Оценка параметров амплитудной модуляции

Амплитудно-модулированный сигнал может быть представлен в соответствии с выражением:

A(t)= A_НЧ(t)cos(w_ВЧ t+q),

где w_ВЧ - несущая частота; q - начальная фаза; A_НЧ(t) - модулирующий низкочастотный сигнал.

Для оценки параметров модуляции можно использовать вычислительный метод с решением системы уравнений. Так как максимальная частота низкочастотного сигнала F_МАХ<<f_ВЧ, то изменением огибающей научастке времени соседних стробирующих отсчетов (t₂-t₁)<<1/F_МАХ можно пренебречь. При таком допущении для нахождения A_НЧ(t) можно решить систему из двух уравнений:

Выразим значения начальной фазы и огибающей из этих уравнений:

;(1.2.1)

. (1.2.2)

Таким образом, если дискретизировать сигнал A(t) с частотой дискретизации f_д>>F_МАХ и не кратной несущей частоте, то, используя формулы (1.2.1) и (1.2.2), можно находить значение для каждых двух точек дискретизированного сигнала. Далее можно найти максимальное A_MAX и минимальное A_MIN значения за интервал времени больше периода модулирующего сигнала и оценить глубину модуляции по формуле:

. (1.2.3)

Допустим, что f_НЧМАХ=10 кГц, тогда при (t₂-t₁)=0,2 мкс максимальная абсолютная погрешность нахождения A_НЧ(t) будет в области наибольшей крутизны гармонического сигнала и может быть представлена в виде выражения:

,

где A_НЧ – амплитуда модулирующего сигнала. Погрешность нахождения максимума и минимума функции A_НЧ(t) в области экстремумов гармонического сигнала может быть представлена в виде выражения:

.

Тогда погрешность вычисления глубины модуляции не будет превосходить величины =2 . Полная методическая погрешность оценки глубины модуляции для принятых условий в диапазоне значений 10-90% будет не более 0.05%, что можно считать более чем достаточным. Таким образом, метод стробирования может с успехом применяться в задачах оценки глубины АМ радиосигналов.

Многоуровневое интерполирование при оценке частоты сигнала

Рассмотрим задачу измерения частоты на основе обработки в персональном компьютере массива дискретных отсчетов мгновенных значений периодического сигнала, получаемых с помощью быстродействующего АЦП, как это показано на рис. 1.3.1. Будем считать, что АЦП имеет встроенный кварцевый генератор частоты, задающий временной интервал считывания данных Т_д, нестабильность которого соизмерима с параметрами встроенной меры автономного электронно-счетного частотомера, т.е. порядка 10^-6….10^-8. Процесс оцифровки периодического сигнала представлен на рис. 1.3.2.

Рис. 1.3.1. Структурная схема измерения частоты с помощью АЦП

Когда интервал дискретизации значительно меньше периода сигнала (Т_д T_с), можно выбрать достаточно большое время измерения kT_с и определить неизвестную частоту методом дискретного счета: f_с=1/T_с (N+1/2)/(Т_дk). При этом целое число периодов сигнала k может быть найдено алгоритмически с учетом выбранного уровня измерения путем подсчета периодов сигнала в интервале kT_с, а максимальнаяотносительнаяметодическая погрешность квантования по модулю будет достигать значения Т_д/(2kT_с). Например, для kT_с=1с и Т_д=10мкс получим погрешность на уровне 10^-5, что не удовлетворяет многим измерительным задачам. Значение Т_д=10мксбыло взято как наиболее часто используемый период дискретизации в недорогих АЦП (f_д=100кГц). В условиях наложения внешних помех и влияния собственных шумов АЦП результирующая погрешность может дополнительно увеличиться. К тому же время счета 1с очень большое.

