Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в за­висимости от числа элементов в них, то есть в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей при­роде, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное натураль­ное число есть общее свойство класса конечных равномощных мно­жеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу — только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например, множества:

—множество пальцев на руке,

— множество букв в слове «число»,

Множеств сторон в пятиугольнике. В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно

убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ни­ми. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного клас­са, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Следовательно, «пять» - это общее свой-множественный смысл натурального числа и нуля 107 ство множеств, равномощных, например, множеству пальцев на руке у человека.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномошные множества из одного класса.

Примеры: 1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором — воз­можны различные варианты выполнения задания.

Задание 64

Приведите примеры множеств, общее свойство которых есть чис­ло 4.

Число «нуль» не является натуральным. С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества. Например, множество углов у круга является пустым.

Знакомя детей с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число. Например:

— На рисунке изображены три фигуры.

— На столе лежат три яблока.

— Маша, Коля, Вася - это три имени.

— Число «три» записывают цифрой 3.

Так как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рас­сматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание - с дополнением подмножества.

Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой на­туральных чисел а и Ь называют число элементов в объединении мно­жеств А и В.

Рассмотрим пример. Пусть 2 — число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух красных яблок), 3 - число эле­ментов в множестве В (В может быть множеством из трех зеленых яблок). Множества А и В не имеют общих элементов. Тогда сумма 2+3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если найти значение выражения 2+3, то можно записать раве­нство 2+3-5.

Задание 66