. Точка Н – пересечения DK и SO.

4. MN: HÎ MN, MN || AC.

5. DMKN – искомое сечение. Доказать.

№ 46.Основанием призмы является правильный треугольник, сторона которого равна а. Каждое боковое ребро призмы равно в, угол между одним из боковых рёбер и прилежащими к нему сторонами основания равен 45°. Найти боковую поверхность призмы.

План решения.

1. А₁О^АВС, точка ОÎАР,

где АР – биссектриса ÐА.

2. АА₁^ВС.

3. ВВ₁С₁С - прямоугольник.

4. .

5. .

6. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ: