Методические указания для выполнения заданий

Задача 1.

Для решения задачи 1 рекомендуется учебное пособие [4] Гл. I –IV, стр.39 – 91.

Рассмотрим решение аналогичной задачи 1, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

1) Длину ребра АВ находим по формуле:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

α

φ

Для решения задания 3) целесообразно сначала выполнить задание 7). Уравнение плоскости(ABC) составим по формуле

Нормальный вектор этой плоскости

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

5) Объём пирамидыSABC находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.

6) Уравнение прямой (АВ) находим по формуле:

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой .

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняютсяследующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды ( ).

б) находится точка пересечения высоты и основания как решение системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости (АВС).

Решение: Вектор нормали или плоскости (АВС) будет направляющим вектором для высоты – прямой Ее каноническое уравнение имеем вид

координатывершины , т.е.

Имеем

.

Система решается подстановкой

Подставив данныеx, y, zво второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

10) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – что более удобно:

Задача 2.

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

б) - формулы Крамера. Вычислим все определители

в) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Составим систему соответствующую полученной треугольной матрице и решаем ее снизу вверх.

Итак:

Задача 3.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

Задача 4.

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень хв числителя и знаменателя.

б)

Для «раскрытия» неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые,например

г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю

Для вычисления предела использован 2-ой замечатьльный предел.

Задача 5.

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

Задача 6.

Найти функций:

Решение:

а)

б)

Задача 7.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Решение. Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , и:

то прямая является вертикальной асимптотой

б) – наклонная асимптота при .

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптотыпри .

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет и точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Литература

Основная литература

1. Шипачев В. С. Высшая математика. Базовый курс : учебник и практикум для бакалавров [Гриф Минобразования РФ] / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб. и доп. - Москва : Юрайт, 2015. - 447 с.

2. Шипачев В. С. Высшая математика. Полный курс : учебник для акад. бакалавриата [Гриф УМО] / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. - 4-е изд., испр. и доп. - Москва : Юрайт, 2015. - 608 с

3. Сборник индивидуальных заданий по математике для технических высших учебных заведений : учебное пособие для вузов [Гриф Минобразования РФ]. Ч. 1 : Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные. Линейная и векторная алгебра. Интегрирование. Теория поля / [А. И. Архангельский и др.] ; под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013. - 601 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007. – 304+415c.

Дополнительная литература

1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев.– М.: ООО "Изд. Астрель", 2001.- 437с.

2. Курс математики для технических высших учебных заведений [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов [Гриф УМО]. Ч. 4 : Теория вероятностей и математическая статистика / Н. А. Берков [и др.] ; под ред. Е. А. Пушкаря, В. Б. Миносцева. - 2-е изд., испр. - Электрон. текстовые дан. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013. - 304 с.

3. Курс математики для технических высших учебных заведений [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов [Гриф Минобразования РФ]. Ч. 3 : Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория оптимизации / Н. А. Берков [и др.] ; под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. - 2-е изд., испр. - Электрон. текстовые дан. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013. - 513 с.

4. Курс математики для технических высших учебных заведений : учебное пособие для вузов [Гриф Минобразования РФ]. Ч. 1 : Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные. Линейная и векторная алгебра / В. Г. Зубков и др. ; под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013. - 542 с.

5. Ляховский В. А. Курс математики для технических высших учебных заведений : учебное пособие для вузов [Гриф УМО]. Ч. 2 : Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление. Теория поля / В. А. Ляховский, А. И. Мартыненко, В. Б. Миносцев ; под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013. - 428 с.

6 .Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. В 2-х т. – М.: Интеграл-Пресс, 2005.- 460+510с.

ЗАДАНИЯи методические указания к выполнению