Критерии продуктивности балансовой модели

Определение 8.1. Матрица с неотрицательными компонентами называется продуктивной, если для любого существует неотрицательное решение уравнения

. (8.1)

В этом случае модель Леонтьева (8.1), определяемая матрицей А, также называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске .

Однако, можно доказать, что нет необходимости требовать существования решения уравнения (8.1) для любого вектора . Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора . Условимся в дальнейшем называть вектор положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

Первый критерий продуктивности. Если и для некоторого положительного вектора уравнение (8.1) имеет неотрицательное решение , где , то матрица продуктивна.

Замечание. На самом деле при заданных условиях решение получается положительное, т.е. . Это следует из уравнения (8.1) и , , .

Запишем уравнение Леонтьева (8.1) следующим образом:

, (8.2)

где – единичная матрица. Будем искать матрицу, обратную по отношению к матрице .

Понятно, что если обратная матрица существует, то из уравнения (8.2) следует, что

. (8.3)

Отсюда вытекает следующее более эффективное условие продуктивности.

Второй критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Доказательство этого утверждения приведено в [6].Матрица называется матрицей полных затрат.

Пример 8.1.Исследуем на продуктивность матрицу

.

Решение. Найдём матрицу

.

Вычислим ее определитель:

Союзная матрица имеет вид . Тогда .

Можно находить обратную матрицу и методом Гаусса:

Таким образом, и здесь

.

Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, матрица продуктивна.

Продолжим анализ продуктивности модели Леонтьева.

Пусть – некоторое число. Известно, что бесконечная геометрическая прогрессия вида

(8.4)

сходится при условии , и её сумма равна . Убедимся, что аналогичное предложение имеет место при замене числа матрицей .

Лемма. Если бесконечный ряд

, (8.5)

составленный из матриц, сходится, то его сумма есть матрица .

Доказательство. Рассмотрим тождество

. (8.6)

Здесь — частичная сумма ряда (8.5), а – общий член этого ряда. Поскольку по условию леммы ряд (8.5) сходится, то в силу необходимого признака сходимости ряда

, (8.7)

а суммой ряда является предел последовательности частичных сумм при неограниченном увеличении номера .

Прежде всего, покажем, что матрица имеет обратную матрицу, то есть она невырожденная [7]. Рассуждая от противного, предположим, что она – вырожденная. По теореме 3.2 однородная система уравнений

(8.8)

с вырожденной матрицей обязательно имеет ненулевое решение . Домножим равенство (8.8) слева на матрицу . Тогда

.

С учётом тождества (8.6) получим

и перейдём к пределу при неограниченном увеличении номера . Тогда

или, учитывая (8.7),

,

а значит .

Полученное противоречие доказывает, что матрица невырожденная и имеет обратную матрицу . Домножим (8.6) на матрицу справа:

,

и перейдём к пределу при неограниченном увеличении номера .

Итак, поскольку предел последовательности частичных сумм равен , то матрица и есть сумма ряда (8.6), то есть

. (8.9)

Лемма доказана.

Третий критерий продуктивности. Матрица А ³0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд (8.6):

Доказательство следует из леммы и второго критерия продуктивности.

Следствие.Если продуктивна матрица ,то продуктивна и продуктивна и матрица .

Покажем, как третий критерий продуктивности может быть использован для проверки матрицы на продуктивность. Например, если сумма элементов любого столбца матрицы A c неотрицательными элементами меньше 1, то А продуктивна. Заметим, что в стоимостной модели баланса это означает, что суммарный вклад всех отраслей в выпуск 1 руб. продукции конкретной отрасли меньше 1, то есть отрасль рентабельна.

Действительно, пусть – наибольшая среди всех сумм , и q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q, то есть . Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы не превосходит :

.

Точно так же получим, что элементы матрицы А³ не превосходит q³ и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (8.6), а значит, и продуктивность матрицы А.

Пример 8.2. Дана матрица

_.

Сумма элементов каждого столбца матрицы меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.

В силу следствия третьего критерия продуктивности если в неотрицательной матрице сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна.

Запас продуктивности

Пусть – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы назовем такое число , что все матрицы , где , продуктивны, а матрица непродуктивна.

Пример 9.1. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица

.

Решение. В примере 8.1 было показано, что матрица продуктивна. При нахождении запаса продуктивности будем руководствоваться вторым критерием продуктивности для матрицы , где . Покажем существование неотрицательной матрицы . В данном случае

. (9.1)

Её обратная матрица имеет вид

, (9.2)

где — определитель матрицы . Вычислим определитель матрицы (9.1):

.

Для продуктивности матрицы нужно, чтобы все элементы обратной матрицы (9.2) были неотрицательными. Тогда:

(9.3)

Решив совокупность неравенств (9.3), получим:

.

