ФункциЯ Бесселя первого рода

ФункциЯ Бесселя первого рода

,

Описывает радиальную зависимость в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.

При функция Бесселя называется цилиндрической функцией . В цилиндрических координатах является фурье-образомn-ого порядка по угловой переменной для гармонической волны.

Множество с одинаковым μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром по параметру .

исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.

ввел Леонард Эйлер в 1764 г.

Фридрих Вильгельм Бессель составил таблицы J₀, J₁, J₂ для описания движения планет в 1824 г.

Название функциям дал Оскар Шлемильх в 1857 г.

Даниил Бернулли (1700–1782) Леонард Эйлер (1707–1783)

Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846)

Бессель – профессор Кенигсбергского университета, самостоятельно изучил математику и астрономию, в гимназии и в университете не учился. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд по их параллаксам, провел геодезическую съемку территории Восточной Пруссии. Его именем назван кратер на Луне.

Уравнения Бесселя и Ломмеля

Функция Бесселя является частным решениемуравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применимости уравнения Бесселя усложняем его заменой аргумента и функции, и вводим новые параметры . Это дает уравнение Ломмеля

. (8.2)

Подстановка в (8.2)

,

(8.3)

преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z. При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).

В уравнениях (8.1) и (8.2) величина μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит независимые слагаемые, отличающиеся знаком μ:

. (8.4)

Уравнение получил Евгений Ломмель (1837–1899) в 1868 г.

Интегральное представление Пуассона

Решение уравнения (8.1) методом факторизации дает интегральное представление Пуассона

, (8.5)

где использована формула Эйлера

,

и учтена четность функций косинуса и синуса.

Заменяем

, ,

находим

. (8.6)

Из (8.6) при получаем

, (8.7)

.

Выполняется нормировка

,

,

. (8.8)

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета, окончил Политехническую школу в Париже. Ввел понятие потенциала в электростатику и получил «дифференциальное уравнение Пуассона», связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона». Вычислил «интеграл Пуассона», доказал «формулу суммирования Пуассона». В механике ввел «скобки Пуассона» – перестановочные соотношения для величин. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием».

В частности

(8.10)

Предел x ® 0

Главный вклад в (8.9) при вносит

,

, (8.11)

,

, .

Предел x ® ¥

Используем уравнение Ломмеля (8.2) и его решение (8.3)

,

с параметрами , :

,

.

Выражаем функцию Бесселя

.

При получаем уравнение

,

Находим общее решение

.

В результате

. (8.12)

При функция периодически проходит через нуль, амплитуда колебаний уменьшается.

Детальный анализ дает значения a и A

,

. (8.12а)

Нули функции Бесселя

,

где m – порядковый номер нуля. Для J₀ и J₁ числовой расчет дает

x_0,1 = 2,405; x_0,2 = 5,520; x_0,3 = 8,654; …

x_1,1 = 3,832; x_1,2 = 7,016; x_1,3 = 10,174 …

Нормировка

Выполняется

, (8.14)

. (8.14а)

Доказательство:

Рекуррентное соотношение, которое будет получено далее:

(8.36)

интегрируем по интервалу

, ,

где использовано

, (8.11)

. (8.12а)

Следовательно,

,

не зависит от m. Полагаем , учитываем соотношение, которое будет получено в дальнейшем:

, (8.44)

и получаем

.

Площадь под кривой функции Бесселя произвольного порядка равна единице.

Производящая функция

К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)

,

где

,

применяем обратное преобразование Фурье (1.48)

.

Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x:

(8.26)

В (8.26) заменяем

, ,

,

находим производящую функцию

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

1. В

(8.26)

выделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

получаем

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

2. В

(8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

,

,

.

В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

,

.

При из (8.32) и (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем на случай произвольного порядка

. (8.36)

Замена x на bx дает

. (8.36а)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и

, (8.36)

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

. (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции

. (8.41)

6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции

. (8.43)

Частные соотношения

Из

(8.39)

при

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44):

,

,

,

,

,

при

,

, (8.45)

,

,

,

,

. (8.46)

Условие ортонормированности

Набор

, , ,

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство:

Записываем уравнение Ломмеля

, (8.2)

где

, (8.3)

при , , и для функций и

,

.

Умножаем первое равенство на xv, второе – на xu и вычитаем результаты

.

Преобразуем левую сторону

.

Интегрируем по x от 0 до ∞

. (8.47)

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

тогда

.

В результате

.

Учитываем

, (2.4)

,

тогда

,

Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки

. (8.14)

Получаем

, ,

и доказано (6.48).

При не нулевой вклад в

, . (8.48)

дает только и , тогда

, . (8.49)

Доказательство:

Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞

.

