Аксиоматическая система Д.Гильберта.

Первое издание «Оснований геометрии» Д.Гильберта появилось в свет в 1899 году, а затем, представленная в нем система аксиом, подвергалась Д.Гильбертом уточнениям и некоторым изменениям без изменения ее характера в целом. Мы приведем здесь вариант аксиоматики, используя русское издание 1948 года, выполненное в переводе с немецкого издания 1930 года, т.е. используя окончательный вариант Гильбертовской системы аксиом.

Система аксиом Гильберта естественным образом распадается на пять групп: первая группа содержит восемь аксиом и называется группой аксиом принадлежности, вторая – группа аксиом порядка содержит четыре аксиомы, третья группа – группа аксиом конгруэнтности содержит пять аксиом, четвертая – содержит одну аксиому, которая называется аксиомой параллельности, пятая группа, состоящая из двух аксиом, называется группой аксиом непрерывности. Группы аксиом нумеруются римскими числовыми символами I, II, III, IV, V, а аксиомы в пределах каждой группы - арабскими цифрами от 1 до 8.Таким образом, каждая аксиома нумеруется двойным символом вида I₂, II₄, V₁ и т.п.

Каждая аксиома представляет собой предложение, содержащее в себе утверждение о строго выделенных понятиях, определения которым не дается. Таких понятий в аксиомах используется шесть. Эти понятия получают специальные названия, допускающие при необходимости словесные вариации, – это : точка, прямая, плоскость, принадлежать, лежать между, конгруэнтный. Эти шесть понятий естественным образом разделяются на две группы, первая из них – это точка, прямая, плоскость, а вторая, соответственно, состоит из: «принадлежать», «лежать между» и «конгруэнтный». Такое деление происходит в следствии различной роли этих понятий в соответствующей геометрической системе. Первые три – основные, базовые геометрические фигуры, вторые выражают отношения между фигурами.

Аксиомы раскрывают содержание основных, неопределяемых понятий достаточное для формально логического построения теории. В этом смысле соответствующая совокупность аксиом может рассматриваться как особого вида определение соответствующего базового понятия.

Приводим полный список аксиом всех пяти групп.

Группа I.

I₁. Для любых двух точек А, В существует прямая, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.

I₂. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.

I₃. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄. Для любых трех точек А, В, С не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость a, принадлежащая каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.

I₅. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этим точкам.

I₆. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости a, то всякая точка прямой а лежит в плоскости a.

I₇. Если две плоскости a и b имеют общую точку A, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I₈. Существуют, по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Группа II.

II₁. Если точка В лежит между точками A и С, то А, В, С суть три различные точки прямой, и В лежит также между С и А.

II₂. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С лежит между А и В.

II₃. Среди любых 3 точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Определение: Система двух точек А и В называется отрезком. Такой отрезок обозначается АВ или ВА. Точки, лежащие между А и В, называются внутренними точками отрезка АВ, а точки А и В – концами этого отрезка.

II₄. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Если при этом прямая а проходит через одну из внутренних точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из внутренних точек или отрезка АС или отрезка ВС.

Отметим, что аксиому II₄ часто называют аксиомой Паша (нем. Математик 19-20 в.в, известный исследованиями в области оснований геометрии).

Группа III.

III₁. Если А, В суть две точки на прямой а, и А´ – точка на той же прямой или на другой прямой а´, то всегда можно найти точку В´, лежащую по данную от точки А´ сторону прямой а´, и при том такую, что АВ конгруэнтен, иначе говоря, равен отрезку А´B´. Конгруэнтность отрезков АВ и А´B´ обозначается записью:

АВ º А´B´ (в нашей литературе вместо º пишут @).

III₂. Если отрезок A´B´ и A´´B´´ конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то отрезок A¢B¢ конгруэнтен отрезку A´´B´´. Короче говоря, если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны друг другу.

III₃. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей точки кроме точки В, и пусть, далее, A´B´ и B´С´ суть два отрезка той же прямой или другой прямой а´, так же не имеющие общей точки, кроме точки В´. Если при этом АВ º A´B´ и BC º B´C´, то и AC º A´C´.

Определение: Пара лучей h и kразличных, не принадлежащих одной прямой, и имеющих общее начало, называется углом. Угол, образованный h и k, обозначается Ð hk.