Рис. 1.3.2. Получение мгновенных отсчетов при одноуровневой интерполяции

Если вместо обычного счетчика использовать АЦП, можно в процессе обработки данных учесть информацию о мгновенных значениях сигнала в каждой точке и за счет этого повысить помехозащищенность, быстродействие и точность измерений. Для этого предлагается [5]: во-первых - использовать интерполяцию, например, линейную, между ближайшими отсчетами; во-вторых - усреднять результаты по совокупности измерений частоты, выполненных на нескольких уровнях начального и конечного монотонных интервалов, признанных пригодными для вычислений. Для линейной интерполяции между точками (t_N0, U_N0) и (t_N1, U_N1) интервал времени kТ_c, равный целому числу k периодов сигнала T_c, можно вычислить по формуле:

(1.3.1)

где N=ent(kT_д/T_с)– целое число отсчетов (остаток отбрасывается) мгновенных значений сигнала, укладывающихся в интервале времени kT_д; U₀– мгновенное значение из массива дискретных данных, полученных на начальном участке изменения сигнала, удовлетворяющего требованиям монотонности; U_N0 и U_N1- ближайшие к U₀ соответственно снизу и сверху мгновенные значения, выбранные из массива дискретных данных, полученных на конечном монотонном участке сигнала.

Формула (1.3.1) может быть использована для измерения частоты (f_с=1/T_с)с помощью ПК в том случае, если в процессе получения мгновенных значений не было заметного влияния помех и шумов АЦП. Когда помехами и шумами пренебречь нельзя, то следует провести измерение частоты на нескольких уровнях, как показано на рис. 1.3.3, и затем усреднить результаты. Заметим, что при современных вычислительных возможностях ПК время, затрачиваемое на обработку данных, составит лишь незначительную долю от времени оцифровки нескольких периодов низкочастотного сигнала.

Предварительную обработку массива данных следует осуществлять для поиска монотонных участков изменения периодического сигнала на передних и задних его «фронтах». В простейшем случае можно сравнивать пошаговое приращение или убывание отсчетов мгновенных значений.

В общем случае для произвольного m-ого уровня интерполяции, где mпринимает значения от 0 до р-1, что означает р точек дискретизации на начальном участке функции и р+1 точка на конечном участке, формула (1.3.1) будет иметь вид:

(1.3.2)

Среднее значение для q уровней измерения и усреднения можно найти по формуле:

Рис. 1.3.3. Получение массива отсчетов при многоуровневой интерполяции

Усреднять результаты измерения частоты на нескольких уровнях можно с использованием всей совокупности данных или по совокупности только независимых отсчетов, когда каждое значение используется в вычислениях только один раз. В последнем случае на начальном участке сигнала надо взять отсчеты через один, а на конечном - все. Возьмем для усреднения q уровней интерполяции в точках, соответствующих моментам времени t₀, t₂, … t_p-1. Текущее значение m=0, 2, 4 … 2(q-1). При этом p=2q и среднее значение периода сигнала будет вычисляться по формуле:

(1.3.3)

Оценим погрешность измерения периода в зависимости от погрешностей мгновенных значений, обусловленных шумами и помехами. При этом инструментальную погрешность из-за нестабильности кварцевого генератора АЦП учитывать пока не будем, так как нас интересуют предельные возможности рассматриваемого метода многоуровневой интерполяции. Поскольку измерения косвенные, то значение среднеквадратического отклонения (СКО) оценки периода сигнала s находится через частные производные функции по всем учитываемым аргументам [5]. Для упрощения записи введем обозначения:

; ;

; .

Здесь - изменение мгновенных значений сигнала в соседних отсчетах уровня m; - изменение мгновенных значений сигнала в начале и в конце интервала измерения на уровне m, причем в конце выбирается ближайший снизу отсчет.

Поскольку метод измерения косвенный, то необходимо найти частные производные функции по всем учитываемым аргументам, которые будут иметь вид:

Будем считать, что в начале и в конце оцифровки сигнала сохраняются основные его характеристики на всех уровнях измерения, т.е. в выбранном интервале времени функция близка к линейной.

