Подобия первого и второго рода.

Аналогично движениям I и II рода определяются подобия I и II рода:

Определение. Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов подобие сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое подобие называется подобием первого (второго) рода.

Корректность этого определения следует из теоремы 2.1. и следующей теоремы 3.1:

Теорема 3.1. Гомотетия является подобием I рода при k>0 и подобием II рода при k<0.

Доказательство. В этом можно убедиться непосредственной проверкой.

Теорема 3.2. Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси :

Доказательство. В теореме 2.1. выберем род гомотетии совпадающим с родом подобия. Тогда f – движение I рода, т.е. (см. часть I, теорема 6.5.) f – перенос, поворот или винтовое движение (композиция переноса и поворота). Но, как легко проверить, композиция переноса и гомотетии есть гомотетия. Таким образом, можно гомотетию выбрать так, что f – поворот, ч.т.д.

Теорема 3.3. Подобие, отличное от движения, имеет ровно одну неподвижную точку. Эта точка называется центром подобия.

Доказательство. Зададим подобие композицией (теорема 3.2.). Проведём плоскость α такую, что , . Как легко видеть, в плоскости α задано подобие плоскости. Значит, в этой плоскости есть неподвижная точка (по аналогичной теореме для плоскости).

Теорема 3.4. Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси , где . Указанная композиция называется гомотетическим поворотом.

Доказательство. В теореме 3.2. выберем за центр гомотетии центр подобия. Тогда .

Теорема 3.5. Подобие пространства является движением, гомотетией или гомотетическим поворотом.

Доказательство. Следует из теоремы 3.4.

Часть III. Аффинные преобразования.

1. Общие свойства аффинных преобразований плоскости.

Определение. Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую.

Свойство. При аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Доказательство. Если бы образы параллельных прямых имели общую точку, то у этой точки было бы два прообраза, что противоречит определению преобразования.

Теорема 1.1. (о задании аффинного преобразования плоскости) Для любых данных треугольников АВС и А´В´С´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´.

Полностью эту теорему нам доказать не удастся. Однако покажем, как можно рассуждать, пытаясь её доказать.

Построим две решётки параллелограммов: одну – на отрезках ВС и СА (т.е. ВС и СА – стороны одного из параллелограммов решётки), другую – на отрезках В´С´ и С´А´. Если аффинное преобразование переводит А в А´, В в В´, С в С´, то оно переводит одну построенную решётку в другую (по свойству аффинного преобразования). Центры параллелограммов одной решётки перейдут в центры соответствующих параллелограммов другой (т.к. центры параллелограммов являются точкой пересечения их диагоналей). Через эти центры можно провести прямые, параллельные прямым наших решёток. Получим более мелкие решётки параллелограммов, одна из которых переходит при нашем аффинном преобразовании в другую. Для полученных решёток таким же образом можно получить ещё более мелкие и т. д. Каждая точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов первой решётки с неограниченно уменьшающимися сторонами, содержащих М. Этой последовательности параллелограммов соответствует последовательность образов этих параллелограммов второй решётки. Эта последовательность имеет единственную общую точку. Эта точка и будет образом точки М (именно это место и сложно доказать строго). Легко проверить, что построенное преобразование будет аффинным.

Теорема 1.2. Аффинное преобразование можно представить композицией параллельного проектирования и подобия.

Доказательство. Выберем три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и их образы А´, В´, С´ при аффинном преобразовании. Очевидно, точки А´, В´, С´ не лежат на одной прямой. По известной теореме треугольник А´В´С´ можно получить из треугольника АВС композицией параллельного проектирования и подобия. Такое преобразование, очевидно, будет аффинным, а по теореме 1.1 существует лишь одно аффинное преобразование, переводящее треугольник АВС в треугольник А´В´С´. Поэтому нами получено искомое представление аффинного преобразования композицией параллельного проектирования и подобия.

Теперь, представив аффинное преобразование композицией параллельного проектирования и подобия, из свойств параллельного проектирования можно получить следствия (инварианты аффинного преобразования):

1. Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.
2. Отношение площади фигуры к площади её образа постоянно для всех фигур.

Также отметим ещё одно свойство аффинного преобразования, которое сразу следует из теоремы 1.1: преобразование, обратное аффинному, является аффинным. Действительно, аффинное преобразование (что фактически доказано в теореме 1.1) переводит одну косоугольную систему координат в другую, координаты точки и её образа одинаковы в одной системе координат и в её образе. Обратное преобразование, естественно, тоже будет аффинным, т.к. теперь понятно, что прообразом любой прямой является прямая.

Любые два треугольника аффинно эквивалентны, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для треугольника специального вида, например, правильного.

Задача 1.

Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.

Решение.

Для правильного треугольника утверждение очевидно.

Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.

Задача 2.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение.

Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.

Сжатие к прямой.

Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k ( ) называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .

Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).

Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.

Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.

Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.

Доказательство. Следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.

Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.

3. Аффинные преобразования пространства.

Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.

Свойства.

1. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
2. Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
3. При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).

Доказательства свойств.

1. Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
2. Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
3. Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.

Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).

Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.

Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.

1. Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
2. Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.

Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.

Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда

.

Поэтому имеем равенства (*):

Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования.

Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.

Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:

.

Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система

с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.

Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .

Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:

.

Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:

,

где V₀ – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:

,

где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.

Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).

Задача.

Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.

Решение.

Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.

Ответ: 1:12.

Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства. Соответственные при родстве элементы называются родственными.

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства.

Свойства родства.

1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
2. (Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
3. Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом. Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость–обычная (евклидова)плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным.

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными.

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции:

1. Центральное проектирование – проективное преобразование.
2. Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
3. Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Тогда .

