Функция Бесселя полуцелого порядка

Функция Бесселя целочисленного порядка не сводится к элементарным функциям. Функция полуцелого порядка выражается через тригонометрическую функцию.

1. Используем представление в виде ряда

. (8.9)

При

.

С учетом

,

находим

.

Сумма является разложением косинуса, в результате

. (8.53)

2. Из (8.42)

при m = –1/2

,

получаем

. (8.54а)

3. Из (8.37)

при m = 1/2

,

тогда

. (8.54б)

4. Из (8.43)

,

при

,

с учетом (8.53)

,

находим

. (8.55)

5. Из (8.41)

,

при

,

с учетом (8.54а)

получаем

. (8.56)

Нули

k – порядковый номер нуля. Числовые расчеты для первых нулей дают:

x_0,1 = 3,0, x_0,2 = 6,2;

x_1,1 = 4,4, x_1,2 = 7,7;

x_2,1 = 5,7, x_2,2 = 9,0.

Графики

,

Сферическая функция Бесселя

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k.

Набор при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Радиальная зависимость волны

Волна в сферических координатах является решением уравнения Гельмгольца

с оператором Лапласа

, (7.6)

где – оператор квадрата момента импульса.

Переменные r и (q, j) в уравнении разделены, ищем решение в виде произведения независимых функций

,

где – сферическая функция. Решение подставляем в уравнение и учитываем

. (7.20)

Получаем

.

Заменяем

.

Сравниваем с уравнением Ломмеля

,

получаем

, , , .

Общее решение (8.4)

,

получает вид

.

Конечность решения при с учетом (8.11)

требует , тогда

.

Радиальная зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k описывается сферической функцией Бесселя.

Дифференциальное уравнение

Уравнения для и совпадают, тогда выполняется

. (8.58)

Явный вид функции

Используем (8.57)

и (8.55)

после замены .

Находим

.

В результате сферическая функция Бесселя

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x ® ¥

Используем

(8.12а)

находим

. (8.63)

Из

, (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x ® 0

Из

, (8.11)

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

при . Из (8.57)

выражаем

,

,

получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим

, . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

3. Из

, , (8.67)

(8.62)

следует

. (8.68)

Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

в (8.37)

при . Получаем

. (8.70)

2. Подставляем

,

в (8.36)

при . Получаем

.

Из (8.70) выражаем

,

подставляем в последнее равенство, и получаем

. (8.71)

3. Выполняются соотношения

, (8.72)

, (8.73)

, (8.74)

. (8.75)

Функция Эйри первого рода

,

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри».

Уравнение Эйри

(8.76)

Функция Эйри является частным решением (8.76).

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

,

находим

, , , .

Общее решение

,

. (8.77)

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.

В области отрицательного аргумента уравнение (8.76) получает вид

, . (8.78)

Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами

, , , .

Получаем общее решение

, . (8.79)

Функция Эйри первого рода

Является частным решением (8.79) с коэффициентами

. (8.80)

Условия нормировки

При малом аргументе учитываем (8.11)

,

из (8.80) находим

первое слагаемое дает нуль. Нормировка

. (8.81)

Интегральная нормировка

(8.82)

следует из (8.84). Выполняется

,

. (8.82а)

Доказательство (8.82а):

При используем (8.80) и заменяем

,

где

, ,

. (8.14).

Интегральное представление

Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования.

Используем

, (1.35)

. (1.37)

Преобразование

дает дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

.

Выполняем обратное преобразование Фурье с заменой

.

Подставляем Фурье-образ

.

Находим с, вычисляя интеграл при :

(практическое занятие по теме «Г-функция»).

Сравниваем с условием нормировки

, (8.81)

находим

.

Функция Эйри выражена через интеграл Эйри

, (8.83)

Фурье-образ функции Эйри

. (8.84)

Из (8.84) при получаем условие нормировки

. (8.82)

Предел

При из (8.80) и (8.12а)

,

получаем колебательный характер функции

.(8.85)

Первые нули :

.

Наибольший максимум ; .

Предел

Интеграл Эйри

(8.83)

при вычисляем методом Лапласа. Записываем

.

При больших x разлагаем

в ряд Тейлора около точки экстремума , и ограничиваемся первыми тремя членами ряда

.

Положение экстремума

,

,

где знак выбран из условия, что экстремум соответствует максимуму, т. е. вторая производная отрицательна. Получаем

,

,

в результате

.

Из (8.83) находим

,

,

где сделана замена

.

В полосе (0, ) отсутствуют полюсы подынтегральной функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования в комплексной плоскости к вещественной оси не изменяет интеграла

,

где использовано

. (П.2.7).

В результате получаем

. (8.87)

Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя

Преобразование Ганкеля является разложением радиальной функции состояния с проекцией орбитального момента на ось z по базису функций Бесселя с непрерывным спектром .

Преобразование Фурье–Бесселя является разложением функции в полярных координатах по базису цилиндрических функций и по базису функций с определенной проекцией орбитального момента. Преобразование Фурье–Бесселя является обобщением преобразования Ганкеля.

Герман Ганкель (1839–1873)

Немецкий математик разрабатывал теорию цилиндрических функций и кватернионов.

Преобразование Фурье в полярных координатах

1. Используем двумерное преобразование Фурье в декартовых координатах

,

.

2. Переходим к полярным координатам

,

путем замен

, ,

,

, ,

,

.

Получаем преобразование Фурье в полярных координатах

, (8.91)

. (8.92)

3. Разлагаем f(r,j) по базису собственных функций проекции орбитального момента

. (8.93)

Подставляем (8.93) в (8.92)

.

4. Заменяем

.

Интеграл по углу выражается через функцию Бесселя

.

Использовано

и представление Зоммерфельда

. (8.18)

5. Выражение (8.92) получает вид

. (8.94)

Преобразование Ганкеля

Преобразование Ганкеля прямое и обратное порядка m для радиальной функции определяем

, (8.95)

, (8.96)

где

r и k – взаимно сопряженные переменные, ,

– безразмерная;

– радиальное распределение с угловой зависимостью ;

– образ Ганкеля с угловой зависимостью .

Преобразование является разложением радиальной функции по ортонормированному базису с непрерывным спектром . Преобразование ввел Герман Ганкель, опубликовано в 1875 г.

Интегральная теорема

Действия прямого (8.95) и обратного (8.96) преобразований Ганкеля восстанавливают исходную функцию

,

. (8.97)

Доказательство:

В (8.97) меняем порядок интегрирований

,

где использована ортонормированность

. (8.48)

Теорема о парах функций

Если для образом является , то для образом является .

Доказательство:

Преобразования симметричны – прямое (8.95) и обратное (8.96) преобразования

, ,

переходят друг в друга при замене и .

Замена дает теорему.

Масштабное преобразование аргумента

Выполняется

. (8.98)

Доказательство:

,

где сделана замена и использовано сравнение с (8.95).

Теорема Парсеваля

Скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов

, . (8.99)

Доказательство:

В интеграл (8.99) подставляем

,(8.96)

.

Меняем порядок интегрирований и используем ортонормированность

(8.48)

в виде

,

тогда

,

где сделана замена .

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал «теорему Парсеваля» в 1799 г. Теорема выполняется для любого унитарного (сохраняющего скалярное произведение) преобразования – Фурье, Бесселя и других.

Преобразование Фурье–Бесселя

Преобразование Фурье в полярных координатах

, (8.91)

. (8.92)

Для угловой части функции используем разложение по базису

, (8.93)

для радиальной части – преобразование Ганкеля

, (8.96)

в результате

Аналогично для Фурье-образа

, (8.94)

, (8.95)

находим

. (8.100б)

Формулы (8.100а) и (8.100б) являются разложениями функции и ее Фурье-образа, выраженных в полярных координатах, по функциям с определенной проекцией орбитального момента.

Радиальные части с одинаковым орбитальным моментом связаны между собой преобразованием Ганкеля

, .

Преобразование Ганкеля нулевого порядка

Система с осевой симметрией описывается функцией , не зависящей от угла j. В разложении по углу

, (8.93)

остается слагаемое и преобразование Фурье–Бесселя

,

(8.100)

переходит в преобразование Ганкеля нулевого порядка

,

. (8.101)

Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:

1) Кольцевая функция радиусом a

,

. (8.102)

Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка.

2) Кулоновская функция с учетом условия нормировки

, (8.14а)

дает

. (8.103)

Образом Ганкеля для кулоновской функции является кулоновская функция.

3) Постоянная

,

, (8.104)

где использовано (8.49), (2.2), (8.13). Образ Ганкеля для постоянной выражается через дельта-функцию.

4) Круговая функция равна единице в круге радиусом a и нулю за его пределами

(8.105)

(от лат. circularis – «круговой»). Используя

(П.9.1)

при , , , и теорему о парах функций, находим

,

. (8.106)

Образ Ганкеля для круговой функции выражается через функцию Бесселя первого порядка.