Сабақ. Жазықтықтағы фигураларды түрлендіру. Симметрия әдісі

Әдебиеттер: [4] §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).

Бұл әдіс бойынша, есепке талдау жасай отырып, бір түзуге немесе нүктеге қарағанда іздеп отырған фигурамызға симметриялы болатын басқа фигура салуға болады, сонан соң сол фигура арқылы, симметрияны қайталап, іздеп отырған фигурамызды салуға көшеді.

Симметрия әдісімен шығарылатын есептерді келтірейік.

16-есеп.а түзуінің бойынан берілген А және В нүктелерінен қашықтықтарының қосындылары ең аз болатын нүкте табу керек.

Шешуі. Талдау.А және В нүктелері берілген а түзуінің бір жағында жатады ал М-іздеп отырған нүктеміз делік. (18-сурет), яғни АМ+ВМ- қосындысының мәні ең аз болады. а тузуіне карағанда В нүктесіне симметриялы В' нүктесін салайық, сонда АМ+ВМ=AM+B´M қосындысы ең аз болатындай етіп, табуға келіп тіреледі. Ал бұл АВ' түзу кесіндісі болған жағдайда ғана болады. Өйткені, а түзуінде жатқан кез келген басқа М₀ нүктесінен А және В´ нүктелеріне дейінгі қашықтықтардың сол А және В´ нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының қосындысынан үлкен болады (үшбұрыштың қабырғаларының қасиеті бойынша АМ₀+В´М₀>АМ+В´М), олай болса, АМ₀+ВМ₀>АМ+ВМ.

A

B1

M

Ma

a

18-сурет

Салу. А және В нүктелері берілген а түзуінің бір жағында жататын болсын. а түзуіне қарағанда В нүктесімен симметриялы В' нүктесін саламыз. А және В' нүктелері арқылы түзу жүргіземіз. Сонда а түзуі мен АВ түзуінің қиылысу М нүктесі іздеп отырғанымыз.

Дәлелдеуі. Түзудің бойында жатқан М нүктесімен сәйкес келмейтін кез келген М₀ нүктесін алайық (18-суретті қараңыз). Симметрияның қасиеті бойынша МB=M В', сондықтан АМ+ВМ =АМ+M В'=А В'

А В'<АМ₀+ В´М₀ болғандықтан, АМ+ВМ> АМ₀+ВМ₀

Зерттеу. 1) Егер А және В нүктелері бірдей а түзүінің бойында жатпайтын болса, онда есептің бір ғана шешімі болады. Бұл жағдайда, егер А және В нүктелер а түзуінің екі жағында жатса, онда іздеп отырған нүктеміз М=АВ∩а болады. Егер бұл беріліп отырған екі нүктенің бірі а түзуінінде жататын болса, онда іздеп отрған М нүктеміз сол нүктемен беттесіп кетеді.

1) А және болса, онда АВ кесіндісінің кез келген нүктесі есептің шартын қанағаттандыратын болғандытан, есептің шексіз көп шешімі болады.

2) АВ кесіндісі а түзуін қиып өтеді. а түзуі АМВ бұрышын қақ бөлетіндей етіп, а түзуінің бойынан М нүктесін табу керек.

Н ұ с қ а у. Бұрыштың биссиктрисасы оның симметрия осі болады. а түзуіне қарағанда В нүктесімен симметриялы В¹ нүктесін салу керек, сонда іздеп отырған нүктеміз М=АВ¹∩а (а түзуіне қарағанда А нүктесімен симметриялы А¹ нүктесін де салуға болады) .

Егер А және В нүктелері а түзуінен әр түрлі қашықтықта жатқан болса, есептің бір ғана шешімі болады; егер - АВ┴а және а түзуі АВ нүктелерінің симметриялы болса, есептің шексіз көп шешімі болады (анықталмаған емес); егер А мен В нүктелері а түзуінен бірдей қашықтықта жатса және АВ кесіндісі а түзуіне перпендикуляр болмаса онда есептің шешімі болмайды.

А

О1

О2

О3

В

С

D

19-сурет

17-есеп.Тең емес екі шеңбер А және В нүктелерінде қиылысады. А нүктесі арқылы шеңберлерді қиып өтетін хордалары тең болатындай түзу жүргізу.

Салу.Центрі О₁ болатын шеңбер үшін оған А нүктесіне қарағанда симметриялы центрі О₃ болатын шеңбер саламыз (19-сурет). Ол шеңбер центрі О₂ болатын шеңбермен А және D нүктелерінде қиылысады. А нүктесіне қарағанда D нүктесімен симметриялы С нүктесін саламыз. Центрлері О₁ және О₂ шеңберлерінде тең СА және АD хордаларын аламыз.

Дәлелдеуі. А нүктесіне қарағандағы центрлік симметрияда центрі О₁ болатын шеңбер өзіне тең болатын центрі О₃ болатын шеңберге, А нүктесі өзіне өзі көшіріледі, С нүктесі D нүктесіне, СА кесіндісі өзіне тең АD кесіндісіне ауысады (центрлік симметрия нүктелердің ара қашықтығын сақтайды).

m

A

A1

B

C

a

b

20-сурет

18-есеп. А және В екі нүкте және оларды бөліп тұрған m түзуі берілген. А a, В b нүктелері арқылы a және b түзулерін жүргізгенде m түзуі олардың арасындағы бұрышты қақ бөлетіндей етіп салу.

