Разложение функции по базису

Разложение функции по базису - student2.ru . (0.12)

Спектр непрерывный

Разложение функции по базису - student2.ru . (0.13)

Совпадение спектров функций означает равенство функций.

Доказательство

Подставляем (0.12) в (0.13)

Разложение функции по базису - student2.ru .

Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности и фильтрующее свойство дельта-функции

Разложение функции по базису - student2.ru .

Полученное тождество доказывает формулу (0.13).

Условие полноты базиса

Разложение функции по базису - student2.ru . (0.14)

Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.

Теорема Парсеваля

Разложение функции по базису - student2.ru . (0.15)

Доказать самостоятельнос помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский представил сложное движение планеты от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершающей неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу, в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам в III в до н.э.

Разложение функции по базису - student2.ru

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французским математиком Жаном Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г., и это называется преобразованием Фурье.

Разложение функции по базису - student2.ru

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

Результаты Фурье получим путем использования ортонормированного базиса гармонических функций.

Бесконечномерный базис гармонических функций

Разложение функции по базису - student2.ru , Разложение функции по базису - student2.ru ; Разложение функции по базису - student2.ru .

Орт Разложение функции по базису - student2.ru является решением волнового уравнения Гельмгольца

Разложение функции по базису - student2.ru ,

и описывает плоскую волну

Разложение функции по базису - student2.ru ,

распространяющуюся вдоль оси x с волновым число k.

Разложение функции по базису - student2.ru

Герман Гельмгольц (1821–1894)

Базис Разложение функции по базису - student2.ru с непрерывным спектром удовлетворяет:

условию ортонормированности

Разложение функции по базису - student2.ru ,

и условию полноты

Разложение функции по базису - student2.ru .

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

Преобразование Фурье функции Разложение функции по базису - student2.ru является ее разложением по базису Разложение функции по базису - student2.ru , спектр Разложение функции по базису - student2.ru функции Разложение функции по базису - student2.ru выражает обратное преобразование:

Разложение функции по базису - student2.ru , (1.1)

Разложение функции по базису - student2.ru . (1.2)

Использовано:

Разложение функции по базису - student2.ru – оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках Разложение функции по базису - student2.ru , и дающий функцию, зависящую от k;

Разложение функции по базису - student2.ru – оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках Разложение функции по базису - student2.ru , и дающий функцию, зависящую от x;

Разложение функции по базису - student2.ru – Фурье-образ или спектр функции Разложение функции по базису - student2.ru ;

k и x – Фурье-сопряженные переменные, Разложение функции по базису - student2.ru – безразмерная;

Разложение функции по базису - student2.ru – ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

Преобразование Фурье технически реализует, например, колебательный контур входного каскада радиоприемника, или телевизора. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье, использующие оптические устройства.

Оптическое преобразование Фурье

Анализатор частот функции, Анализатор волновых чисел

Наши рекомендации