III_4.Пусть даны Ð hk в плоскости a и прямаяа¢ в плоскости a, или в другой плоскости a¢. Пусть h¢ - луч, принадлежащий прямой а¢. Тогда в плоскости a¢ по заданную сторону от прямой а¢ существует и при том единственный луч k¢, начало которого совпадает с началом луча h¢, такой, что Ðhk конгруэнтен, то есть равен углу Ðh¢k¢. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Конгруэнтность углов обозначается также, как и конгруэнтность отрезков: Ðhk º Ðh¢k¢.

Определение: Если три точки А,В, С не принадлежат одной прямой, то совокупность трех отрезков АВ,ВС и СА называют треугольником АВС. Треугольник АВС обозначают : DАВС.

III_5. Если для двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ имеют место конгруэнтности: АВºА¢В¢, АСºА¢С¢ и ÐВАСºÐВ¢А¢С¢, то имеет место так же и конгруэнтность ÐАВСºÐ А¢В¢ С¢.

Замечание: ÐАВС - угол образованный лучами ВА и ВС, у которых точка В общее начало.

Группа IV

IV. (аксиома Евклида). Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне ее. В таком случае в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямой а.

Так как такая прямая существует, что доказывается с опорой на то, что два различных перпендикуляра к одной прямой не пересекаются, то вводится понятие параллельности прямых: прямая а параллельна прямой b, если а и b лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Группа V

V₁.(аксиома Архимеда ) Пусть АВ и CD – два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное число точек A₁, A₂, …, A_n таких, что отрезки AA₁, A₁A₂, A₂A₃,…, A_n-1A_n конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между точками А и А_n.

V₂.(аксиома линейной полноты) Точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы конгруэнтности, и аксиомы Архимеда, т.е. аксиом I₁, I₂, II, III₁ и V₁ не допускает никакого расширения, т.е. к системе точек, отвечающей перечисленным аксиомам, не возможно прибавить еще точки так, чтобы в получающейся системе точек выполнялись все перечисленные аксиомы.

Замечание:В более новых работах по основаниям геометрии аксиомы V₁ и V₂ заменяются одной какой-либо, например аксиомой Дедекинда (см. С.В. Бахвалов, В.П. Иваницкая «Основания геометрии», М.,1972 г.).

Достоинством аксиоматики Гильберта является то, что она расчленена настолько естественно, что логическая структура всей соответствующей геометрической системы в целом становится совершенно прозрачной. Это расчленение дает, во-первых, возможность сформулировать аксиомы максимально простым и кратким образом, а, во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если класть в ее основу не всю аксиоматику, а только те или иные группы аксиом. Такой логический анализ был проведен Гильбертом в ряде его интересных исследований, входящих в указанное нами выше издание его «Оснований геометрии». Особое место в гильбертовской системе занимают аксиомы пятой группы, аксиомы непрерывности.

Для следствий аксиом I - IV групп характерно отсутствие понятия о бесконечном множестве. По этой причине ничто не вынуждает нас прибегать к понятиям теории множеств. Развивая геометрию на основе аксиом, мы, опираясь на законы формальной логики, применяем их только к конечным конструкциям. Все рассуждения, благодаря этому, носят совершенно прозрачный характер, обладают большой наглядностью.

Принимая аксиомы группы V мы, напротив, вынуждены иметь ввиду бесконечное множество, что вносит определенную неясность принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию, а между тем вынуждены опираться на теорию множеств, которая сама нуждается в обосновании. Возникает необходимость в расширении круга исследования.

Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии явилось как раз то, что он обнаружил возможность развивать геометрию во всем основном, не пользуясь аксиомами непрерывности (кстати, такая геометрия носит название неархимедовой геометрии).

С точки зрения педагогической, именно евклидовско-гильбертовский путь построения учебного курса геометрии наиболее полно и естественно обеспечивает решение одной из главных задач общего образования – формирование формально-логического мышления учащихся, позволяет наиболее естественно развивать их наглядные представления и умения в их использовании, обеспечивает реализацию одного из важных общих принципов обучения, принципа историзма, отражения и использования исторического процесса формирования научных знаний.