Меняем порядок интегрирований и учитываем

,

тогда

.

Внутренний интеграл дает (8.48)

,

и получаем тождество.

Графики

,

Сферическая функция Бесселя

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k.

Набор при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Дифференциальное уравнение

Уравнения для и совпадают, тогда выполняется

. (8.58)

Явный вид функции

Используем (8.57)

и (8.55)

после замены .

Находим

.

В результате сферическая функция Бесселя

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x ® ¥

Используем

(8.12а)

находим

. (8.63)

Из

, (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x ® 0

Из

, (8.11)

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

при . Из (8.57)

выражаем

,

,

получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим

, . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

3. Из

, , (8.67)

(8.62)

следует

. (8.68)

Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

в (8.37)

при . Получаем

. (8.70)

2. Подставляем

,

в (8.36)

при . Получаем

.

Из (8.70) выражаем

,

подставляем в последнее равенство, и получаем

. (8.71)

3. Выполняются соотношения

, (8.72)

, (8.73)

, (8.74)

. (8.75)

Функция Эйри первого рода

,

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри».

Уравнение Эйри

(8.76)

Функция Эйри является частным решением (8.76).

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

,

находим

, , , .

Общее решение

,

. (8.77)

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.

В области отрицательного аргумента уравнение (8.76) получает вид

, . (8.78)

Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами

, , , .

Получаем общее решение

, . (8.79)

Функция Эйри первого рода

Является частным решением (8.79) с коэффициентами

. (8.80)

Условия нормировки

При малом аргументе учитываем (8.11)

,

из (8.80) находим

первое слагаемое дает нуль. Нормировка

. (8.81)

Интегральная нормировка

(8.82)

следует из (8.84). Выполняется

,

. (8.82а)

Доказательство (8.82а):

При используем (8.80) и заменяем

,

где

, ,

. (8.14).

Интегральное представление

Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования.

Используем

, (1.35)

. (1.37)

Преобразование

дает дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

.

Выполняем обратное преобразование Фурье с заменой

.

Подставляем Фурье-образ

.

Находим с, вычисляя интеграл при :

(практическое занятие по теме «Г-функция»).

Сравниваем с условием нормировки

, (8.81)

находим

.

Функция Эйри выражена через интеграл Эйри

, (8.83)

Фурье-образ функции Эйри

. (8.84)

Из (8.84) при получаем условие нормировки

. (8.82)

Предел

При из (8.80) и (8.12а)

,

получаем колебательный характер функции

.(8.85)

Первые нули :

.

Наибольший максимум ; .

Предел

Интеграл Эйри

(8.83)

при вычисляем методом Лапласа. Записываем

.

При больших x разлагаем

в ряд Тейлора около точки экстремума , и ограничиваемся первыми тремя членами ряда

.

Положение экстремума

,

,

где знак выбран из условия, что экстремум соответствует максимуму, т. е. вторая производная отрицательна. Получаем

,

,

в результате

.

Из (8.83) находим

,

,

где сделана замена

.

В полосе (0, ) отсутствуют полюсы подынтегральной функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования в комплексной плоскости к вещественной оси не изменяет интеграла

,

где использовано

. (П.2.7).

В результате получаем

. (8.87)

Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя

Преобразование Ганкеля является разложением радиальной функции состояния с проекцией орбитального момента на ось z по базису функций Бесселя с непрерывным спектром .

Преобразование Фурье–Бесселя является разложением функции в полярных координатах по базису цилиндрических функций и по базису функций с определенной проекцией орбитального момента. Преобразование Фурье–Бесселя является обобщением преобразования Ганкеля.

Герман Ганкель (1839–1873)

Немецкий математик разрабатывал теорию цилиндрических функций и кватернионов.

Преобразование Фурье в полярных координатах

1. Используем двумерное преобразование Фурье в декартовых координатах

,

.

2. Переходим к полярным координатам

,

путем замен

, ,

,

, ,

,

.

Получаем преобразование Фурье в полярных координатах

, (8.91)

. (8.92)

3. Разлагаем f(r,j) по базису собственных функций проекции орбитального момента

. (8.93)

Подставляем (8.93) в (8.92)

.

4. Заменяем

.

Интеграл по углу выражается через функцию Бесселя

.

Использовано

и представление Зоммерфельда

. (8.18)

5. Выражение (8.92) получает вид

. (8.94)

Преобразование Ганкеля

Преобразование Ганкеля прямое и обратное порядка m для радиальной функции определяем

, (8.95)

, (8.96)

где

r и k – взаимно сопряженные переменные, ,

– безразмерная;

– радиальное распределение с угловой зависимостью ;

– образ Ганкеля с угловой зависимостью .

Преобразование является разложением радиальной функции по ортонормированному базису с непрерывным спектром