Тогда: (1.3.4)

Примем также, что среднеквадратические отклонения оценки мгновенных значений всех отсчетов, обусловленные помехами и шумами АЦП, одинаковые и равны

,

где - составляющая, обусловленная конечной битностью АЦП; - составляющая, обусловленная внешними шумами и внутренними шумами АЦП. Тогда с учетом (1.3.4) формула для абсолютного значения СКО оценки периода сигнала будет иметь вид:

Относительную величину СКО можно представить в виде выражения:

Для получения численных значений СКО примем:

где b – коэффициент, лежащий в диапазоне от 0 до 1; s^_U– среднеквадратическое значение погрешности отсчета, приведенное к средней разнице соседних мгновенных значений. С учетом введенных обозначений

(1.3.5)

Рассмотрим поведение функции в интервале для N=10000. Характер поведения функции при увеличении или уменьшении N не изменится. Как следует из приведенного на рис. 1.3.4 графика, самый неблагоприятный случай будет при b=0 и b=1. При этом функция f(b) и соответственно СКО максимальны:

Результаты расчетов СКО по формуле (1.3.5) для наихудшего случая приведены на рис. 1.3.5 – 1.3.8. Графики представлены в логарифмическом масштабе. Из приведенных графиков следует, что увеличение числа уровней измерения способствует фильтрации случайной погрешности, которая уменьшается пропорционально , что и ожидалось. Для рассмотренного в начале параграфа примера дискретного счета в течение1 с при Т_д =10 мкс и N=10⁵погрешность находится на уровне 10^-5. С учетом внешних помех и шумов СКО будет порядка 2*10^-5.

Рис. 1.3.4. Поведение функции f(b) в диапазоне

Рис. 1.3.5. Зависимость СКО от N для

Оценим численные значения погрешностей для рассмотренного метода измерения на одном и 100 уровнях с последующей интерполяцией и вычислением частоты или периода. Для того же значения N=10⁵ выберем реальную разрядность АЦП 12 бит и ограничимся суммарными шумами . При этом будем считать, что учтены внешние помехи и шумы АЦП. Тогда получим минимальные значения СКО: для измерения на одном уровне; для измерения на 100 уровнях. Таким образом, случайная погрешность при измерении на одном уровне уменьшается на порядок, а при выборе 100 уровней – еще на порядок. Используя АЦП большей разрядности и методы цифровой фильтрации данных, можно дополнительно повысить точность оценки частоты сигнала. Для увеличения количества уровней в два раза нужно осуществлять оцифровку, как при возрастании, так и при убывании функции.

Рис. 1.3.6. Зависимость СКО от N для q=50

Рис. 1.3.7. Зависимость СКО от для N=10000

Можно также взять все отсчеты мгновенных значений сигнала на начальном участке функции, тогда для формулы (1.3.3) количество уровней q (m=0, 1, 2, … q-1; p=q) дополнительно возрастет в два раза. В этом случае все промежуточные отсчеты конечного участка будут использоваться в вычислениях дважды. Моделирование показало, что применение всей базы данных начальных отсчетов дополнительно уменьшает СКО примерно в раз. На рис. 1.3.9 приведена гистограмма распределения погрешности, построенная по данным 1000-кратной оценки частоты методом интерполирования и усреднения результатов дискретизации периодического сигнала на 50 уровнях для N=100000 и . Отношение временного интервала считывания данных Т_д к периоду сигнала (T_с/T_д) в расчетах взяторавное 300, хотя оно лишь ограничивает число реализуемых уровней измерения и на точность не влияет. Необходимое число точек дискретизации можно получить даже на одном периоде сигнала.

Рис. 1.3.8. Зависимость СКО от для q=50

Вычисленное значение s =1.8*10^-7. На рис. 1.3.10 значение N взято на порядок меньше (10000) и соответственно увеличилась величина s=1.9*10^-6. На рис. 1.3.11 и 1.3.12 приведены аналогичные гистограммы для меньшего уровня суммарных шумов

Рис. 1.3.9. Гистограмма оценки частоты для N=100000,	Рис. 1.3.10. Гистограмма оценки частоты для N=10000,

Рис. 1.3.11. Гистограмма оценки частоты для N=100000,

Рис. 1.3.12. Гистограмма оценки частоты для N=10000,

Результаты моделирования хорошо согласуются с данными, представленными на рис. 1.3.5 – 1.3.8. Некоторые различия обусловлены тем, что значение функции f(b) в теоретических расчетах было взято в максимуме.

В целом, полученные результаты анализа и моделирования позволяют сделать вывод о целесообразности применения метода многоуровневого интерполирования и усреднения результатов в задачах оценки частоты при наличии внешних и внутренних шумов квантования. При этом могут решаться задачи повышения быстродействия, подавления шумов и повышения точности оценки частоты периодического сигнала.