Южно-уральский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

МИАССКИЙ ФИЛИАЛ

БЕРЕЖКО Л.Н.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ

МЕТОДА ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

МИАСС, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1.Способ замены плоскостей проекций 4

2.Метрические задачи 7

2.1.Задачи первой группы 7

2.1.1.Определение расстояния от точки до прямой 7

2.1.2.Определение расстояния между параллельными прямыми 8

2.1.3.Расстояние между скрещивающимися прямыми 8

2.1.4.Определение натуральной величины двугранного угла 9

2.1.5.Преобразование прямой общего положения в проецирующую 9

2.1.6.Пример решения задачи первой группы 11

2.2.Задачи второй группы 12

2.2.1.Определение расстояния от точки до плоскости 12

2.2.2.Выполнение построений на плоскости 13

2.2.3.Преобразование плоскости общего положения 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17

ВВЕДЕНИЕ

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, т.е. перпендикулярными плоскости проекций, решение задачи упрощается. Например, на рис. 1 можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми, а на рис. 2 этого сделать нельзя.

Рис. 1 Рис.2

Таким образом, решение задачи в общем случае (рис. 2) можно упростить, если преобразовать чертеж и свести решение задачи к частному случаю (рис. 1). Для этого существуют различные методы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций.

Наиболее простым методом является метод, основанный на первом принципе- это метод замены плоскостей проекций.

Метрические задачи

Все метрические задачи условно можно разбить на две группы:

1) задачи, связанные с прямыми;

2) задачи, связанные с плоскостями

Задачи первой группы

Почти все задачи этой группы связаны с определением расстояний между различного вида прямыми.

Определение расстояния от точки до прямой

Пусть дана прямая общего положения и точка. Найти расстояние от точки до прямой.

а) б)

Рис. 8

На рис.8а задана задача в общем виде. Решение этой задачи проводится через задание плоскости, перпендикулярной прямой l (см. задачу №54 из рабочей тетради).

На рис. 8б прямая занимает проецирующее положение, а, следовательно, расстояние от K до l равно расстоянию от K₁ до l₁.

Определение расстояния между параллельными прямыми

а) б)

Рис. 9

На рис. 9б расстояние между l и m задано как расстояние между l₁ и m₁.

Прямую

Это преобразование проводится в два этапа:

1. Преобразуем прямую общего положения в прямую уровня

Рис. 12

На рисунке 12 видно, что одна проекция прямых уровня расположена параллельно оси проекций Х. Следовательно, для преобразования прямой общего положения в прямую уровня надо новую ось проекций Х’ выбрать параллельно одной из проекций прямой (рис.13).

2. Продолжая замену плоскостей проекций, преобразуем прямую уровня в проецирующую прямую.

Для этого ось проекций X^// выбираем перпендикулярно l₄, тогда на плоскость П₅ прямая l спроецируется в точку (рис. 13).

Рис.13

Это преобразование лежит в основе решения задач 1 группы.

Пример решения задачи первой группы

Разберем решение задачи по определению кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми. Для решения на каждой прямой берем по две точки и одну из прямых преобразуем в проецирующую, не забывая преобразовывать и вторую прямую (рис.14).

Рис.14

В системе плоскостей проекций П₄-П₅ решение сведено к частному случаю.

Задачи второй группы

Задачи второй группы касаются плоскостей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном методическом пособии показан принцип применения метода замены плоскостей проекций. Этот метод хорош следующим:

1.Решение сводится к работе с точкой, т.к. любую геометрическую фигуру можно представить как множество точек.

2.Решение последовательно перемещается на свободное поле чертежа, что позволяет избегать наложения построений при решении задачи.

Этот метод действительно прост, но только в случае, если вы полностью овладели предыдущими темами и знаете при каком положении геометрических фигур можно получить простое решение.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

МИАССКИЙ ФИЛИАЛ

БЕРЕЖКО Л.Н.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