В призматическом русле
Рассмотрим поток воды, находящийся в состоянии неравномерного движения. Наметим сечения 1–1, 2–2 и плоскость сравнения 0–0 (рис. 4.2). Запишем уравнение Бернулли для данных сечений. Учитывая, что давление на поверхности воды одинаковое,
. 4.1)
После преобразования
. (4.2)
Из последнего уравнения видно, что изменение потенциальной энергии, равно изменению кинетической плюс потери энергии.
Выделим бесконечно малый участок ds. Для этого участка уравнение запишется
. (4.3)
Разделим это уравнение на ds
. (4.4)
Рассмотрим составляющие уравнения:
1) представляет собой гидравлический уклон. Используя формулу Шези, можно записать ;
2) теперь рассмотрим .
Из рис. 4.3 видно, что или .
Следовательно,
;
3) перейдем к рассмотрению .
Так как Q = const, a = 1,
w = f(h), h = f(s)
.
Учитывая, что ,
.
Подставляя полученные выражения в уравнение (4.4), получим
.
В окончательном виде
. (4.5)
Удельная энергия сечения. Критическая глубина
Удельная энергия для данного живого сечения (т. е. полный напор) составляет
.
Удельной энергией сечения называется частное значение полной удельной энергии, когда плоскость сравнения проведена через самую низшую точку сечения потока.
Для безнапорного потока
.
Следовательно,
, (4.6)
или
. (4.7)
Исследуем зависимость удельной энергии сечения от глубины при условии, что и поперечное сечение русла задано. Рассмотрим случай, когда . Удельная энергия сечения в этом случае стремится к бесконечности , так как при этом . Рассмотрим теперь случай, когда . Удельная энергия в этом случае также стремится к бесконечности .
Если непрерывная функция на границах стремится к бесконечности, то у данной функции имеется минимум. Следовательно, при некоторой глубине потока удельная энергия сечения минимальна.
Глубина hк, при которой удельная энергия сечения минимальна, называется критической.
На рис. 4.4 показан график зависимости удельной энергии сечения от глубины. Из графика видно, что функция имеет две асимптоты: линию, проведенную из начала координат под углом 45° и горизонтальную ось. Заштрихованная область представляет график изменения скоростного напора от глубины. Точка, соответствующая минимуму удельной энергии сечения, делит кривую на две ветви. При изменении глубины в верхней части кривой скоростной напор изменяется мало, напротив, при уменьшении глубины в нижней ветви скоростной напор резко увеличивается.
Потоки, имеющие глубину ниже критической, называются бурными, потоки с глубиной выше критической – спокойными. Если глубина потока равна критической, то такое состояние потока называется критическим.
Получим зависимость для нахождения критической глубины. Поскольку функция имеет минимум, можно записать или . Продифференцировав выражение, получим
,
или окончательно
. (4.8)
Уравнение (4.8) является трансцендентным, его решение возможно только численными методами, графически или подбором.
Рассмотрим случай, когда русло имеет прямоугольное поперечное сечение, т. е. и
.
После преобразования получим
. (4.9)
Нормальная глубина