Метод контурных токов в матричной форме
Метод контурных токов в матричной форме
В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главныхконтуровВ, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.
Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:
 . | (7) |
В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения
 , | (8) |
где 
- столбцовая матрица контурных токов; 
- транспонированная контурная матрица.
С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:
 | (9) |
Полученное уравнение представляет собойконтурные уравнения вматричной форме. Если обозначить
 , | (10) |
 . | (11) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:
 , | (12) |
где 
- матрица контурных сопротивлений; 
- матрица контурных ЭДС.
В развернутой форме (12) можно записать, как:
 , | (13) |
то есть получили известный из метода контурных токов результат.
Рассмотрим пример составления контурных уравнений.
Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,
c=n-m+1=6-4+1=3.
Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.
Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:
| В |  |
.Диагональная матрица сопротивлений ветвей
| Z |  |
Матрица контурных сопротивлений
| Zk=BZBT |  |
.
Матрицы ЭДС и токов источников
 |  |
 |  |
Тогда матрица контурных ЭДС
 |  |
.
Матрица контурных токов
 |  . |
Таким образом, окончательно получаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- В чем заключаются преимуществаиспользования матричныхметодоврасчета цепей?
- Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
- Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
- Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.
Ответ:
.
- Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).
Ответ:
| Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. |
Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:
Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:
Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Принимая во внимание, что
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому Полная мощность Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:
Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:
Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности
Комплексная мощность Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть
где
. Применение статических конденсаторов для повышения cos Как уже указывалось, реактивная мощность Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.
Если параллельно такой нагрузке Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения Разложим
Из (11) и (12) с учетом (10) имеем
но
Баланс мощностей Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. а) Постоянный ток Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:
Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи. Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора). б) Переменный ток. Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.
В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:
где знак “+” относится к индуктивным элементам Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):
или
Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.
Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.
Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом. |
. 
. 
, получим:
. 
.
.
, из (3) получим:
. 
, т.е. на входе пассивного двухполюсника 
. Случай Р=0, 
теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.
. 
. 
равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,
. 
, а 
. Тогда комплекс полной мощности:
, 
- комплекс, сопряженный с комплексом 
.
.
Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует 
(активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:
циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению 
(см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток 
до значения 
?
на активную 
и реактивную 
составляющие. Ток через конденсатор 
компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки 
; 
; 
. 
,
, откуда необходимая для повышения 
. 
, 
, “-” – к емкостным 
.
.
подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой 
. Определить активную, реактивную и полную мощности. | Теория / ТОЭ / Лекция N 8. Резонансы в цепях синусоидального тока. |
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)  Для цепи на рис.1 имеет место  где
В зависимости от соотношения величин 1. В цепи преобладает индуктивность, т.е.
2. В цепи преобладает емкость, т.е. 3. Условие резонанса напряжений
При этом, как следует из (1) и (2), При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Пусть, например, в цепи на рис. 1 Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной. Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:
- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением
или с учетом (4) и (5) для
Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
где
В зависимости от соотношения величин
В цепи преобладает индуктивность, т.е. В цепи преобладает емкость, т.е.
Условие резонанса токов
При этом, как следует из (8) и (9), Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть
откуда, в частности, находится резонансная частота. Резонанс в сложной цепи Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид
Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Ответ: |
; 
. 
и 
возможны три различных случая.
, а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.
, а значит, 
. Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.
- случай резонанса напряжений (рис. 2,в).
. 
.
. Тогда 
, и, соответственно, 
.
, и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .
. 
и 
для цепи на рис. 1 при U=const.
, 
.
, 
можно записать:
. 
Для цепи рис. 4 имеем
,
; 
. 
и 
, как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.
, а следовательно, 
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.
, а значит, 
. Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.
- случай резонанса токов (рис. 5,в).
или
. 
. Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.
Например, для цепи на рис. 6 имеем
должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид
,
или входной проводимости 
, определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно 
нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.
или входной реактивной проводимости 
следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням 
или 
. Тогда корни уравнения 
дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения 
- значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.
Из решения уравнения 
, соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения 
, соответствующую резонансу токов.
.
? 
.| Теория / ТОЭ / Лекция N 9. Векторные и топографические диаграммы. |
Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы. При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях. Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе. В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).  Параметры схемы:     При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы  найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны:  ;  ;  . При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости). При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.  В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС. Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль(  ), определим потенциалы этих точек:  или   Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что  . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны. В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений. Потенциальная диаграмма Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.
При параметрах схемы Построим потенциальную диаграмму для контура abcda. Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура:
Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура. Преобразование линейных электрических схем Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны. Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей. 1, Преобразование последовательно соединенных элементов Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где
или
|
; 
; 
; 
; 
и 
токи в ветвях схемы равны: 
; 
; 
.
после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:
. 