Салу.m түзуіне қарағанда А нүктесімен симметриялы А₁ нүктесін саламыз (20-сурет). Одан кейін А₁ және В нүктелері арқылы m түзуімен С нүктесінде қиылысқанға дейін b түзуін жүргіземіз. А және С нүктелері арқылы a түзуін жүргіземіз. a және b түзулері ізделінді болады.

Дәлелдеу.m түзуіне қарағандағы өстік симметрияда А нүктесі А₁ нүктесіне, С нүктесі өзіне-өзі ауысады, АС түзуі (a АС, А a) өтеді А₁С (b А₁С, В b) түзуіне, a және m түзулерінің арасындағы бұрыш өзіне тең b және m түзулерінің арасындағы бұрышқа симметриялы.

19-есеп.а мен в қабырғалары және В мен А бұрыштарының =а айырмасы бойынша үшбұрыш салу керек.

Шешуі.Талдау.АВС үшбұрышы салынған делік (21-сурет). Олай болса, А және В нүктелерінің l симметрия өсін салып, ВС кесіндісін l түзуімен симметриялы етіп бейнелейік. AС' = ВС = а болып шығады.

Сонда шыққан бұрыштарды қарастырсақ, , яғни = болады деген қорытындыға келеміз.

Сонымен, есеп екі қабырғасы және сол қабырғалар арасындағы бұрыштары бойынша көмекші АС'С үшбұрышын салуға келіптіреледі.

Салу. 1) АС'С үшбұрышын саламыз (а, в, бойынша).

2) С және С' нүктелерінің симметрия өсі— l түзуін жүргіземіз.

3) l түзуінен қарағанда A нүктесіне симметриялы Внүктесін табамыз.

AВС мен AВС´— іздеп отырған үшбұрыштарымыз.

Дәлелдеуі. Салу бойынша АС'С үшбұрышында АС=в, АС' = а, . Симметрияның қасиеті бойыншаВС=АС'=а, . Бұдан АВС үшбұрышында қабырғалар АС=в, ВС=а және = екендігі шығады.

АС'В үшбұрышы АСВ үшбұрышына тең.

Зерттеу. Егер b>а (үшбұрышта үлкен бұрышқа карсы үлкен қабырға жатады) және 0°< <180° болса, онда есептің бір ғана шешімі болады (тең екі үшбұрыш).

Егер болса, онда есептің шешімі болмайды.

Егер 180° болса, бұл жағдайда да есептің шешімі болмайды. Өйткені үшбұрыштың екі бұрышының айырмасы 180°-тан кіші болуы тиіс.

B

B

A

C1

C

a

a

b

b

d

21-сурет

20-есеп. Сүйір АОВ бұрышы және оның ішінен М нүктесі берілген. КLМ үшбұрышының периметрі ең аз болатындай етіп бұрыш қабырғаларының бойынан К және L нүктелерін табу керек.

Шешуі. Талдау.КLМ (22-сурет), іздеп отырған үшбұрышымыз болсын. М нүктесін АО мен BO-ға қарағанда бейнелесек М₁ және М₂ нүктелері шығады. КМ₁=КМ және LМ=LМ₂, олай болса, KLМ үшбұрышының периметрі M₁K+KL+LM₂ тең (1) болады да, үшбұрыштың минимум периметрі туралы есеп қосындының (1) минимумы жөніндегі есепке, яғни М₁ мен М₂ нүктелерінің ең кіші аралығының берілген бұрыштың қабырғаларымен қиылысқан нүктелерінде, КLМ үшбұрышының іздеп отырған К мен L нүктелерін анықтайтын түзу кесіндісін анықтауға келіп тіреледі.

A

M

B

Lo

M2

L

O1

O

K

M1

K2

S1

S2

22-сурет

Салу. 1) Берілген АОВ бұрышының ОА қабырғасына қарағанда берілген М нүктесіне симметриялы М₁нүктесін табамыз.

2) ОВ қабырғасына қарағанда М нүктесіне симметриялы М₂ нүктесін табамыз.

3) М₁ мен М₂ нүктелерін түзу кесіндісімен қосамыз;

4) М₁М₂ түзуінің ОА және ОВ қабырғаларымен қиылысқан нүктелерін (К мен L) белгілейміз. К=М₁М₂∩ОА, L=M₁ M₂∩OB)

5) КLМ үшбұрышын саламыз. KLМ — іздеп отырған үшбұрышымыз.

Дәлелдемені өз беттерінше жүргізуді ұсынамыз.

Зерттеу. Есептің әрқашан да бір шешімі болады, яғни M₁M₂ түзуі қашан да берілген бұрыштың қабырғаларын қиып өтеді. Анығында, OK₀ML₀ төрбұрышы диаметрі ОМ шеңберді іштей сызылған. К₀L₀—М₁ММ₂ үшбұрышының орта сызығы. S₁М<0₁М=ОМ:2 және К₀МL₀—доғал болғандықтан, S₂М<2·О₁М=ОМ, яғни М₁М₂ түзуі ОМ-ді қиып өтеді, олай болса, берілген бұрыштың қабырғаларын да қиып өтеді.