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

I. Если наши четырёхугольники – трапеции (АD||BC и MQ||NP), то доказательство совсем простое. Рассмотрим четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, такой, что AD=A´D´. Расположим плоскости π и π´ так, чтобы совпали точки А с А´ и D с D´. Теперь, если , то нужный нам результат даст центральная проекция с центром О (см. рис.), а если ВВ´||CC´, то нужный нам результат даст параллельная проекция с направлением ВВ´.

II.Теперь докажем утверждение, если четырёхугольники произвольные. Пусть , . Отметим точки Х₁, Х₂, Z₁, Z₂ на прямых АВ, CD, MN, PQ соответственно так, что

; ; ; .

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X₁X₂ (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y₁Y₂ (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х₁, Х₂ следует, что прямая Х₁Х₂ – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y₁´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y₂´ такую, что Y₁´Y₂´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y₁´ и Y₂´ следует, что прямая Y₁´Y₂´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С₀´ прямой С´D´.

Докажем, что С₀ совпадает с С´. Из того, что Х₂ при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y₂´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С₀ и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D₀ – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись при доказательстве аффинной теоремы, нам опять не удастся.

Из теорем 1.1, 1.2, 1.3 сразу следуют некоторые важные утверждения:

Следствия.

1. Любое проективное преобразование является композицией центральной (параллельной) проекции и подобия.
2. Проективное преобразование сохраняет двойные отношения.

Задача 1.

Даны две прямые a и b и не лежащая на них точка Р. Через Р проводятся различные пары прямых, пересекающих прямые a и b в точках А, С и B, D соответственно. М – точка пересечения AD и ВС. Доказать, что все такие точки М лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения прямых a и b.

Решение.

Пусть О – точка пересечения прямых a и b. Переведём прямую ОР в бесконечно удалённую. Тогда четырёхугольник ABDC будет параллелограммом; М, точка пересечения его диагоналей, будет лежать на прямой, параллельной прямым a и b и отстоящей от них на равные расстояния.

Задача 2.

Можно ли окрасить 2006 точек плоскости в красный цвет и 1003 – в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки разных цветов, содержала ещё одну из окрашенных точек и все окрашенные точки не лежали на одной прямой.

Решение.

Рассмотрим проективную плоскость и правильный 2006-угольник на ней. Все вершины 2006-угольника покрасим в красный цвет, а точки пересечения сторон с бесконечно удалённой прямой покрасим в синий цвет. Легко проверить, что этот набор точек обладает требуемым свойством. Осталось лишь сделать проективное преобразование так, чтобы на бесконечно удалённой прямой не осталось отмеченных точек…

Ответ: можно.

Теорема 1.4. Дана окружность и точка M внутри неё. Существует центральная проекция, при которой данная окружность переходит в окружность, а точка M – в её центр.

Доказательство. Пусть АВ – тот диаметр нашей окружности, на котором лежит точка M. Рассмотрим косой круговой конус, основанием которого является наша окружность, а вершиной такая точка О, что . На прямых ОА и ОВ за точку О отложим точки В´ и А´ соответственно так, что ОВ=ОВ´ и ОА=ОА´:

Пусть С´ – середина А´В´ и . Применяя теорему синусов к треугольникам ОАС, ОВС, ОВ´С´ и ОС´А´, нетрудно получить соотношение , т.е. точка С в точности совпадает с точкой М. Теперь осталось заметить, что из соображений симметрии сечение нашего конуса плоскостью α, проходящей через прямую А´В´ перпендикулярно плоскости (АОВ), является окружностью, поэтому центральная проекция с центром О на плоскость α является искомой.

Из доказательства этой теоремы следует также

Теорема 1.5: Любое проективное преобразование сохраняет какую-то окружность.

Теорема 1.6. Дана окружность и не пересекающая её прямая ℓ. Существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а ℓ – в бесконечно удалённую прямую.

Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки прямой ℓ, АK, AL, BM, BN – касательные к окружности из точек А и В, . По теореме 1.4 существует преобразование, сохраняющее нашу окружность, переводящее Р в её центр. При этом преобразовании отрезки KL и MN перейдут в диаметры окружности, поэтому А и В перейдут в бесконечно удалённые точки, а ℓ - в бесконечно удалённую прямую.

Задача 3.

Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть АВС – наш треугольник, А´, В´, С´ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, . Проведём проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность и переводящее точку Т в её центр. Тогда AA´ и ВВ´ станут одновременно и высотами, и биссектрисами треугольника АВС, т.е. треугольник АВС перейдёт в правильный, а точка Т – в его центр. Значит СС´ проходит через Т.

Проективные теоремы.

Ниже приводятся известные теоремы геометрии, которые легко доказываются применением проективного преобразования:

Теорема 2.1. (теорема Дезарга) Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников ABC и A´B´C´ (т.е. AB и A´B´, BC и B´C´, AC и A´C´), пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой ℓ, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке.

Теорема 2.2. (теорема Паппа) Если точки А, В, С лежат на прямой ℓ, точки А´, В´, С´ - на прямой ℓ´, то точки P, Q, R пересечения прямых АВ´ и А´В, АС´ и А´С, ВС´ и В´С соответственно лежат на одной прямой.

Теорема 2.3. (теорема Паскаля) Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.

Теорема 2.4. (теорема Брианшона) Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Не будем подробно проводить доказательство этих теорем, покажем лишь, какое преобразование сводит каждую из этих задач к очевидной:

Теорема 2.1 – проективное преобразование, переводящее прямую ℓ в бесконечно удалённую;

Теорема 2.2 – проективное преобразование, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую;

Теорема 2.3 – проективное преобразование, сохраняющее описанную окружность, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую, где P, Q – точки пересечения двух пар противоположных сторон шестиугольника;

Теорема 2.4 – проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность, переводящее точку пересечения двух диагоналей в центр этой окружности.