Запас продуктивности матрицы равен 0.08. Мы видим, что матрица находится где-то «на пределе» продуктивности.

Обычно матрицы межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Рост производственных расходов вызывает увеличение элементов матрицы и, как следствие, снижение ее запаса продуктивности.

Вектор полных затрат

Пусть задана матрица с неотрицательными элементами, то есть . Равенство (8.6), доказанное в лемме пункта 2.8, вида

(10.1)

справедливо только том случае, когда матрица продуктивна и имеет экономический смысл. Это значит, что модель Леонтьева (7.3) имеет решение вида (8.3):

. (10.2)

С учётом (10.1) это решение (10.3) может быть записано в виде

. (10.3)

Определим экономический смысл разложения вектора на слагаемые , , и т.д. Для получения валового выпуска , обеспечивающего конечное потребление , нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором . Но этого мало, ведь для получения нужно затратить (а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором . Но и этого мало: для получения нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором . В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск должен составляться из слагаемых , , и т.д. Именно это и зафиксировано в формуле (10.3). В соответствии с этим рассуждением сумму

называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

· строительные материалы;

· производство электроэнергии;

· строительная техника.

Для получения конечного выпуска необходимо, прежде всего, произвести:

строительных материалов;

электроэнергии;

строительной техники.

Но для производства строительных материалов необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества сырья, электроэнергии и техники. То же самое справедливо и в отношении производства электроэнергии и техники.

Таким образом, искомый валовой выпуск представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор ), 1-го порядка (вектор ), 2-го порядка (вектор ) и т.д.

Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, – матрица прямых затрат, – вектор валового выпуска. Обозначим через вектор цен, -ая координата которого равна цене единицы продукции -й отрасли. Тогда, например, первая отрасль получит доход, равный ., а -ая отрасль – доход, равный . Часть своего дохода -тая отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме , второй отрасли в объеме , и т.д., -ой отрасли в объеме . На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная . Следовательно, для выпуска продукции в объеме -ой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную . Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

.

Разделив это равенство на , получим:

,

где – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Тогда получаем совокупность равенств:

;

.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

, (11.1)

где , , – матрица прямых затрат. Вектор называют вектором норм добавленной стоимости. Сравнивая (11.1) с моделью Леонтьева (7.3), мы видим, что полученные уравнения очень похожи. Если в уравнении Леонтьева (7.3) вектор заменить вектором , вектор – вектором , а матрицу – на , то получим уравнение (11.1).

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей, а также изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Пример 11.1.Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей: строительные материалы; энергопотребление; строительная техника.

Пусть

– транспонированная матрица прямых затрат, – вектор норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева воспользуемся формулой

.

Выпишем матрицу

и вычислим её определитель

.

После необходимых вычислений имеем

.

Тогда:

Допустим, что в отрасли, изготавливающей строительные материалы, произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 0,3. Определим равновесные цены в этом случае. Поскольку вектор норм добавленной стоимости , то

Определив равновесные цены в этом случае, находим, что продукция отраслей подорожала на 2,7%, 0,4%, 0,8% соответственно. Зная объемы выпуска, можно подсчитать вызванную инфляцию.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Варианты индивидуального домашнего задания предназначенного для самостоятельного выполнения.

Задание 1 выполняется по формулам (1.1), (1.2), (1.5) и (1.6) пункта 2.1.

Задание 2 разобрано в примере 8.4 пункта 1.8 первого раздела.

Задание 3 разобрано в примере 4.1 пункта 2.4 второго раздела.

Задание 4 разобрано в примере 6.6 пункта 2.6 второго раздела.

В задании 5 применяется Критерий Сильвестра, который разобран в примерах 6.7 – 6.9 пункта 2.6 второго раздела.

Вариант 1

1.Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если ; . Найти координаты вектора .

2.Найти ранг матрицы

с помощью элементарных преобразований.

3.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

, если

а) ; б) .

4.Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5.Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 2

1.Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если ; . Найти координаты вектора .

2.Найти ранг матрицы

с помощью элементарных преобразований.

3.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

, если

а) ; б) .

4.Найти матрицу квадратичной формы

.

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5.Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 3

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если ; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы

с помощью элементарных преобразований.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 4

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и ; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Выделением полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 5

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 6

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 7

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 8

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если ; .Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 9

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

.

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 10

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 11

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если ; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделения полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 12

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и , если

; . Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

.

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , если

а) ; б) .

4. Найти матрицу квадратичной формы

Методом выделением полных квадратов привести к сумме квадратов и определить тип формы.

5. Дана симметрическая матрица

.

Составить соответствующую ей квадратичную форму и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.

Вариант 13

1. Найти нормы и скалярное произведение векторов и ,если ; .Найти координаты вектора .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований