Интегральное представление Зоммерфельда

Цилиндрическая функция , где , является фурье-образомn-ого порядка по угловой переменной для гармонической волны в цилиндрических координатах.

Фиксируем координату z и рассматриваем волну в плоскости (x, y) в полярных координатах. Гармоническая волна является решением уравнения Гельмгольца

,

где D – оператор Лапласа; k – волновое число.

Герман фон Гельмгольц (1821–1894)

Физик, физиолог, психолог – профессор физики Берлинского университета. Ввел понятия потенциальной энергии, свободной и связанной энергии, изобрел «катушку Гельмгольца», создающую открытое однородное магнитное поле; «резонатор Гельмгольца» в виде полого шара для анализа и усиления низкочастотных акустических колебаний. Создал колебательный контур. Доказал ряд теорем о решениях «уравнения Гельмгольца» с учетом краевых условий в 1860 г.

В полярных координатах

,

уравнение Гельмгольца

,

где нижний индекс показывает аргумент дифференцирования. Переходим к безразмерному аргументу

,

,

. (8.15)

Накладываем условие периодичности по углу

.

Выполняем Фурье-преобразование слагаемых уравнения (8.15) по углу, используя (1.49) при :

и теоремы Фурье (1.50)

,   ,   .

Преобразование Фурье слагаемых уравнения (8.15) дает уравнение Бесселя

,

где штрих означает дифференцирование по x. Следовательно:

,

тогда Фурье-образ волны

, . (8.16)

Фурье-образ n-ого порядка по угловой переменной для гармонической волны является функцией Бесселя .

Рассмотрим частный случай гармонической волны – плоскую волну с волновым вектором k и с единичной амплитудой

.

Волновой вектор k, вдоль которого движется волна, направляем по оси y, тогда

, ,

.

Из (8.16) получаем интегральное представление Зоммерфельда

, (8.17)

, (8.18)

где учтена четность функции под интегралом. Из (8.17) следует условие нормировки (8.8)

,

что оправдывает выбор единичной амплитуды волны.

В (8.17) заменяем аргумент

и сразу возвращаемся к исходному обозначению . Подынтегральная функция в (8.17) периодическая с периодом , поэтому интервал интегрирования сохраняем. Учитываем

,

получаем

. (8.19)

Из (8.17) и (8.19) находим

, (8.20)

что совпадает с интегральным представлением Пуассона (8.7).

В выражении

, (8.17)

заменяем

, ,

используем

,

находим

. (8.21)

Арнольд Зоммерфельд (1868–1951)

Окончил университет Кёнигсберга по кафедре теоретической физики – первой кафедре в мире по этой специальности. Теоретически описал тонкую структуру спектральных линий атома водорода, ввел радиальное, орбитальное и магнитное квантовые числа, постоянную тонкой структуры. Разработал математическую теорию дифракции, электронную квантовую теорию металла. В его честь названы «условия излучения Зоммерфельда» для решений уравнения Гельмгольца. Показал, что частные решения уравнения Бесселя отличаются контурами интегрирования в комплексной плоскости. Получил «интегральное представление Зоммерфельда» для функции Бесселя.

Инверсия порядка

Из

. (8.19)

получаем

. (8.22)

Инверсия аргумента

Из интегрального представления Пуассона (8.5)

получаем

. (8.23)

Из (8.22) и (8.23)

. (8.25)

Производящая функция

К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)

,

где

,

применяем обратное преобразование Фурье (1.48)

.

Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x:

(8.26)

В (8.26) заменяем

, ,

,

находим производящую функцию

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

1. В

(8.26)

выделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

получаем

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

2. В

(8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

,

,

.

В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

,

.

При из (8.32) и (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем на случай произвольного порядка

. (8.36)

Замена x на bx дает

. (8.36а)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и

, (8.36)

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

. (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции

. (8.41)

6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции

. (8.43)

Частные соотношения

Из

(8.39)

при

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44):

,

,

,

,

,

при

,

, (8.45)

,

,

,

,

. (8.46)

Условие ортонормированности

Набор

, , ,

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство:

Записываем уравнение Ломмеля

, (8.2)

где

, (8.3)

при , , и для функций и

,

.

Умножаем первое равенство на xv, второе – на xu и вычитаем результаты

.

Преобразуем левую сторону

.

Интегрируем по x от 0 до ∞

. (8.47)

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

тогда

.

В результате

.

Учитываем

, (2.4)

,

тогда

,

Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки

. (8.14)

Получаем

, ,

и доказано (6.48).

При не нулевой вклад в

, . (8.48)

дает только и , тогда

, . (8.49)

Доказательство:

Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞

.

Меняем порядок интегрирований и учитываем

,

тогда

.

Внутренний интеграл дает (8.48)

,

и получаем тождество.