Формула полной вероятности. Формула Байеса

Во многих прикладных задачах рассматриваются процессы, которые могут пойти по одному из нескольких возможных вариантов развития, т.е. процесс может «разветвляться» случайным образом.

Например, на заводе на нескольких станках обрабатываются однотипные детали, которые случайным образом попадают на станок и после обработки поступают в общий контейнер. В таких ситуациях возникают две различные постановки задачи:

· Найти вероятность изготовления бракованной детали, не зная на каком станке она обработана;

· Обнаружив бракованную деталь, попытаться оценить на каком станке она обрабатывалась.

Решение этих двух типов задач возможно с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Пусть события образуют полную группу попарно несовместных событий и соответствуют всем возможным разветвлениям процесса. Пусть событие А происходит вместе с одним из событий (событие А произошло в результате одного из n разветвлений). Значит произошло одно из несовместных событий или , или … или . Это значит, что . По теореме о сумме попарно несовместных событий имеем . По теореме о произведении двух событий получим . Эта формула называется формулой полной вероятности.

События в формуле полной вероятности называются гипотезами.

Пример:

Два станка производят детали, поступающие в общий контейнер. Вероятность получения стандартной детали на первом станке равна 0,9, а на втором 0,85. Второй станок имеет производительность в два раза больше, чем первый. Какова вероятность того, что выбранная случайным образом деталь с конвейера стандартная?

Решение:

Введем события: А – наудачу взятая деталь с конвейера – стандартная;

В₁ – взятая деталь изготовлена на 1 станке;

В₂ – взятая деталь изготовлена на втором станке.

.

Пусть i принимает значения от 1 до n, тогда т.к. , то . Подставим в эту формулу вместо P(A) выражение из формулы полной вероятности.

-

Формула Байеса.

Формула Байеса широко применяется при решении практических задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез после проведения эксперимента, т.к. позволяет найти вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А произошло.

Пример:

Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и 2 – на 15 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на поставленный перед ним вопрос. Найти вероятность того, что этот студент подготовил все вопросы.

Решение: Событие А – студент ответил на поставленный вопрос.

Гипотезы: В₁ – студент подготовил все 30 вопросов;

В₂ – студент подготовил 25 вопросов из 30;

В₃ – студент подготовил 20 вопросов из 30;

В₄ – студент подготовил 15 вопросов из 30.

Требуется найти . Воспользуемся формулой Байеса:

Упражнения

1. Выберите среди следующих событий случайные, достоверные и невозможные:

А – при нагревании проволоки ее длина увеличивается;

В – при бросании игрального кубика выпало 4 очка;

С – при температуре 30 градусов вода закипает;

D – при температуре ниже нуля вода замерзает;

E – из вашей группы выбрать 2 студентов, оказавшихся девушками.

2. Образуют ли полную группу событий следующие события (если не образуют, то какое событие нужно добавить, чтобы ответ был «да»):

а) А: «Выпадение орла при подбрасывании одной монеты»;

В: «Выпадение решки при подбрасывании одной монеты»;

б) А: «Выпадение двух орлов при подбрасывании двух монет»;

В: «Выпадение двух решек при подбрасывании двух монет»;

3. Стрелок произвел 2 выстрела по цели. Образуют ли полную группу попарно несовместных событий следующие события (если не образуют, то какое событие нужно добавить, чтобы ответ был «да»):

а) А: «Попаданий нет»; В: «Попаданий не менее одного»; С: «Ровно два попадания»;

б) А: «Попаданий не менее одного»; В:«Не менее одного промаха».

4. На конкурс красоты от Вашей группы выбирают одного претендента. Какова вероятность, что выберут Вас?

5. На карточках написаны буквы, образующие слово «комбинаторика». Наудачу извлекается 1 карточка. Какова вероятность того, что вынутая буква – гласная?

6. Студент выучил 25 вопросов к зачету из 30. какова вероятность того, что он не ответит на вопрос?

7. Баскетболист из 20 штрафных бросков в среднем забрасывает 16. Производится 1 бросок. Какова вероятность, что он промахнется (в %)?

8. В партии 1000 деталей ОТК обнаружил 20 нестандартных. Найти статистическую вероятность появления нестандартных деталей.

9. Отделом технического контроля завода установлено, что 2% изготавливаемых деталей – бракованные. Найти вероятность, что произвольно взятая с конвейера деталь окажется годной.

10. Бросают две игральные кости. Что вероятнее: выпадет сумма очков 11 или 12?

11. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

12. При стрельбе из винтовки вероятность попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

13. Вероятность для студента сдать экзамен 0,7, а вероятность сдать зачет – 0,8. Какова вероятность того, что он не сдаст ни экзамен, ни зачет?

14. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

15. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 — для смены резца; 3 — из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

16. Игральный кубик бросают 2 раза. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 12? б) сумма выпавших очков делится на 3?

17. Из колоды из 36 карт наудачу по одной вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что обе эти карты а) пиковые; б) черной масти?

18. В первой урне 5 белых, 6 зеленых и 2 красных шаров. Во второй – 3 белый, 1 зеленый и 4 красных шара. Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Найти вероятность того, что:

а) оба шара белые; б) среди выбранных нет белых шаров;

в) хотя бы один шар красный; г) один шар черный.

19. Два стрелка стреляют в одну и ту же мишень по 1 разу. Вероятности их попадания соответственно равны 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что в мишени: а) окажется ровно 2 пробоины; б) не окажется ни одной пробоины; в) окажется ровно одна пробоина.

20. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных "в одну линию" кубиков можно будет прочесть слово "спорт".

21. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках можно будет прочесть слово "трос".

22. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

23. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю и две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

24. Есть набор букв А, Б, У, К, Е. Потеряли одну букву. Из оставшихся взяли одну букву. Найти вероятность того, что это гласная буква.

25. Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен: если он заходит на экзамен первым или вторым?

26. Три охотника стреляют в кабана по 1 разу. Вероятность того, что первый охотник поразит цель равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,4. Вычислить вероятность того, что кабан будет убит.

27. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, 2-й - 25%, а 3-й - остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных электроламп, 2-го - 1,5%, 3-го - 2%. В магазин поступает продукция всех 3-х заводов. Купленная в магазине лампа оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она произведена 1-м заводом?

28. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 студента подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, удовлетворительно подготовленный - на 10, плохо подготовленный - на 5. Вызванный наугад студент ответил на все три заданных преподавателем вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.

29. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5:3:2. Вероятность брака для 1-й линии составляет 0,01; для 2-й линии - 0,02; для 3-й линии - 0,03. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракована.

30. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

31. На спортивной площадке играют 10 мальчиков, забивая мяч в ворота. Для пяти из них вероятность попадания равна 0,9 (они отлично забивают), для трех мальчиков вероятность попадания равна 0,7 (они забивают голы хорошо), остальные забивают мяч в ворота плохо с вероятностью 0,3. Один из мальчиков забил мяч в ворота. Какова вероятность, что этот мальчик отлично забивает голы?

5.ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